Como \(x-y=0 \) si y sólo si \(x=y \), el dominio de la función es
\(Dom~f=\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,x\neq y\right. \right\}
\cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \).
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom~f \) aplicamos a \(\dfrac{xy}{x-y} \) la regla para derivar un
cociente con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{-y^{2}}{\left( x-y\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right)
\neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{x^{2}}{\left( x-y\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right)
\neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \)
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom~f \) las derivadas parciales de primer orden son continuas
por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \)
es de clase \(C^{1} \) en \(Dom~f\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right)
\right\} \) y por tanto, es derivable y continua en \(Dom~f\mathbb{\diagdown
}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) para que \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \) sea continua, debe cumplirse que
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =0.
\]
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0 \) obtenemos
\[
\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{-y^{2}}{\left( -y\right) ^{2}}=-1.\;\;\;
\]
Entonces la derivada parcial con respecto a \(x \) no es continua en el origen y
la función \(f \) no es de clase \(C^{1} \) y tampoco es de clase \(C^{2}. \)
Derivabilidad
Veamos ahora si \(f \) es derivable en \(\left( 0,0\right) . \) Para esto
debemos probar:
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
}=0\text{.}
\]
Tenemos
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } &
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert \dfrac{xy}{x-y}\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{xy}{\left( x-y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert .
\end{align*}
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=-y \) obtenemos:
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{xy}{\left( x-y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert =\lim
\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{-y^{2}}{\left( -2y\right) \sqrt{2y^{2}}}\right\vert =\lim
\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{-y^{2}}{\left( -2y\right) \sqrt{2}\left\vert y\right\vert
}\right\vert .
\]
Y
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{-y^{2}}{\left( -2y\right) \sqrt{2}\left\vert y\right\vert
}\right\vert =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{-y^{2}}{-2\sqrt{2}y^{2}}\right\vert =\dfrac{1}{2\sqrt{2}
}\text{ }
\]
Como el límite no es cero, entonces \(f \) no es derivable en \(\left(
0,0\right) . \)
Continuidad
Veamos ahora si la función es continua en el origen. Es decir,
veamos si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }f\left(
x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\dfrac{xy}{x-y}=0.
\]
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0, \) entonces
\[
\lim\limits_{y\rightarrow 0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) y}{0-y}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{0}{-y}=0
\]
Si nos acercamos por \(y=0, \) entonces
\[
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x\left( 0\right) }{x-0}=0
\]
Si nos acercamos por \(y=-x, \) entonces
\[
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x,-x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x\left( -x\right) }{x-\left( -x\right) }=\lim
\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{-x^{2}}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}
-\dfrac{x}{2}=0
\]
Como la función no está definida en \(x-y=0 \), es decir, en la
trayectoria \(y=x \) buscaremos una función que se comporte como ella en una
vecindad del origen. Observamos que
\begin{align*}
y & =x\text{ en }x=0\text{ vale cero,}\\
y^{\prime} & =1\text{ en }x=0\text{ vale uno.}
\end{align*}
Entonces una función adecuada es \(y=\operatorname*{sen}x \), ya que
\begin{align*}
y & =\operatorname*{sen}x\text{ en }x=0\text{ vale cero}\\
y^{\prime} & =\cos x\text{ en }x=0\text{ vale uno.}
\end{align*}
Acercándonos al origen por esta trayectoria tenemos:
\[
f\left( x,\operatorname*{sen}x\right) =\dfrac{x\operatorname*{sen}
x}{x-\operatorname*{sen}x}.
\]
Ahora calcularemos el límite aplicando dos veces la regla de
L'Hôpital:
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x,\operatorname*{sen}x\right) &
=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\operatorname*{sen}x}
{x-\operatorname*{sen}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\operatorname*{sen}x+x\cos x}{1-\cos
x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x+\cos x-x\operatorname*{sen}
x}{\operatorname*{sen}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2\cos x-x\operatorname*{sen}
x}{\operatorname*{sen}x}.
\end{align*}
Como el límite del recíproco es
\[
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\operatorname*{sen}x}{2\cos
x-x\operatorname*{sen}x}=0,
\]
entonces
\[
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f\left( x,\operatorname*{sen}x\right)
\]
no existe, por tanto la función no es continua en el origen.
En este ejemplo vemos que la función no es de clase \(C^{2}, \) no es de
clase \(C^{1}, \) no es derivable y no es continua.