4. \(f \) no es de clase \(C^{1} \), \(f \) no derivable, \(f \) es continua

Sea \[ f\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{x^{2}y-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.} \end{array} \right. \] Solución:

Dominio de la función

El dominio de la función es \(\mathbb{R}^{2} \).

Derivadas parciales de primer orden

Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
- Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{h^{2}\left( 0\right) -h\left( 0\right) ^{2}}{h^{2}+\left( 0\right) ^{2}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0. \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) ^{2}h-\left( 0\right) h^{2}}{\left( 0\right) ^{2}+h^{2}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0. \end{array} \]
- Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) aplicamos las regla para derivar el cociente \(\dfrac{x^{2}y-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} \) con respecto a \)x \) y \(y \), respectivamente. Así, las derivadas parciales de primer orden son \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2xy^{3}+x^{2}y^{2}-y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{ si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{x^{4}-x^{2}y^{2}-2x^{3}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{ si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \]

Clase \(C^{1} \)

Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \)
Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) las derivadas parciales de primer orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R} ^{2}\mathbb{\diagdown }\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto es derivable y continua en \(\mathbb{R}^{2}\mathbb{\diagdown }\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
La derivada parcial de \(f \) con respecto a \(x \) no es continua en \( \left( 0,0\right) \), ya que si nos acercamos al origen por la trayectoria \( x=0 \) tenemos \[ \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{2\left( 0\right) y^{3}+\left( 0\right) ^{2}y^{2}-y^{4}}{\left( \left( 0\right) ^{2}+y^{2}\right) ^{2}} =\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{-y^{4}}{y^{4}}=-1 \] que no es el valor que toma la derivada parcial en \(\left( 0,0\right) \), así la función no es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2}. \) Esto implica que la función no es de clase \(C^{2} \) en \(\mathbb{R}^{2}. \)

Derivabilidad

Veremos ahora si la función es derivable en \(\left( 0,0\right) \). Para ello debemos ver si \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{ \partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }=0\text{. } \] Calculamos \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\!\!\dfrac{ \left\vert f\left( x,y\right) \!-f\left( 0,0\right) \!-\dfrac{\partial f}{ \partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\! &=&\!\!\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\! \dfrac{\left\vert \dfrac{x^{2}y-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}-0\right\vert }{\sqrt{ x^{2}+y^{2}}} \\ \! &=&\!\!\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\! \dfrac{\left\vert x^{2}y-xy^{2}\right\vert }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{ \frac{3}{2}}}\text{.} \end{eqnarray*} Si nos acercamos por la trayectoria \(y=x \) tenemos que \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\left\vert x^{3}-x^{3}\right\vert }{ \left( x^{2}+x^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{ \left\vert 0\right\vert }{\left( 2x^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}=0 \] Si nos acercamos por la trayectoria \(x=-y \) tenemos que \[ \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\left\vert \left( -y\right) ^{2}y-\left( -y\right) y^{2}\right\vert }{\left( \left( -y\right) ^{2}+y^{2}\right) ^{ \frac{3}{2}}}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\left\vert 2y^{3}\right\vert }{\left( 2y^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{y \rightarrow 0}\dfrac{2\left\vert y^{3}\right\vert }{2^{\frac{3}{2} }\left\vert y^{3}\right\vert }=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. \] Así la función no es derivable en el origen.

Continuidad

Veamos si la función es continua en \(\left( 0,0\right) \). Para ello debemos probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ x^{2}y-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0\text{.} \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), entonces \[ \left\vert x^{2}y-xy^{2}\right\vert \leq \left\vert x\right\vert ^{2}\left\vert y\right\vert +\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert ^{2}\leq 2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3} \] Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{x^{2}y-xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert \leq \frac{ 2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}}=2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon . \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \( \delta =\dfrac{\varepsilon }{2} \). Entonces la función es continua en el origen.