7. Las derivadas parciales existen en cualquier punto excepto en \(\left( 0,0\right) \)

Dominio de la función

Clase \(C^{1}\)

• Veremos si \(f\) es de clase \(C^{1}\) en \(\mathbb{R}^{2}\)
  • Para \(\left( x,y\right) \neq\left( 0,0\right) \) las derivadas parciales de primer orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x\) y \(y.\) Así \(f\) es de clase \(C^{1}\) en \(\mathbb{R} ^{2}\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \) y por tanto es derivable y continua en \(\mathbb{R}^{2}\mathbb{\diagdown}\left\{ \left( 0,0\right) \right\} .\)
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{h+0}{h^{2}+\left( 0\right) ^{2}}-0} {h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{h}{h^{3}}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{h^{2}}=\infty\text{.} \] Análogamente tenemos que \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim \limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{0+h}{\left( 0\right) ^{2}+h^{2}}-0} {h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{h}{h^{3}}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{1}{h^{2}}=\infty. \]
  Así, las derivadas parciales de primer orden no existen en el origen, lo que implica que la función no es derivable en \(\left( 0,0\right) ,\) no es de clase \(C^{1}\) ni de clase \(C^{2}.\)

Continuidad de la función

• Veremos si la función es continua en \(\left( 0,0\right) \), es decir, si \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow\left( 0,0\right) }\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}=0\text{.} \] Si nos acercamos al origen por la trayectoria \(x=0\) tenemos \[ \lim\limits_{y\rightarrow0}f\left( 0,y\right) =\lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{0+y}{0^{2}+y^{2}}=\lim\limits_{y\rightarrow0}\dfrac{1}{y}. \] Entonces si \(y>0\) tenemos que \[ \lim\limits_{y\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{y}=\infty\text{.} \] Si \(y<0,\) entonces \[ \lim\limits_{y\rightarrow 0^{-}}\dfrac{1}{y}=-\infty. \] Entonces la función no es continua en el origen. Por tanto, en \(\mathbb{R}^{2}\) la función no es de clase \(C^{2},\) no es de clase \(C^{1}\), las derivadas parciales de primer orden no existen en el origen y esto implica que la función no es derivable en ese punto. Además, la función no es continua en \(\left( 0,0\right) .\)