2. \(f\; \)es de clase \(C^{1} \), pero no es de clase \(C^{2} \)

Dominio de la función

Derivadas parciales de primer orden

• Primero calculamos las derivadas parciales de primer orden.
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{h^{2}\left( 0\right) ^{2}}{h^{2}+\left( 0\right) ^{2}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0. \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) ^{2}h^{2}}{\left( 0\right) ^{2}+h^{2}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0\text{.} \end{array} \]
  • Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) aplicamos a \(\dfrac{ x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \)la regla para derivar un cociente, con respecto a \( x \) y \(y \), respectivamente. Así, las derivadas parciales son \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2xy^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2x^{4}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \]

Clase \(C^{1} \)

• Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \), es decir, si sus derivadas parciales de primer orden son continuas en \(\mathbb{R}^{2}. \)
  • Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) las derivadas parciales de primer orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \)
  • Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{2x^{4}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2} }=0. \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \), entonces \[ \left\vert 2xy^{4}\right\vert =2\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert ^{4}\leq 2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}=2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{5} \] Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{2xy^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right\vert \leq \frac{2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{5}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}}=2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon . \]
  si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \) con \(\delta =\dfrac{ \varepsilon }{2} \). Entonces la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(x \) es continua en el origen.
• Veremos ahora que la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(y \) también es continua en \(\left( 0,0\right) \).
  • Como \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =0 \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{2x^{4}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2} }=0. \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \), entonces \[ \left\vert 2x^{4}y\right\vert =2\left\vert x\right\vert ^{4}\left\vert y\right\vert \leq 2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{5}. \] Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{2x^{4}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right\vert \leq \frac{2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{5}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}}=2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon . \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \(\delta = \dfrac{\varepsilon }{2} \).
  Así, la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(y \) es también continua en el origen. Por tanto, las derivadas parciales de primer orden de la función \(f \) son continuas en \(\mathbb{R}^{2} \), esto es, la función es de clase \(C^{1}. \) Como consecuencia tenemos que la función es derivable y continua en \(\mathbb{R}^{2}. \)

Derivadas parciales de segundo orden

• Ahora veremos que \(f \) no es de clase \(C^{2} \) mostrando que \(\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) \) no es continua en \(\left( 0,0\right) . \) Recordemos que \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2xy^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \]
• Calcularemos ahora la derivada parcial de segundo orden \(\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x} \)
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \), entonces \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,h\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) }{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{2\left( 0\right) \left( h\right) ^{4}}{\left( \left( 0\right) ^{2}+h^{2}\right) ^{2}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0. \]
  • Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) aplicamos la regla para derivar el cociente \(\dfrac{2xy^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} \) con respecto a \(y. \) Así, \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{8x^{3}y^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & si \quad \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ 0 & si \quad \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) . \end{array} \right. \]
  • Para analizar la continuidad de esta función, podemos proceder de la misma manera que en el análisis que hicimos para la continuidad de las derivadas parciales de primer orden: Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \), entonces \[ \left\vert 8x^{3}y^{3}\right\vert =8\left\vert x\right\vert ^{3}\left\vert y\right\vert ^{3}\leq 8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3}=8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}. \] Así, \[ \left\vert \dfrac{8x^{3}y^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}}\right\vert \leq \frac{8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}=8, \] para todo \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \)
    Observamos que de esta desigualdad no podemos concluir que el \(\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) } \) \(\dfrac{ 8x^{3}y^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} \) es \(0 \).
    Esto no quiere decir que la derivada parcial de segundo orden que estamos considerando no sea continua, pues pudiera ser que éste no sea el procedimiento adecuado, sin embargo, podemos usar otra herramienta para determinar la continuidad de una función en un punto: acercarnos al punto a lo largo de trayectorias y ver si el límite de la función a lo largo de esas trayectorias es el valor de la función; si para alguna no es así, entonces la función es discontinua. Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(y=x \) obtenemos: \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x.x\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{8x^{6}}{\left( 2x^{2}\right) ^{3}}=\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{8x^{6}}{8x^{6}}=1, \] que no es el valor que toma la segunda derivada \(\dfrac{\partial ^{2}f}{ \partial y\partial x} \) en \(\left( 0,0\right) \), por tanto, \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} \) no es continua en el origen, lo cual implica que \(f \) no es de clase \(C^{2} \). Así \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \), pero no de clase \( C^{2}. \)