16. \(f \) no es \(C^{1} \), \(f \) no es derivable, \(f \) no es continua

Dominio

Derivadas parciales de primer orden

• Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array} [c]{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{h^{2}\left( 0\right) }{h^{4}-\left( 0\right) ^{2}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{0-0}{h}=0.\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) ^{2}h}{\left( 0\right) ^{4}-h^{2}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{0-0}{h}=0. \end{array} \]
  • Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right) \in Dom\,f, \) entonces aplicamos a \(\dfrac{x^{2}y}{x^{4}-y^{2}} \) la regla para derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente. Así, las derivadas parciales de primer orden son \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{-2x^{5}y-2xy^{3}}{\left( x^{4}-y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{x^{6}+x^{2}y^{2}}{\left( x^{4}-y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. . \]

Clase \(C^{1} \)

• Veremos si las derivadas parciales son continuas.
  • Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así, \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto, derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
  • Como \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =0. \] Si nos acercamos por la recta \(y=0 \) tenemos \[ \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{6}+x^{2}\left( 0\right) ^{2}}{\left( x^{4}-\left( 0\right) ^{2}\right) ^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow0} \dfrac{x^{6}}{\left( x^{4}\right) ^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac {1}{x^{2}}=\infty \] que no es el valor de la derivada parcial \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) en el origen, así, la función no es de clase \(C^{1} \) y por tanto, tampoco de clase \(C^{2}. \)

Derivabilidad

• Analizamos ahora la derivabilidad de la función \(f \), es decir, si \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }=0\text{.} \] Calculamos \begin{align*} \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } & =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\left\vert \dfrac{x^{2}y}{x^{4}-y^{2}}\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}} }\\ & =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert \dfrac{x^{2}y}{\left( x^{4}-y^{2}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}} }\right\vert \text{.} \end{align*} Si \(y=x \) tenemos que: \begin{align*} \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert \dfrac{x^{2}y}{\left( x^{4}-y^{2}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert & = \lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{2}x}{\left( x^{4}-x^{2}\right) \sqrt{x^{2}+x^{2}}}\right\vert \\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{3}}{x^{2}\left( x^{2}-1\right) \sqrt{2x^{2}}}\right\vert \\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x}{\left( x^{2}-1\right) \left\vert x\right\vert \sqrt{2}}\right\vert \text{ }\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\left\vert x^{2}-1\right\vert }=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\text{ } \end{align*} Por tanto, la función \(f \) no es derivable en el origen.

Continuidad

• Veamos ahora si la función \(f \) es continua en el origen. Queremos ver si \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac {x^{2}y}{x^{4}-y^{2}}=f\left( 0,0\right) =0. \] Acerquémonos al origen por distintas trayectorias. Si \(x=0 \) tenemos que \[ \lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\left( 0\right) ^{2}y}{\left( 0\right) ^{4}-y^{2}}=\lim \limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{-y^{2}}=0\text{.} \] Si \(y=0 \) tenemos que \[ \lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}\left( 0\right) }{x^{4}-\left( 0\right) ^{2}}=\lim \limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{x^{4}}=0\text{.} \] Como la función no está definida cuando \(\left\vert y\right\vert =x^{2} \), entonces analizaremos esta función y buscaremos otra que se comporte como ella en el origen. Como \(\left\vert y\right\vert =x^{2} \), entonces \[ \left\vert y\right\vert =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} x^{2} & & \text{si }y\geq0\\ -x^{2} & & \text{si }y\leq0 \end{array} \right. \] Analizaremos ambos casos. Primer caso: \[ \begin{array} [c]{lllll} y=x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x\\ y^{\prime}=2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime} =2\operatorname*{sen}x\cos x=\operatorname*{sen}2x\\ y^{\prime\prime}=2 & & \text{vale }2\text{ en cero,} & & y^{\prime\prime }=2\cos2x \end{array} \] Segundo caso: \[ \begin{array} [c]{lllll} y=-x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=-\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x\\ y^{\prime}=-2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime} =-2\operatorname*{sen}x\cos x=-\operatorname*{sen}2x\\ y^{\prime\prime}=-2 & & \text{vale }-2\text{ en cero,} & & y^{\prime\prime }=-2\cos2x \end{array} \] Utilizamos la función del primer caso \(y=\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x \). Así, \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,\operatorname*{sen}\nolimits^{2} x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{2}\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x}{x^{4}-\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x^{2}\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x}{x^{4}}}{\dfrac{x^{4}-\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}{x^{4} }}\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x}{x^{2}}}{1-\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}{x^{4}} }=\infty \end{align*} por tanto, la función \(f \) no es continua en el origen y en consecuencia no es derivable en \(\left( 0,0\right) . \)
  En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \), no es derivable y no es continua.