Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) aplicamos a
\(\dfrac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} \) la regla para derivar un cociente con respecto
a \(x \) y \(y \), respectivamente.
Así, las derivadas parciales de primer orden son
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{4xy^{3}-4x^{5}y}{\left( x^{4}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}
[c]{ccc}
\dfrac{2x^{6}-2x^{2}y^{2}}{\left( x^{4}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si
}\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \\[4mm]
0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}
\right.
\]
Clase \(C^{1} \)
Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \)
Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) las derivadas
parciales de primer orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en
las variables \(x \) y \(y. \) Así \(f \) es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}
^{2}\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto, es
derivable y continua en \(\mathbb{R}^{2}\mathbb{\diagdown}\left\{ \left(
0,0\right) \right\} . \)
La derivada parcial de \(f \) con respecto a \(x \) no es continua en \(\left(
0,0\right) \), ya que si nos acercamos al origen por la trayectoria \(y=x \),
tenemos
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,x\right) =\dfrac{4x^{4}-4x^{6}
}{\left( x^{4}+x^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{4x^{4}\left( 1-x^{2}\right)
}{x^{4}\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\]
de donde
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{4x^{4}\left( 1-x^{2}\right) }
{x^{4}\left( x^{2}+1\right) ^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{4\left(
1-x^{2}\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}=4.
\]
que no es el valor que toma la derivada parcial \(\dfrac{\partial f}{\partial
x} \) en \(\left( 0,0\right) \), por tanto ésta no es continua en el origen.
Así la función no es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2}. \) Esto
implica que la función no es de clase \(C^{2} \) en \(\mathbb{R}^{2}. \)
Derivabilidad y continuidad
Nos falta ver si \(f \) es derivable y si es continua en \(\left(
0,0\right) \).
Analizaremos primero la continuidad. Trataremos de ver si
\[
\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }f\left(
x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right)
}\dfrac{2x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}=0.
\]
Acercándonos por la trayectoria \(y=x \) tenemos:
\[
\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{2y^{3}}{y^{2}\left( y^{2}+1\right) }
=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{2y}{y^{2}+1}=0.
\]
Acercándonos por la trayectoria \(y=x^{2} \) tenemos:
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2x^{4}}{2x^{4}}=1\neq f\left( 0,0\right) .
\]
Entonces la función \(f \) no es continua en \(\left( 0,0\right) \) y por
tanto, tampoco es derivable en \(\left( 0,0\right) . \)
Observamos que no obstante existen las derivadas parciales en el origen, de la
función \(f \) , la función no es derivable ni continua en \(\left(
0,0\right) \).