15. \(f \) no es \(C^{1} \), \(f \) no es derivable, \(f \)no es continua}

Dominio

Derivadas parciales de primer orden

• Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array} [c]{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{h\left( 0\right) }{0-h^{3}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{0-0}{h}=0.\\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) h}{h-\left( 0\right) ^{3}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{0-0}{h}=0. \end{array} \]
  • Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right) \in Dom\,f, \) entonces aplicamos a \(\dfrac{xy}{y-x^{3}} \) la regla para derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente. Así, las derivadas parciales de primer orden son \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{y^{2}+2x^{3}y}{\left( y-x^{3}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{-x^{4}}{\left( y-x^{3}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. . \]

Clase \(C^{1} \)

• Veremos si las derivadas parciales son continuas.
  • Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así, \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto, derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} . \)
  • Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0. \] Si nos acercamos al origen por la recta \(x=0 \) tenemos \[ \lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{y^{2}+2\left( 0\right) ^{3}y}{\left( y-\left( 0\right) ^{3}\right) ^{2}}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac {y^{2}}{\left( y\right) ^{2}}=1 \] que no es el valor de la derivada parcial en el origen, así, la función \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) no es continua en el origen y \(f \) no es de clase \(C^{1} \) y por tanto, tampoco de clase \(C^{2}. \)

Derivabilidad

• Analizamos ahora la derivabilidad de la función, es decir, si \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }=0\text{.} \] Calculamos \begin{align*} \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } & =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) } \dfrac{\left\vert \dfrac{xy}{y-x^{3}}\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\ & =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert \dfrac{xy}{\left( y-x^{3}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert \text{.} \end{align*} Si \(y=x \) tenemos que: \begin{align*} \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert \dfrac{xy}{\left( y-x^{3}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x\left( x\right) }{\left( x-x^{3}\right) \sqrt{x^{2}+x^{2}}}\right\vert \\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{2}}{x\left( 1-x^{2}\right) \left\vert x\right\vert \sqrt{2}}\right\vert \text{ }\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\left\vert 1-x^{2}\right\vert }\text{ }=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\text{ } \end{align*} Por tanto, la función \(f \) no es derivable en el origen.

Continuidad

• Veamos ahora si la función \(f \) es continua en \(\left( 0,0\right) \), es decir, si \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac {xy}{y-x^{3}}=f\left( 0,0\right) =0. \] Acerquémonos al origen por distintas trayectorias. Si \(x=0 \) tenemos que \[ \lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\left( 0\right) y}{y-\left( 0\right) ^{3}}=\lim \limits_{y\rightarrow0}\dfrac{0}{y}=0\text{.} \] Si \(y=0 \) tenemos que \[ \lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\left( 0\right) }{0-x^{3}}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac {0}{-x^{3}}=0\text{.} \] Como la función no está definida en \(y-x^{3}=0, \) es decir, \(y=x^{3}, \) buscaremos una función que se comporte como ella en el origen. \[ \begin{array} [c]{lllll} y=x^{3} & & \text{vale cero en cero} & & y=\operatorname*{sen} \nolimits^{3}x\\ y^{\prime}=3x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime} =3\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos x\\ y^{\prime\prime}=6x & & \text{vale cero en cero,} & & y^{\prime\prime }=6\operatorname*{sen}x\cos^{2}x-3\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x\\ y^{\prime\prime\prime}=6 & & \text{vale }6\text{ en cero} & & y^{\prime \prime\prime}=6\cos^{3}x-21\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\cos x \end{array} \] Calcularemos el límite acercándonos por esta trayectoria \(y=\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x \). \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,\operatorname*{sen}\nolimits^{3} x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen} \nolimits^{3}x}{\operatorname*{sen}\nolimits^{3}x-x^{3}}\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}\nolimits^{3} x}{\left( \operatorname*{sen}x-x\right) \left( \operatorname*{sen} \nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}\right) }\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x\operatorname*{sen} \nolimits^{3}x}{x^{2}}}{\dfrac{\left( \operatorname*{sen}x-x\right) \left( \operatorname*{sen}\nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}\right) }{x^{2} }}\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x\operatorname*{sen}x}{x^{2} }\left( \operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }{\left( \operatorname*{sen}x-x\right) \left( \dfrac{\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}}{x^{2}}\right) }\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{\operatorname*{sen} \nolimits^{2}x}{\operatorname*{sen}x-x}\right) \left( \dfrac{\dfrac {\operatorname*{sen}x}{x}}{\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2} x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}}{x^{2}}}\right) \text{.} \end{align*} Calculamos por separado los límites de los factores \[ \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}} {\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x+x\operatorname*{sen}x+x^{2}}{x^{2}} }=\dfrac{1}{3} \] Ahora calculamos el límite del primer factor usando la regla de L'Hôpital \begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2} x}{\operatorname*{sen}x-x} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac {2\operatorname*{sen}x\cos x}{\cos x-1}\\ & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\cos2x}{-\operatorname*{sen}x} =\pm\infty, \end{align*} por tanto, la función \(f \) no es continua en el origen.
  En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \), no es derivable y no es continua.