12. $f$ no es $C^1$, $f$ no es derivable, $f$ no e continua.

Dominio

Derivadas parciales de primer orden

• Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
  • Si $(x,y)=(0,0)$ entonces $$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{h\left(0\right)}{h^2-0}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0.\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\left(0\right)h}{{\left(0\right)}^2-h}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0.\end{array}$$
  • Si $(x,y)\ne (0,0)$ y $(x,y)\in Domf$, aplicamos a ${\displaystyle \frac{xy}{x^2-y}}$ la regla para derivar un cociente, con respecto a $x$ y $y$, respectivamente.
    Así, las derivadas parciales de primer orden son $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{-x^{2}y-y^2}{{(x^2-y)}^2}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ y $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x^3}{{(x^2-y)}^2}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}.$$

Clase $C^1$

• Veremos si las derivadas parciales son continuas.
  • Para $(x,y)\ne (0,0)$ y $(x,y)\in Domf$ las derivadas son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables $x$ y $y.$ Así, $f$ es de clase $C^1$ en $Domf╲\left\{(0,0)\right\}$ y por tanto, derivable y continua en cada punto de $Domf╲\left\{(0,0)\right\}.$
  • Como ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$, para la continuidad de ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ en $(0,0)$ tenemos que probar $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0.$$ Si nos acercamos al origen por la trayectoria $x=0$: $$\underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,y)=\underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-{\left(0\right)}^{2}y-y^2}{{({\left(0\right)}^2-y)}^2}}=\underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-y^2}{y^2}}=-1,$$ que no es el valor que toma la derivada parcial en el origen, así, la función ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ no es continua en $(0,0)$ y $f$ no es de clase $C^1.$

Derivabilidad

• Analizamos ahora la derivabilidad de la función en el origen. Para esto veremos si $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|f(x,y)-f(0,0)-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)x-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)y|}{\Vert (x,y)\Vert }}=0\text{.}$$ Recordamos que $f(x,y)={\displaystyle \frac{xy}{x^2-y}}$ si $(x,y)\ne (0,0).$ Entonces $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{|f(x,y)-f(0,0)-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)x-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)y|}{\Vert (x,y)\Vert }}& =\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{\left|{\displaystyle \frac{xy}{x^2-y}}\right|}{\sqrt{x^2+y^2}}}\\ & =\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\left|{\displaystyle \frac{xy}{(x^2-y)\sqrt{x^2+y^2}}}\right|.\end{array}$$ Si nos acercamos al origen por la trayectoria $y=x$ tenemos: $$\begin{array}{rl}\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\left|{\displaystyle \frac{xy}{(x^2-y)\sqrt{x^2+y^2}}}\right|& =\underset{x\to 0}{lim}\left|{\displaystyle \frac{x^2}{(x^2-x)\sqrt{x^2+x^2}}}\right|\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\left|{\displaystyle \frac{x^2}{(x^2-x)\sqrt{2x^2}}}\right|\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\left|{\displaystyle \frac{x^2}{x(x-1)\left|x\right|\sqrt{2}}}\right|\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{|x-1|}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}.\end{array}$$
  Por tanto, la función no es derivable en el origen.

Continuidad

• Veremos si $f$ es continua en el origen, es decir si $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)=f(0,0)=0$$.
  Acerquémonos al origen por trayectorias. Si $x=0$ tenemos que $$\underset{y\to 0}{lim}f(0,y)=\underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\left(0\right)y}{{\left(0\right)}^2-y}}=\underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0}{-y}}=0$$ Si $y=0$ tenemos que $$\underset{x\to 0}{lim}f(x,0)=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x\left(0\right)}{x^2-0}}=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0}{x^2}}=0$$ La función no está definida en $x^2-y=0$, es decir, en $y=x^2$, buscaremos una función que se comporte como ella. $$\begin{array}{lllll}y=x^2& & \text{vale cero en cero}& & y={\mathrm{sen}}^{2}x\\ y^{\prime }=2x& & \text{vale cero en cero}& & y^{\prime }=2\mathrm{sen}x\cos x=\mathrm{sen}2x\\ y^{\prime \prime }=2& & \text{vale }2\text{ en cero }& & y^{\prime \prime }=2\cos 2x\end{array}$$ Acercándonos al origen por esta trayectoria $y={\mathrm{sen}}^{2}x$, tenemos: $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}f(x,{\mathrm{sen}}^{2}x)& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x{\mathrm{sen}}^{2}x}{x^2-{\mathrm{sen}}^{2}x}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x{\mathrm{sen}}^{2}x}{(x-\mathrm{sen}x)(x+\mathrm{sen}x)}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x{\mathrm{sen}}^{2}x}{x}}}{{\displaystyle \frac{(x-\mathrm{sen}x)(x+\mathrm{sen}x)}{x}}}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{(x-\mathrm{sen}x)(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}})}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\left({\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}}}\right)\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{x-\mathrm{sen}x}}\right).\end{array}$$ Calcularemos los límites de los factores por separado. Por un lado $$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{x}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.$$ Utilizaremos la regla de L'Hôpital para calcular el otro límite. $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{x-\mathrm{sen}x}}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}x\cos x}{1-\cos x}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{1-\cos x}}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2\cos 2x}{\mathrm{sen}x}}=\pm \mathrm{\infty }.\end{array}$$ Por tanto, la función $f$ no es continua en el origen.
  En este ejemplo la función no es de clase $C^2$, no es de clase $C^1$, no es derivable y no es continua.