Como \(x^{3}-y=0 \) si y sólo si \(y=x^{3} \), el dominio de la función es
\(\left\{ \left. \left( x,y\right) \in\mathbb{R}^{2}\right\vert \,y\neq
x^{3}\right\} \cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right)
\in Dom\,f \), entonces aplicamos a \(\dfrac{3xy+y^{2}}{x^{3}-y} \) la regla para
derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{-6x^{3}y-3y^{2}-3x^{2}y^{2}}{\left( x^{3}-y\right) ^{2}} & &
\text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{3x^{4}+2x^{3}y-y^{2}}{\left( x^{3}-y\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
-1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si las derivadas parciales son continuas.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos
polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Asi \(f \) es de clase \(C^{1} \) en
\(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto,
derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la
continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right)
\) tenemos que probar
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial
x}\left( 0,0\right) =0.
\]
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0 \) obtenemos:
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{-6\left( 0\right) ^{3}y-3y^{2}-3\left(
0\right) ^{2}y^{2}}{\left( \left( 0\right) ^{3}-y\right) ^{2}}
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{-3y^{2}}{\left( -y\right) ^{2}}=-3,
\]
que no es el valor que toma la derivada parcial \(\dfrac{\partial f}{\partial
x} \) en \(\left( 0,0\right) , \) así la función no es de clase \(C^{1}. \)
Derivabilidad
Analizamos ahora la derivabilidad de la función. Para esto
veremos si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
}=0\text{.}
\]
Recordamos que \(f\left( x,y\right) =\dfrac{3xy+y^{2}}{x^{3}-y} \) si \(\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) . \)
Entonces
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } &
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert \dfrac{3xy+y^{2}}{x^{3}-y}+y\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}
}}\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{3xy+y^{2}+x^{3}y-y^{2}}{\left( x^{3}-y\right) \sqrt
{x^{2}+y^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{3xy+x^{3}y}{\left( x^{3}-y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}
}\right\vert .
\end{align*}
Si nos acercamos al origen por la trayectyoria \(y=x \) tenemos que
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{3xy+x^{3}y}{\left( x^{3}-y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert &
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{3x^{2}+x^{4}}{\left(
x^{3}-x\right) \sqrt{x^{2}+x^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{2}\left( 3+x^{2}\right)
}{x\left( x^{2}-1\right) \left\vert x\right\vert \sqrt{2}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{3+x^{2}}{\left\vert
x^{2}-1\right\vert }=\dfrac{3}{\sqrt{2}},
\end{align*}
por tanto, la función no es derivable en el origen.
Continuidad
Veamos ahora si la función es continua en el origen, es decir si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{3xy+y^{2}}{x^{3}-y}=f\left( 0,0\right) =0.
\]
Acerquémonos al origen por distintas trayectorias.
Si \(x=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{3\left( 0\right) y+y^{2}}{\left( 0\right) ^{3}-y}=\lim
\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{y^{2}}{-y}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\left(
-y\right) =0.
\]
Si \(y=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{3x\left( 0\right) +\left( 0\right) ^{2}}{x^{3}-0}=0.
\]
La función no está definida en \(x^{3}-y=0, \) es decir, en \(y=x^{3} \),
entonces buscaremos una función que se comporte como ella en el origen.
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=x^{3} & & \text{vale cero en cero} & & y=\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x\\
y^{\prime}=3x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=3\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos x\\
y^{\prime\prime}=6x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime\prime
}=6\operatorname*{sen}x\cos^{2}x-3\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\\
y^{\prime\prime\prime}=6 & & \text{vale }6\text{ en cero,} & &
y^{\prime\prime\prime}=6\cos^{3}x-12\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos
x-9\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos x
\end{array}
\]
Acercándonos al origen por esta trayectoria \(y=\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x \) tenemos
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,\operatorname*{sen}\nolimits^{3}
x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{3x\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x+\left( \operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\right) ^{2}}
{x^{3}-\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\left(
3x+\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\right) }{x^{3}-\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\left(
3x+\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\right) }{\left( x-\operatorname*{sen}
x\right) \left( x^{2}+x\operatorname*{sen}x+\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x\left( 3x+\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\right) }{x^{2}}
}{\dfrac{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left( x^{2}
+x\operatorname*{sen}x+\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }{x^{2}}}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x}{x}\right) \left( 3+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}
x}{x}\right) }{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left( 1+\dfrac
{\operatorname*{sen}x}{x}+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}
}\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{x-\operatorname*{sen}x}\right) \left( \dfrac{\dfrac
{\operatorname*{sen}x}{x}\left( 3+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}
x}{x}\right) }{1+\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}+\dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{x^{2}}}\right) \text{.}
\end{align*}
Calculamos los límites de los factores por separado.
Es claro que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}\left(
3+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x}{x}\right) }{1+\dfrac
{\operatorname*{sen}x}{x}+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}
}=\dfrac{3}{3}=1\text{.}
\]
Para calcular el límite del primer factor, utilizamos la regla de
L'Hôpital:
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{x-\operatorname*{sen}x} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{2\operatorname*{sen}x\cos x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}2x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\cos2x}{\operatorname*{sen}x}=\pm
\infty\text{.}
\end{align*}
Por tanto, la función \(f \) no es continua en el origen.
En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \),
no es derivable y no es continua.