Como \(y-x^{3}=0 \) si y sólo si \(y=x^{3} \), el dominio de la función es
\(\left\{ \left( x,y\right) \in\mathbb{R}^{2}\,\left\vert \,y\neq
x^{3}\right. \right\} \cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right)
\in Dom\,f, \) entonces aplicamos a \(\dfrac{xy}{y-x^{3}} \) la regla para derivar
un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{y^{2}+2x^{3}y}{\left( y-x^{3}\right) ^{2}} & & \text{si }\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{-x^{4}}{\left( y-x^{3}\right) ^{2}} & & \text{si }\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si las derivadas parciales son continuas.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos
polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así, \(f \) es de clase \(C^{1}
\) en \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto,
derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la
continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right)
\) tenemos que probar
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial
x}\left( 0,0\right) =0.
\]
Si nos acercamos al origen por la recta \(x=0 \) tenemos
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{y^{2}+2\left( 0\right) ^{3}y}{\left(
y-\left( 0\right) ^{3}\right) ^{2}}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac
{y^{2}}{\left( y\right) ^{2}}=1
\]
que no es el valor de la derivada parcial en el origen, así, la
función \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) no es continua en el origen y \(f \)
no es de clase \(C^{1} \) y por tanto, tampoco de clase \(C^{2}. \)
Veamos ahora si la función \(f \) es continua en \(\left( 0,0\right) \), es decir, si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac
{xy}{y-x^{3}}=f\left( 0,0\right) =0.
\]
Acerquémonos al origen por distintas trayectorias.
Si \(x=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) y}{y-\left( 0\right) ^{3}}=\lim
\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{y}=0\text{.}
\]
Si \(y=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x\left( 0\right) }{0-x^{3}}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac
{0}{-x^{3}}=0\text{.}
\]
Como la función no está definida en \(y-x^{3}=0, \) es decir, \(y=x^{3}, \)
buscaremos una función que se comporte como ella en el origen.
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=x^{3} & & \text{vale cero en cero} & & y=\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x\\
y^{\prime}=3x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=3\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos x\\
y^{\prime\prime}=6x & & \text{vale cero en cero,} & & y^{\prime\prime
}=6\operatorname*{sen}x\cos^{2}x-3\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\\
y^{\prime\prime\prime}=6 & & \text{vale }6\text{ en cero} & & y^{\prime
\prime\prime}=6\cos^{3}x-21\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos x
\end{array}
\]
Calcularemos el límite acercándonos por esta trayectoria
\(y=\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x \).
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,\operatorname*{sen}\nolimits^{3}
x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x}{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x-x^{3}}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}\nolimits^{3}
x}{\left( \operatorname*{sen}x-x\right) \left( \operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x\operatorname*{sen}
\nolimits^{3}x}{x^{2}}}{\dfrac{\left( \operatorname*{sen}x-x\right) \left(
\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}\right) }{x^{2}
}}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x\operatorname*{sen}x}{x^{2}
}\left( \operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }{\left(
\operatorname*{sen}x-x\right) \left( \dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}}{x^{2}}\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{\operatorname*{sen}x-x}\right) \left( \dfrac{\dfrac
{\operatorname*{sen}x}{x}}{\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}}{x^{2}}}\right) \text{.}
\end{align*}
Calculamos por separado los límites de los factores
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}}
{\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}}{x^{2}}
}=\dfrac{1}{3}
\]
Ahora calculamos el límite del primer factor usando la regla de
L'Hôpital
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{\operatorname*{sen}x-x} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{2\operatorname*{sen}x\cos x}{\cos x-1}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\cos2x}{-\operatorname*{sen}x}
=\pm\infty,
\end{align*}
por tanto, la función \(f \) no es continua en el origen.
En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \),
no es derivable y no es continua.