6. \(f \) no es \(C^{1} \), \(f \) no es continua, \(f \) no es derivable

Dominio de la función

Derivadas parciales de primer orden

• Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array} [c]{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{h^{2}\left( 0\right) }{h^{3}+\left( 0\right) ^{3}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{0-0}{h}=0.\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) ^{2}h}{\left( 0\right) ^{3}+h^{3}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{0-0}{h}=0. \end{array} \]
  • Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right) \in Dom\,f \) aplicamos a \(\dfrac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \) la regla para derivar un cociente con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente. Así, las derivadas parciales de primer orden en \(Dom\,f \) son \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{2xy^{4}-x^{4}y}{\left( x^{3}+y^{3}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{x^{5}-2x^{2}y^{3}}{\left( x^{3}+y^{3}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. . \]

Clase \(C^{1} \)

• Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f \)
  • Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas parciales de primer orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto, es derivable y continua en \(Dom\,f\mathbb{\diagdown }\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
  • La derivada parcial \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) no es continua en \)\left( 0,0\right) \) pues \(\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) \neq0. \) En efecto, si nos acercamos por la trayectoria \(y=0 \), tenemos \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right) =\dfrac{x^{5}-2x^{2}\left( 0\right) ^{3}}{\left( x^{3}+\left( 0\right) ^{3}\right) ^{2}} =\dfrac{x^{5}}{x^{6}}=\dfrac{1}{x}\;\;\;\text{si }x\neq0. \] Entonces si \(x>0 \) tenemos que \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=\infty. \] Si \(x<0 \), entonces \[ \lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty. \]
  Entonces la función \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \)no es continua en el origen y por tanto, \(f \) no es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f. \)

  Continuidad

  La función \(f \) tampoco es continua en \(\left( 0,0\right) \), ya que si \(y=x \), obtenemos \[ f\left( x,x\right) =\dfrac{x^{2}\left( x\right) }{x^{3}+x^{3}} =\dfrac{x^{3}}{2x^{3}}=\dfrac{1}{2}\;\;\;\text{si }x\neq0, \] por lo que \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,x\right) =\dfrac{1}{2}\neq f\left( 0,0\right) \) y \(f \) no es continua en \(\left( 0,0\right) \). En consecuencia no es derivable en \(\left( 0,0\right) . \) Por tanto, \(f \) no es de clase \(C^{1} \), no es de clase \(C^{2} \), no es continua y no es derivable.