Como \(x^{2}+y=0 \) si y sólo si \(\,y=-x^{2} \), el dominio de la función
es \(\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,y\neq-x^{2}\right. \right\}
\cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \).
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right)
\in Dom\,f, \) aplicamos a \(\dfrac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y} \) la regla para derivar
un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{x^{4}+3x^{2}y-2xy^{2}}{\left( x^{2}+y\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{2x^{2}y+y^{2}-x^{3}}{\left( x^{2}+y\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si las derivadas parciales son continuas.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos
polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Asi \(f \) es de clase \(C^{1} \) en
\(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto,
derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =1 \), para la
continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right)
\) tenemos que probar
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial
x}\left( 0,0\right) =1.
\]
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0 \) obtenemos
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\left( 0\right) ^{4}+3\left( 0\right)
^{2}y-2\left( 0\right) y^{2}}{\left( \left( 0\right) ^{2}+y\right) ^{2}
}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{y^{2}}=0,
\]
por tanto, la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(x \) no es continua en
\(\left( 0,0\right) \), lo cual implica que \(f \) no es de clase \(C^{1} \) y por
tanto, tampoco de clase \(C^{2} \).
Derivabilidad
Veamos ahora si la función es derivable en \(\left( 0,0\right) \).
Queremos ver si se cumple que
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
}=0\text{.}
\]
Calculamos
\begin{align*}
& \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert \dfrac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y}-x-y\right\vert }{\sqrt
{x^{2}+y^{2}}}\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert \dfrac{x^{3}+y^{2}-x\left( x^{2}+y\right) -y\left(
x^{2}+y\right) }{x^{2}+y}\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{x^{3}+y^{2}-x^{3}-xy-x^{2}y-y^{2}}{\left( x^{2}+y\right)
\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{-xy-x^{2}y}{\left( x^{2}+y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}
}\right\vert \text{.}
\end{align*}
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(y=x \), obtenemos
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{-xy-x^{2}y}{\left( x^{2}+y\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert &
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{-x^{2}-x^{3}}{\left(
x^{2}+x\right) \sqrt{2x^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{-x^{2}-x^{3}}{x\left(
x+1\right) \left\vert x\right\vert \sqrt{2}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{-1-x}{\sqrt{2}\left(
x+1\right) }\right\vert \\
& =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align*}
De donde, la función no es derivable en \(\left( 0,0\right) . \)
Continuidad
Para ver si la función \(f \) es continua en \(\left( 0,0\right) \),
debemos ver si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac
{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y}=f\left( 0,0\right) =0.
\]
Acerquémonos al origen por distintas trayectorias.
Si tomamos \(x=0, \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) ^{3}+y^{2}}{\left( 0\right) ^{2}+y}
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{y^{2}}{y}=\lim\limits_{y\rightarrow0}y=0
\]
Si tomamos \(y=0, \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x^{3}+\left( 0\right) ^{2}}{x^{2}+0}=\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}x=0.
\]
Veamos ahora dónde no está definida la función.
La función no está definida en \(x^{2}+y=0 \), es decir, \(y=-x^{2} \),
buscaremos una función que se comporte como ella.
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=-x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=-\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\\
y^{\prime}=-2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=-2\operatorname*{sen}x\cos x=-\operatorname*{sen}2x\\
y^{\prime\prime}=-2 & & \text{vale }-2\text{ en cero } & & y^{\prime\prime
}=-2\cos2x
\end{array}
\]
Acercándonos al origen por esta trayectoria y aplicando tres
veces la regla de L'Hôpital, tenemos
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{3}+\left(
-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) ^{2}}{x^{2}-\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{3}+\operatorname*{sen}\nolimits^{4}
x}{x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{3x^{2}+4\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x\cos x}{2x-2\operatorname*{sen}x\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{6x+12\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x\cos^{2}x-4\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}{2-2\cos2x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{6+24\operatorname*{sen}x\cos
^{3}x-24\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\cos x-16\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x\cos x}{4\operatorname*{sen}2x}
\end{align*}
y este límite es \(\infty \) o \(-\infty, \) según nos acerquemos a
\(0 \) por la izquierda o por la derecha.
Por tanto, la función no es continua en el origen.
En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \),
no es derivable y no es continua.