11. \(f \) no es \(C^{1} \), \(f \) no es continua, entonces no es derivable

Sea \[ f\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array} [c]{ccc} \dfrac{x^{2}y-y^{2}}{x^{2}+y} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm] 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \text{.} \end{array} \right. \] Solución:

Dominio

Como \(x^{2}+y=0 \) si y sólo si \(\,y=-x^{2} \), el dominio de la función es \(\left\{ \left( x,y\right) \,\left\vert \,y\neq-x^{2}\right. \right\} \cup\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \).

Derivadas parciales de primer orden

Clase \(C^{1} \)

Continuidad