1. \(f \) es de clase clase \(C^{1} \) pero no es de clase \(C^{2} \).

Dominio de la función

Derivadas parciales de primer orden

• Primero calculamos las derivadas parciales de primer orden.
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f\left( h,0\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{h^{3}\left( 0\right) ^{2}}{h^{2}+0^{2}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0\text{. } \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f\left( 0,h\right) -f\left( 0,0\right) }{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) ^{3}h^{2}}{\left( 0\right) ^{2}+h^{2}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0\text{.} \end{array} \]
  • Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) aplicamos a \(\dfrac{ x^{3}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \)la regla para derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
    Así, las derivadas parciales son \[ \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2x^{5}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & & \text{si }\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \]

Clase \(C^{1} \)

• Veremos si \(f \) es de clase \(C^{1}, \) es decir, si sus derivadas parciales de primer orden son continuas en \(\mathbb{R}^{2}. \)
• Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) las derivadas son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \)
  Analizaremos la continuidad de las parciales en \(\left( 0,0\right) \) .
• Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial x} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}=0. \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), entonces \[ \left\vert x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}\right\vert \leq \left\vert x^{4}y^{2}\right\vert +\left\vert 3x^{2}y^{4}\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}+3\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}=4\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}. \] Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} \right\vert \leq \dfrac{4\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}{ \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}}=4\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}<\varepsilon \text{ } \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \(\delta = \dfrac{1}{2}\sqrt{\varepsilon }. \) Entonces la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(x \) es continua en \(\left( 0,0\right) . \)
• Veremos ahora que la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(y \) también es continua en \(\left( 0,0\right) \). Como \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) =0 \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial f}{\partial y} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{2x^{5}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2} }=0. \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), entonces \[ \left\vert 2x^{5}y\right\vert \leq 2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{5}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}. \] Así, dado \(\varepsilon >0 \)\ tenemos \[ \left\vert \dfrac{2x^{5}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\right\vert \leq \frac{2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}}=2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2}<\varepsilon \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \(\delta =\sqrt{ \dfrac{\varepsilon }{2}}. \) Queda probado que la derivada parcial de \(f \) con respecto a \(y \) también es continua en \(\left( 0,0\right) \). Así, la función es de clase \(C^{1} \) en \(\mathbb{R}^{2} \), por consiguiente, derivable y continua en \(\mathbb{R}^{2}. \)

Derivadas parciales de segundo orden

• Ahora veremos si \(f \) es de clase \(C^{2} \) en \(\mathbb{R}^{2} \). Para ello debemos calcular las derivadas parciales de segundo orden. Si las derivadas parciales cruzadas son distintas, la función no es de clase \(C^{2}, \) si por el contrario, resultan iguales, entonces es necesario probar que cada una de las derivadas parciales de orden dos sean continuas.
  • Calculamos las derivadas parciales cruzadas de segundo orden. Recordemos que las derivadas parciales de primer orden son \[\dfrac{\partial f }{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\] y \[\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right) =\dfrac{2x^{5}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}}\] para \(\left(x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \)
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \) entonces \[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,h\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) }{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\left( 0\right) ^{4}h^{2}+3\left( 0\right) ^{2}h^{4}}{\left( \left( 0\right) ^{2}+h^{2}\right) ^{2}}-0}{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0\text{.} \\ \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( h,0\right) -\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) }{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{2h^{5}\left( 0\right) }{\left( h^{2}+\left( 0\right) ^{2}\right) ^{2}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{0-0}{h}=0\text{.} \end{array} \]
  • Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) aplicamos la regla para derivar un cociente, con respecto a \(y \) y \(x \), respectivamente. Así las derivadas parciales cruzadas son: \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2x^{6}y+10x^{4}y^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & & \text{si } \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2x^{6}y+10x^{4}y^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & & \text{si } \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] Tenemos que las derivadas cruzadas son iguales.

Clase \(C^{2} \)

• Veamos si la función es de clase \(C^{2} \), para ello intentaremos demostrar que todas las derivadas de segundo orden son continuas. Calculamos primero las derivadas de segundo orden que nos faltan: \(\dfrac{\partial ^{2}f }{\partial x^{2}}\left( x,y\right) \) y \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2} }\left( x,y\right) . \)
  • Si \(\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) , \) entonces \[ \begin{array}{l} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( h,0\right) -\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( 0,0\right) }{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{h^{4}\left( 0\right) ^{2}+3h^{2}\left( 0\right) ^{4}}{\left( h^{2}+\left( 0\right) ^{2}\right) ^{3}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{0-0}{h}=0\text{.} \\ \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 0,0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,h\right) -\dfrac{\partial f}{\partial y}\left( 0,0\right) }{h} =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{2\left( 0\right) ^{5}h}{\left( \left( 0\right) ^{2}+h^{2}\right) ^{2}}-0}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{0-0}{h}=0\text{.} \end{array} \]
  • Si \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) entonces aplicamos a \( \dfrac{x^{4}y^{2}+3x^{2}y^{4}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} \) y \(\dfrac{ 2x^{5}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} \) la regla para derivar un cociente, con respecto a \(x \) y \(y \), respectivamente.
  De donde, \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{-2x^{3}y^{4}+6xy^{6}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & & \text{si } \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] y \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2x^{7}-6x^{5}y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & & \text{si } \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \]
• Veamos ahora si las derivadas parciales de segundo orden son continuas.
  • Para \(\left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \) las cuatro derivadas parciales de segundo orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables \(x \) y \(y. \)
  • Analizaremos la continuidad de las parciales de segundo orden en \(\left(0,0\right) \) .
    • Como \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{2x^{6}y+10x^{4}y^{3}}{ \left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}}=0\text{.} \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), entonces \begin{eqnarray*} \left\vert 2x^{6}y+10x^{4}y^{3}\right\vert &\leq &\left\vert 2x^{6}y\right\vert +\left\vert 10x^{4}y^{3}\right\vert \\ &\leq &2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert +10\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3} \\ &=&12\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7}. \end{eqnarray*} Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{2x^{6}y+10x^{4}y^{3}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} \right\vert \leq \frac{12\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7}}{ \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}=12\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta\), con \(\delta = \dfrac{\varepsilon }{12}. \) Por tanto, \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) \) es también continua en \(\left( 0,0\right) . \) Además como \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) \quad \quad \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\text{,} \] entonces \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) \] también lo es.
    • Veamos ahora que \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{-2x^{3}y^{4}+6xy^{6}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & & \text{si } \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] también es continua en \(\left( 0,0\right) . \)
    Como \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{-2x^{3}y^{4}+6xy^{6}}{ \left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}}=0\text{.} \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), entonces \begin{eqnarray*} \left\vert -2x^{3}y^{4}+6xy^{6}\right\vert &\leq &\left\vert -2x^{3}y^{4}\right\vert +\left\vert 6xy^{6}\right\vert \\ &\leq &2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{3}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{4}+6\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6} \\ &=&8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7}. \end{eqnarray*} Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{-2x^{3}y^{4}+6xy^{6}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} \right\vert \leq \frac{8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7}}{ \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}=8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \(\delta = \dfrac{\varepsilon }{8}. \) Por tanto, \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \) es también continua en \(\left( 0,0\right) . \)
  • Por último, veremos la continuidad de \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =\left\{ \begin{array}{ccc} \dfrac{2x^{7}-6x^{5}y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} & & \text{si } \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right) \\ & & \\ 0 & & \text{si }\left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \end{array} \right. \] en el origen. Como \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 0,0\right) =0\, \), para la continuidad de \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} \) en \(\left( 0,0\right) \) tenemos que probar que \[ \lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\dfrac{2x^{7}-6x^{5}y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}}=0\text{.} \] Sabemos que \(\left\vert x\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) y \(\left\vert y\right\vert \leq \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}} \), entonces \begin{eqnarray*} \left\vert 2x^{7}-6x^{5}y^{2}\right\vert &\leq &2\left\vert x^{7}\right\vert +6\left\vert x^{5}y^{2}\right\vert \\ &\leq &2\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7}+6\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{5}\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{2} \\ &=&8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7} \end{eqnarray*} Así, dado \(\varepsilon >0 \) tenemos \[ \left\vert \dfrac{2x^{7}-6x^{5}y^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}} \right\vert \leq \frac{8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{7}}{ \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert ^{6}}=8\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\varepsilon \] si \(0<\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert <\delta \), con \(\delta = \dfrac{\varepsilon }{8}. \) Por tanto, \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} \)es también continua en el origen. Así las derivadas parciales de segundo orden \[ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) \text{, }\quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) \text{, } \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) \text{, } \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) \] son continuas en \(\mathbb{R}^{2} \). Entonces la función \(f \) es de clase \(C^{2}. \)