Como \(x+y=0 \) si y sólo si \(y=-x \), el dominio de la función es
\(\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,y\neq-x\right. \right\}
\cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \).
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom~f \) aplicamos a \(\dfrac{x^{2}-xy}{x+y} \) la regla para
derivar un cociente con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{x^{2}+2xy-y^{2}}{\left( x+y\right) ^{2}} & & \text{si }\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{-2x^{2}}{\left( x+y\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right)
\neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \)
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom~f \) las derivadas parciales de primer orden son continuas
por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \)
es de clase \(C^{1} \) en \(Dom~f\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right)
\right\} \) y por tanto, es derivable y continua en \(Dom~f\mathbb{\diagdown
}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \(\dfrac{\partial
f}{\partial y} \) no es continua en \(\left( x,y\right) , \) ya que si nos
acercamos al origen por la trayectoria \(y=x, \) tenemos:
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-2x^{2}}{\left( x+x\right) ^{2}}
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-2x^{2}}{4x^{2}}=-\dfrac{1}{2}\neq
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) ,
\]
La funcion no es de clase \(C^{1} \) y en consecuencia tampoco es de clase \(C^{2} \).
Continuidad
Veremos ahora si la función \(f \) es continua. Calcularemos:
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac
{x^{2}-xy}{x+y}.
\]
Acerquémonos al origen por distintas trayectorias.
Si \(x=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) ^{2}-\left( 0\right) y}{0+y}=\lim
\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{y}=0.
\]
Si \(y=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x^{2}-x\left( 0\right) }{x+0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}x=0.
\]
Como la función no está definida en \(y=-x, \) escogemos
\(y=-\operatorname*{sen}x, \) en el origen tanto ella como su derivada se
comportan igual que la anterior:
\[
\begin{array}
[c]{ccccc}
y=-x & & \text{vale 0 en 0} & & y=-\operatorname*{sen}x\\
y^{\prime}=-1 & & \text{vale }-1\text{ en 0} & & y^{\prime}=-\cos x
\end{array}
\text{.}
\]
Acercándonos al origen por la trayectoria elegida tenemos
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,-\operatorname*{sen}x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{2}-x\left( -\operatorname*{sen}
x\right) }{x-\operatorname*{sen}x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{x^{2}+x\operatorname*{sen}x}{x-\operatorname*{sen}x}.
\]
Usando la regla de L'Hôpital obtenemos:
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{2}+x\operatorname*{sen}x}
{x-\operatorname*{sen}x} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{2x+\operatorname*{sen}x+x\cos x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2+\cos x+\cos x-x\operatorname*{sen}
x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2+2\cos x-x\operatorname*{sen}x}{1-\cos
x}=\infty\text{ }
\end{align*}
Entonces la función no es continua y por consiguiente tampoco derivable.
En este caso, la función no es de clase \(C^{2}, \) no es de clase \(C^{1}, \)
no es derivable y no es continua.