Si \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left( x,y\right)
\in Dom\,f, \) entonces aplicamos a \(\dfrac{xy^{2}}{x^{4}-y^{2}} \) la regla para
derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{-3x^{4}y^{2}-y^{4}}{\left( x^{4}-y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{2x^{5}y}{\left( x^{4}-y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left(
x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right. .
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si las derivadas parciales son continuas.
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) y \(\left(
x,y\right) \in Dom\,f \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos
polinomios en las variables \(x \) y \(y. \) Así, \(f \) es de clase \(C^{1}
\) en \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto,
derivable y continua en cada punto de \(Dom\,f\diagdown\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la
continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right)
\) tenemos que probar
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial f}{\partial
x}\left( 0,0\right) =0.
\]
Si nos acercamos al origen por la recta \(x=0 \) tenemos
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{-3\left( 0\right) ^{4}y^{2}-y^{4}
}{\left( \left( 0\right) ^{4}-y^{2}\right) ^{2}}=\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{-y^{4}}{\left( -y^{2}\right) ^{2}}=-1
\]
que no es el valor de la derivada parcial en el origen, así, la
función no es de clase \(C^{1} \) y por tanto, tampoco de clase \(C^{2}. \)
Derivabilidad
Analizamos ahora la derivabilidad de la función, es decir,
si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
}=0\text{.}
\]
Calculamos
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial
f}{\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } &
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }
\dfrac{\left\vert \dfrac{xy^{2}}{x^{4}-y^{2}}\right\vert }{\sqrt{x^{2}+y^{2}}
}\\
& =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\left\vert \dfrac{xy^{2}}{\left( x^{4}-y^{2}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}
}\right\vert \text{.}
\end{align*}
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(y=x \) tenemos que:
\begin{align*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\left\vert
\dfrac{xy^{2}}{\left( x^{4}-y^{2}\right) \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right\vert &
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x\left( x^{2}\right) }{\left(
x^{4}-x^{2}\right) \sqrt{x^{2}+x^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{3}}{\left( x^{4}
-x^{2}\right) \sqrt{2x^{2}}}\right\vert \\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left\vert \dfrac{x^{3}}{x^{2}\left(
x^{2}-1\right) \left\vert x\right\vert \sqrt{2}}\right\vert \text{ }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\left\vert
x^{2}-1\right\vert }=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align*}
Por tanto, la función no es derivable en el origen.
Continuidad
Veamos ahora si la función es continua en \(\left( 0,0\right) \), es
decir, si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac
{xy^{2}}{x^{4}-y^{2}}=f\left( \left( 0,0\right) \right) =0.
\]
Acerquémonos al origen por distintas trayectorias.
Si \(x=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow
0}\dfrac{\left( 0\right) y^{2}}{\left( 0\right) ^{4}-y^{2}}=\lim
\limits_{y\rightarrow0}0=0\text{.}
\]
Si \(y=0 \) tenemos que
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,0\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
0}\dfrac{x\left( 0\right) ^{2}}{x^{4}-\left( 0\right) ^{2}}=\lim
\limits_{y\rightarrow0}0=0\text{.}
\]
Como la función no está definida en \(\left\vert y\right\vert =x^{2} \)
entonces analizaremos esta función y buscaremos otra que se comporte como ella.
Como \(\left\vert y\right\vert =x^{2} \) entonces sabemos que
\[
\left\vert y\right\vert =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
x^{2} & & \text{si }y\geq0\\
-x^{2} & & \text{si }y\leq0
\end{array}
\right.
\]
Analizaremos ambos casos.
Primer caso:
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\\
y^{\prime}=2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=2\operatorname*{sen}x\cos x=\operatorname*{sen}2x\\
y^{\prime\prime}=2 & & \text{vale }2\text{ en cero,} & & y^{\prime\prime
}=2\cos2x
\end{array}
\]
Segundo caso:
\[
\begin{array}
[c]{lllll}
y=-x^{2} & & \text{vale cero en cero} & & y=-\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\\
y^{\prime}=-2x & & \text{vale cero en cero} & & y^{\prime}
=-2\operatorname*{sen}x\cos x=-\operatorname*{sen}2x\\
y^{\prime\prime}=-2 & & \text{vale }-2\text{ en cero,} & & y^{\prime\prime
}=-2\cos2x
\end{array}
\]
Como tenemos \(y^{2} \) en la expresión del límite, podemos sustituir
cualquiera de las dos trayectorias y obtendremos el mismo resultado.
Así,
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x,\pm\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x\right) & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}
\nolimits^{4}x}{x^{4}-\operatorname*{sen}\nolimits^{4}x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}\nolimits^{4}
x}{\left( x^{2}-\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) \left(
x^{2}+\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\operatorname*{sen}\nolimits^{4}
x}{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left( x+\operatorname*{sen}
x\right) \left( x^{2}+\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x\right) }\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{x\operatorname*{sen}
\nolimits^{4}x}{x^{3}}}{\dfrac{\left( x-\operatorname*{sen}x\right) \left(
x+\operatorname*{sen}x\right) \left( x^{2}+\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x\right) }{x^{3}}}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{x^{2}}\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{\left(
x-\operatorname*{sen}x\right) \left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}x}
{x}\right) \left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}\right)
}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\left( \dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}
\nolimits^{2}x}{x^{2}}}{\left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}\right)
\left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}\right) }\right)
\left( \dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x-\operatorname*{sen}
x}\right) \text{.}
\end{align*}
Calculamos por separado los límites de los factores
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{x^{2}}}{\left( 1+\dfrac{\operatorname*{sen}x}{x}\right) \left(
1+\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}x}{x^{2}}\right) }=\dfrac
{1}{2\left( 2\right) }=\dfrac{1}{4}
\]
Ahora calculamos el límite del segundo factor usando la regla de
L'Hôpital
\begin{align*}
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}\nolimits^{2}
x}{x-\operatorname*{sen}x} & =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac
{2\operatorname*{sen}x\cos x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\operatorname*{sen}2x}{1-\cos x}\\
& =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2\cos2x}{\operatorname*{sen}x}=\pm
\infty,
\end{align*}
por tanto, la función \(f \) no es continua en el origen.
En este ejemplo la función no es de clase \(C^{2} \), no es de clase \(C^{1} \),
no es derivable y no es continua.