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Ejemplos de Funciones de varias variables
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
Introducción
Las notas que aquí presentamos están dirigidas a los alumnos del
primer curso de varias variables (Cálculo Diferencial e Integral III),
que hemos impartido en repetidas ocasiones.
En los textos tradicionales hay pocos ejemplos sobre continuidad,
derivabilidad y continuidad de las derivadas parciales hasta de segundo orden,
lo cual preocupa a los alumnos pues no encuentran ejemplos que ilustren todas
las posibilidades que pudieran resultar usando estos conceptos. Dicha
inquietud aunada a la propia nos han llevado a elaborar este trabajo.
Creemos que la sencillez se vuelve imprescindible cuando se intenta despertar
el interés de un estudiante, por ello, preferimos usar ejemplos que
ilustran de manera clara cada situación en vez de utilizar otros más
sofisticados.
Todas las funciones que aquí analizamos son de dos variables con imagen
en los números reales.
La manera de abordar los ejemplos puede parecer repetitiva, sin embargo,
decidimos analizar la mayor cantidad posible de detalles con el fin de que
puedan leerse separadamente.
Además agregamos una serie de ejemplos de funciones que no son continuas
en un punto, éstas tienen en común el no estar definidas a lo largo
de una curva. Una manera de resolver problemas de este tipo es buscar una
trayectoria que pase por el punto en cuestión y que cumpla que al
acercarse a él, los correspondientes valores de la función no se
acercan a la imagen de la función en el punto. Sin embargo, en cualquiera
de estos ejemplos, ninguna de las trayectorias usadas comúnmente logra
tal propósito. Damos aquí un método sencillo para encontrar una
trayectoria adecuada.
Incluímos también, en cada ejemplo, la gráfica de la
función correspondiente.
Indice
Ejemplo 1 \(f \) es de clase \(C^{2}. \)
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{3}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\
& & \\
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 2 \(f \) es de clase \(C^{1} \) pero no es de clase \(C^{2}. \)
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\
& & \\
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 3 Las derivadas parciales existen pero no son continuas, \(f \) no es
derivable, \(f \) es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq
\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 4 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es derivable, \(f \) es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{2}y-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq
\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 5 Las derivadas parciales existen, \(f \) no es continua y no es derivable.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 6 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es continua, \(f \) no es derivable.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 7 Las derivadas parciales existen en cualquier punto excepto en \(\left(
0,0\right) \(
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\
& & \\
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 8 Las derivadas parciales existen pero no son continuas, \(f \) no es
derivable, \(f \) no es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{xy}{x-y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 9 Las derivadas parciales existen pero no son continuas, \(f \) no es
continua, \(f \) no es derivable.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{2}-xy}{x+y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 10 Las derivadas parciales existen pero no son continuas, \(f \) no es
derivable, \(f \) no es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 11 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es continua, entonces no es derivable.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{2}y-y^{2}}{x^{2}+y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 12 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es derivable, \(f \) no es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{xy}{x^{2}-y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right)
\\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.}
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 13 Existen las derivadas parciales, no son continuas, \(f \) no es
derivable, \(f \) no es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{3xy+y^{2}}{x^{3}-y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) .
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 14 Las derivadas parciales no son continuas, \(f \) no es derivable, \(f \) no
es continua
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{xy^{2}}{x^{4}-y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) .
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 15 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es derivable, \(f \) no es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{xy}{y-x^{3}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right)
\\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) .
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 16 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es derivable, \(f \) no es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{2}y}{x^{4}-y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left(
0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) .
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Ejemplo 17 \(f \) no es \(C^{1},f \) no es derivable, \(f \) no es es continua.
\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{xy^{2}}{\left( y-x\right) \left( x^{3}-y\right) } & & \text{si }
\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) .
\end{array}
\right.
\end{equation*}