Como \(x^{2}+y=0 \) si y sólo si \(\,y=-x^{2} \), el dominio de la función
es \(\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,y\neq-x^{2}\right. \right\}
\cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \).
Derivadas parciales de primer orden
Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden.
Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right)
\in Dom\,f, \) aplicamos a \(\dfrac{x^{2}y-y^{2}}{x^{2}+y} \) la regla para
derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{4xy^{2}}{\left( x^{2}+y\right) ^{2}} & & \text{si }\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{x^{4}-2x^{2}y-y^{2}}{\left( x^{2}+y\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
-1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si las derivadas parciales son continuas.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos
polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así, \(f \) es de clase \(C^{1}
\) en \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto,
derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =-1\, \), para la
continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) en \(\left( 0,0\right)
\) tenemos que probar
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial
y}\left( 0,0\right) =-1.
\]
Si nos acercamos por la trayectoria \(y=0 \):
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,0\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{4}-2x^{2}\left( 0\right) -\left(
0\right) ^{2}}{\left( x^{2}+0\right) ^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x^{4}}{x^{4}}=1,
\]
por tanto, la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(y \) no es continua en
\(\left( 0,0\right) \), lo cual implica que \(f \) no es de clase \(C^{1} \) y por
tanto, tampoco de clase \(C^{2} \).
Continuidad
En este caso no resulta sencillo ver si la función es derivable
usando la definición, vamos a ver entonces si es continua en el origen. De
no serlo, tampoco será derivable en el origen.
Recordemos que \(f\left( x,y\right) =\dfrac{x^{2}y-y^{2}}{x^{2}+y}
\) para \(\left( x,y\right) \in Dom f\diagdown
\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y acerquémonos al origen por
distintas trayectorias.
Si \(x=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) ^{2}y-y^{2}}{\left( 0\right) ^{2}+y}
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{-y^{2}}{y}=\lim\limits_{y\rightarrow
0}\left( -y\right) =0
\]
Si \(y=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x^{2}\left( 0\right) -\left( 0\right) ^{2}}{x^{2}+0}
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{0}{x^{2}}=0.
\]
La función no está definida en \(x^{2}+y=0, \) es decir, en \(y=-x^{2}. \)
Para aplicar el procedimiento antes visto, observamos que
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=-x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=-\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\\
y^{\prime}=-2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=-2\operatorname*{sen}x\cos x=-\operatorname*{sen}2x\\
y^{\prime\prime}=-2 & & \text{vale }-2\text{ en cero } & & y^{\prime\prime
}=-2\cos2x
\end{array}
\]
Acercándonos por esta trayectoria \(y=-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x, \)
tenemos
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^{2}\left(
-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) -\left( -\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\right) ^{2}}{x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-x^{2}\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x-\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}{x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}.
\end{align*}
Para calcular el último límite puede aplicarse repetidamente la regla
de L'Hôpital, sin embargo, mediante dicho proceso se obtienen expresiones
sumamente largas, por ello, preferimos resolverlo simplificando la
expresión y aplicando después la regla mencionada.
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-x^{2}\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x-\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}{x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\left(
-x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }{\left(
x-\operatorname*{sen}x\right) \left( x+\operatorname*{sen}x\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\left( -x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }
{x^{2}}}{\dfrac{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left(
x+\operatorname*{sen}x\right) }{x^{2}}}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\left(
-1-\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}\right) }{\left(
1-\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}\right) \left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}
x}{x}\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{1-\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}}\right) \left(
\dfrac{-1-\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}}{1+\dfrac
{\operatorname*{sen}x}{x}}\right) .
\end{align*}
Calcularemos por separado los límites de cada factor del producto
anterior:
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-1-\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{x^{2}}}{1+\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}}=-1.
\]
Para calcular el otro simplificamos y usamos la regla de L'Hôpital tres
veces
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}
{1-\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}
\dfrac{x\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x-\operatorname*{sen}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x+2x\operatorname*{sen}x\cos x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x+x\operatorname*{sen}2x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\operatorname*{sen}x\cos
x+\operatorname*{sen}2x+2x\cos2x}{\operatorname*{sen}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\operatorname*{sen}2x+2x\cos
2x}{\operatorname*{sen}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{4\cos2x+2\cos2x-4x\operatorname*{sen}
2x}{\cos x}=6.
\end{align*}
Así
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{1-\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}}\right) \left( \dfrac{-1-\dfrac
{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}}{\left( 1+\dfrac
{\operatorname*{sen}x}{x}\right) }\right) =-6,
\]
por tanto,
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-x^{2}\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x-\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}{x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}=-6
\]
es decir, la función \(f \) no es continua en el origen, lo cual implica que
tampoco es derivable en ese punto.
Éste en un ejemplo donde la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase
\(C^{1} \), no es derivable y no es continua.