Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) aplicamos a \(\dfrac{
x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \)la regla para derivar un cociente con respecto a \(x \) y \(y \) respectivamente.
Así,
\begin{equation*}
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{x^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{
si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\[4mm]
1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ccc}
\dfrac{-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & &
\text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\[4mm]
1 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Clase \(C^{1} \)
Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \), es decir, si
sus derivadas parciales de primer orden son continuas en \(\mathbb{R}^{2}. \)
Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) las derivadas
parciales de primer orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios
en las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}
^{2}\mathbb{\diagdown }\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto es
derivable y continua en \(\mathbb{R}^{2}\mathbb{\diagdown }\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
Para analizar la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(
\left( 0,0\right) , \) usando el procedimiento visto en algunos de los
ejemplos anteriores tenemos:
Como \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \)
y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \)
, entonces
\begin{eqnarray*}
\left\vert -2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}\right\vert &\leq &\left\vert
-2x^{3}y\right\vert +\left\vert 3x^{2}y^{2}\right\vert +\left\vert
y^{4}\right\vert \\
&\leq &2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3}\left\Vert \left(
x,y\right) \right\Vert +3\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert
^{2}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}
+\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4} \\
&=&6\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}
\end{eqnarray*}
Así,
\begin{equation*}
\left\vert \dfrac{x^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}
\right\vert \leq \frac{6\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}}{
\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}}=6,
\end{equation*}
para todo \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) . \)
De manera que con lo anterior no podemos concluir que el \(
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) } \) \(\dfrac{
x^{4}+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} \) es \(0 \).
Hacemos un análisis acercándonos por algunas trayectorias al origen.
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0 \) tenemos
\begin{equation*}
\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,y\right)
=\lim\limits_{,y\rightarrow 0}\dfrac{\left( 0\right) ^{4}+3\left( 0\right)
^{2}y^{2}-2\left( 0\right) y^{3}}{\left( \left( 0\right) ^{2}+y^{2}\right)
^{2}}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{0}{y^{4}}=0\text{.}
\end{equation*}
Por tanto, \(\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) \neq 1 \); de donde la
derivada parcial de \(f \) con respecto a \(x \) no es continua en \(\left(
0,0\right) \). Esto implica que la función no es de clase \(C^{1} \) en su
dominio y por consiguiente, tampoco es de clase \(C^{2} \) en \(\mathbb{R
}^{2}. \)
Derivabilidad
Para saber si la función es derivable en \(\left( 0,0\right) \),
usamos directamente la definición. Para ser derivable en \(\left(
0,0\right) \) debe cumplirse que
\begin{equation*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{
\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{
\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert }=0.
\end{equation*}
Calculamos
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{
\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) -\dfrac{\partial f}{
\partial x}\left( 0,0\right) x-\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(
0,0\right) y\right\vert }{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert } \\[4mm]
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{
\left\vert \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}-x-y\right\vert }{\sqrt{
x^{2}+y^{2}}} \\[4mm]
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{
\left\vert x^{3}+y^{3}-x^{3}-xy^{2}-x^{2}y-y^{3}\right\vert }{\left(
x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} \\[5mm]
=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{
\left\vert -xy^{2}-x^{2}y\right\vert }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{3}{2
}}},
\end{array}
\end{equation*}
Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(y=x, \) obtenemos
\begin{equation*}
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{
\left\vert -xy^{2}-x^{2}y\right\vert }{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{\frac{3}{2
}}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\left\vert -x^{3}-x^{3}\right\vert }{
\left( 2x^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{
\left\vert -2x^{3}\right\vert }{2^{\frac{3}{2}}\left\vert x^{3}\right\vert }=
\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Así, el límite no es cero y entonces la función \(f \) no es
derivable en \(\left( 0,0\right) . \)
Continuidad
Analizamos ahora la continuidad de \(f \) en \(\left( 0,0\right) \). Si la
función \(f\left( x,y\right) \) es continua en \(\left( 0,0\right) \) debe
suceder que
\begin{equation*}
\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{
x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=0.
\end{equation*}
Sabemos que \)\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left(
x,y\right) \right\Vert \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left(
x,y\right) \right\Vert \), entonces
\begin{equation*}
\left\vert x^{3}+y^{3}\right\vert \leq \left\vert x\right\vert
^{3}+\left\vert y\right\vert ^{3}\leq 2\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert ^{3}
\end{equation*}
Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos
\begin{equation*}
\left\vert \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert \leq \frac{
2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3}}{\left\Vert \left( x,y\right)
\right\Vert ^{2}}=2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon
\end{equation*}
si \(0 < \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \(
\delta =\dfrac{\varepsilon }{2} \).
Por tanto, \(f \) es continua en el origen.
Entonces en \(\mathbb{R}^{2} \) la función \(f \) no es de clase \(C^{1} \),
tampoco es de clase \(C^{2} \) ni derivable por lo que sucede en el origen. Sin
embargo, sí es continua en \(\mathbb{R}^{2}. \)