Como \(x^{3}+y^{3}=0 \) si y sólo si \(x\neq-y \), el dominio de la función
es \(\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,x\neq-y\right. \right\}
\cup\left\{ (0,0)\right\} \).
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) aplicamos a \(\dfrac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}} \) la regla
para derivar un cociente con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden en \(Dom\,f \) son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{2xy^{4}-x^{4}y}{\left( x^{3}+y^{3}\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{x^{5}-2x^{2}y^{3}}{\left( x^{3}+y^{3}\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f \)
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas parciales de primer orden son continuas
por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \)
es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right)
\right\} \) y por tanto, es derivable y continua en \(Dom\,f\mathbb{\diagdown
}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
La derivada parcial \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) no es continua en
\)\left( 0,0\right) \) pues \(\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow
\left( 0,0\right) }\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) \neq0. \)
En efecto, si nos acercamos por la trayectoria \(y=0 \), tenemos
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right) =\dfrac{x^{5}-2x^{2}\left(
0\right) ^{3}}{\left( x^{3}+\left( 0\right) ^{3}\right) ^{2}}
=\dfrac{x^{5}}{x^{6}}=\dfrac{1}{x}\;\;\;\text{si }x\neq0.
\]
Entonces si \(x>0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=\infty.
\]
Si \(x<0 \), entonces
\[
\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty.
\]
Entonces la función \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \)no es continua en el
origen y por tanto, \(f \) no es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f. \)
Continuidad
La función \(f \) tampoco es continua en \(\left( 0,0\right) \), ya que si
\(y=x \), obtenemos
\[
f\left( x,x\right) =\dfrac{x^{2}\left( x\right) }{x^{3}+x^{3}}
=\dfrac{x^{3}}{2x^{3}}=\dfrac{1}{2}\;\;\;\text{si }x\neq0,
\]
por lo que \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,x\right) =\dfrac{1}{2}\neq
f\left( 0,0\right) \) y \(f \) no es continua en \(\left( 0,0\right) \). En
consecuencia no es derivable en \(\left( 0,0\right) . \)
Por tanto, \(f \) no es de clase \(C^{1} \), no es de clase \(C^{2} \), no es
continua y no es derivable.