Como \(x^{2}-y=0 \) si y sólo si \(y=x^{2} \), el dominio de la función es
\(\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,y\neq x^{2}\right. \right\}
\cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \).
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right)
\in Dom\,f \), aplicamos a \(\dfrac{xy}{x^{2}-y} \) la regla para derivar un
cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{-x^{2}y-y^{2}}{\left( x^{2}-y\right) ^{2}} & & \text{si }\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{x^{3}}{\left( x^{2}-y\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right)
\neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si las derivadas parciales son continuas.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos
polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así, \(f \) es de clase \(C^{1}
\) en \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto,
derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la
continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right)
\) tenemos que probar
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial
x}\left( 0,0\right) =0.
\]
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0 \):
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{-\left( 0\right) ^{2}y-y^{2}}{\left(
\left( 0\right) ^{2}-y\right) ^{2}}=\lim\limits_{y\rightarrow0}
\dfrac{-y^{2}}{y^{2}}=-1,
\]
que no es el valor que toma la derivada parcial en el origen, así, la
función \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) no es continua
en \(\left( 0,0\right) \) y \(f \) no es de clase \(C^{1}. \)
Derivabilidad
Analizamos ahora la derivabilidad de la función en el origen. Para
esto veremos si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
}=0\text{.}
\]
Recordamos que \(f\left( x,y\right) =\dfrac{xy}{x^{2}-y} \) si \(\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) . \) Entonces
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } &
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert \dfrac{xy}{x^{2}-y}\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{xy}{\left( x^{2}-y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert
.
\end{align*}
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(y=x \) tenemos:
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{xy}{\left( x^{2}-y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert &
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{2}}{\left( x^{2}-x\right)
\sqrt{x^{2}+x^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{2}}{\left( x^{2}
-x\right) \sqrt{2x^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{2}}{x\left( x-1\right)
\left\vert x\right\vert \sqrt{2}}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\left\vert
x-1\right\vert }=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align*}
Por tanto, la función no es derivable en el origen.
Continuidad
Veremos si \(f \) es continua en el origen, es decir si
\[\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }f\left(
x,y\right) =f\left( 0,0\right) =0 \].
Acerquémonos al origen por trayectorias.
Si \(x=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) y}{\left( 0\right) ^{2}-y}=\lim
\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{-y}=0
\]
Si \(y=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x\left( 0\right) }{x^{2}-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{0}{x^{2}}=0
\]
La función no está definida en \(x^{2}-y=0 \), es decir, en \(y=x^{2} \),
buscaremos una función que se comporte como ella.
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\\
y^{\prime}=2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=2\operatorname*{sen}x\cos x=\operatorname*{sen}2x\\
y^{\prime\prime}=2 & & \text{vale }2\text{ en cero } & & y^{\prime\prime
}=2\cos2x
\end{array}
\]
Acercándonos al origen por esta trayectoria \(y=\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x \), tenemos:
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left( x+\operatorname*{sen}
x\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{x}}{\dfrac{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left(
x+\operatorname*{sen}x\right) }{x}}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}
x}{x}\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{1}{1+\dfrac{\operatorname*{sen}
x}{x}}\right) \left( \dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}
{x-\operatorname*{sen}x}\right) .
\end{align*}
Calcularemos los límites de los factores por separado. Por un lado
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{1+\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}}
=\dfrac{1}{2}.
\]
Utilizaremos la regla de L'Hôpital para calcular el otro límite.
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{x-\operatorname*{sen}x} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{2\operatorname*{sen}x\cos x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}2x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\cos2x}{\operatorname*{sen}x}=\pm
\infty.
\end{align*}
Por tanto, la función \(f \) no es continua en el origen.
En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \),
no es derivable y no es continua.