1. $f$ es de clase clase $C^1$ pero no es de clase $C^2$.

Dominio de la función

Derivadas parciales de primer orden

• Primero calculamos las derivadas parciales de primer orden.
  • Si $(x,y)=(0,0)$ entonces $$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{h^3{\left(0\right)}^2}{h^2+0^2}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0\text{. }\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\left(0\right)}^3{h}^2}{{\left(0\right)}^2+h^2}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0\text{.}\end{array}$$
  • Para $(x,y)\ne (0,0)$ aplicamos a ${\displaystyle \frac{x^3{y}^2}{x^2+y^2}}$la regla para derivar un cociente, con respecto a $x$ y $y$, respectivamente.
    Así, las derivadas parciales son $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x^4{y}^2+3x^2{y}^4}{{(x^2+y^2)}^2}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ y $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x^{5}y}{{(x^2+y^2)}^2}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$

Clase $C^1$

• Veremos si $f$ es de clase $C^1,$ es decir, si sus derivadas parciales de primer orden son continuas en ${\mathbb{R}}^2.$
• Para $(x,y)\ne (0,0)$ las derivadas son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables $x$ y $y.$
  Analizaremos la continuidad de las parciales en $(0,0)$ .
• Como ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$, para la continuidad de ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$ en $(0,0)$ tenemos que probar que $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^4{y}^2+3x^2{y}^4}{{(x^2+y^2)}^2}}=0.$$ Sabemos que $\left|x\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ y $\left|y\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$, entonces $$|x^4{y}^2+3x^2{y}^4|\le \left|x^4{y}^2\right|+\left|3x^2{y}^4\right|\le {\Vert (x,y)\Vert }^4{\Vert (x,y)\Vert }^2+3{\Vert (x,y)\Vert }^2{\Vert (x,y)\Vert }^4=4{\Vert (x,y)\Vert }^6.$$ Así, dado $\epsilon >0$ tenemos $$\left|{\displaystyle \frac{x^4{y}^2+3x^2{y}^4}{{(x^2+y^2)}^2}}\right|\le {\displaystyle \frac{4{\Vert (x,y)\Vert }^6}{{\Vert (x,y)\Vert }^4}}=4{\Vert (x,y)\Vert }^2<\epsilon$$ si $0<\Vert (x,y)\Vert <\delta$, con $\delta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\epsilon }.$ Entonces la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ es continua en $(0,0).$
• Veremos ahora que la derivada parcial de $f$ con respecto a $y$ también es continua en $(0,0)$. Como ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)=0$, para la continuidad de ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}$ en $(0,0)$ tenemos que probar que $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{2x^{5}y}{{(x^2+y^2)}^2}}=0.$$ Sabemos que $\left|x\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ y $\left|y\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$, entonces $$\left|2x^{5}y\right|\le 2{\Vert (x,y)\Vert }^5\Vert (x,y)\Vert =2{\Vert (x,y)\Vert }^6.$$ Así, dado $\epsilon >0$\ tenemos $$\left|{\displaystyle \frac{2x^{5}y}{{(x^2+y^2)}^2}}\right|\le \frac{2{\Vert (x,y)\Vert }^6}{{\Vert (x,y)\Vert }^4}=2{\Vert (x,y)\Vert }^2<\epsilon$$ si $0<\Vert (x,y)\Vert <\delta$, con $\delta =\sqrt{{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}}.$ Queda probado que la derivada parcial de $f$ con respecto a $y$ también es continua en $(0,0)$. Así, la función es de clase $C^1$ en ${\mathbb{R}}^2$, por consiguiente, derivable y continua en ${\mathbb{R}}^2.$

Derivadas parciales de segundo orden

• Ahora veremos si $f$ es de clase $C^2$ en ${\mathbb{R}}^2$. Para ello debemos calcular las derivadas parciales de segundo orden. Si las derivadas parciales cruzadas son distintas, la función no es de clase $C^2,$ si por el contrario, resultan iguales, entonces es necesario probar que cada una de las derivadas parciales de orden dos sean continuas.
  • Calculamos las derivadas parciales cruzadas de segundo orden. Recordemos que las derivadas parciales de primer orden son $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)={\displaystyle \frac{x^4{y}^2+3x^2{y}^4}{{(x^2+y^2)}^2}}$$ y $${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)={\displaystyle \frac{2x^{5}y}{{(x^2+y^2)}^2}}$$ para $(x,y)\ne (0,0)$
  • Si $(x,y)=(0,0)$ entonces $$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,h)-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{{\left(0\right)}^4{h}^2+3{\left(0\right)}^2{h}^4}{{({\left(0\right)}^2+h^2)}^2}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0\text{.}\\ \\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(h,0)-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2h^5\left(0\right)}{{(h^2+{\left(0\right)}^2)}^2}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0\text{.}\end{array}$$
  • Para $(x,y)\ne (0,0)$ aplicamos la regla para derivar un cociente, con respecto a $y$ y $x$, respectivamente. Así las derivadas parciales cruzadas son: $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x^{6}y+10x^4{y}^3}{{(x^2+y^2)}^3}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ y $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x^{6}y+10x^4{y}^3}{{(x^2+y^2)}^3}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ Tenemos que las derivadas cruzadas son iguales.

Clase $C^2$

• Veamos si la función es de clase $C^2$, para ello intentaremos demostrar que todas las derivadas de segundo orden son continuas. Calculamos primero las derivadas de segundo orden que nos faltan: ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x,y)$ y ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x,y).$
  • Si $(x,y)=(0,0),$ entonces $$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(h,0)-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{h^4{\left(0\right)}^2+3h^2{\left(0\right)}^4}{{(h^2+{\left(0\right)}^2)}^3}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0\text{.}\\ \\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(0,0)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,h)-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(0,0)}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2{\left(0\right)}^{5}h}{{({\left(0\right)}^2+h^2)}^2}}-0}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0-0}{h}}=0\text{.}\end{array}$$
  • Si $(x,y)\ne (0,0)$ entonces aplicamos a ${\displaystyle \frac{x^4{y}^2+3x^2{y}^4}{{(x^2+y^2)}^2}}$ y ${\displaystyle \frac{2x^{5}y}{{(x^2+y^2)}^2}}$ la regla para derivar un cociente, con respecto a $x$ y $y$, respectivamente.
  De donde, $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{-2x^3{y}^4+6x{y}^6}{{(x^2+y^2)}^3}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ y $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x^7-6x^5{y}^2}{{(x^2+y^2)}^3}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$
• Veamos ahora si las derivadas parciales de segundo orden son continuas.
  • Para $(x,y)\ne (0,0)$ las cuatro derivadas parciales de segundo orden son continuas por ser cocientes de dos polinomios en las variables $x$ y $y.$
  • Analizaremos la continuidad de las parciales de segundo orden en $(0,0)$ .
    • Como ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(0,0)=0$, para la continuidad de ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}$ en $(0,0)$ tenemos que probar que $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{2x^{6}y+10x^4{y}^3}{{(x^2+y^2)}^3}}=0\text{.}$$ Sabemos que $\left|x\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ y $\left|y\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$, entonces $$\begin{array}{rcl}|2x^{6}y+10x^4{y}^3|& \le & \left|2x^{6}y\right|+\left|10x^4{y}^3\right|\\ & \le & 2{\Vert (x,y)\Vert }^6\Vert (x,y)\Vert +10{\Vert (x,y)\Vert }^4{\Vert (x,y)\Vert }^3\\ & =& 12{\Vert (x,y)\Vert }^7.\end{array}$$ Así, dado $\epsilon >0$ tenemos $$\left|{\displaystyle \frac{2x^{6}y+10x^4{y}^3}{{(x^2+y^2)}^3}}\right|\le \frac{12{\Vert (x,y)\Vert }^7}{{\Vert (x,y)\Vert }^6}=12\Vert (x,y)\Vert <\epsilon$$ si $0<\Vert (x,y)\Vert <\delta$, con $\delta ={\displaystyle \frac{\epsilon }{12}}.$ Por tanto, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)$ es también continua en $(0,0).$ Además como $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)\mathrm{\forall }(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\text{,}$$ entonces $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)$$ también lo es.
    • Veamos ahora que $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{-2x^3{y}^4+6x{y}^6}{{(x^2+y^2)}^3}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ también es continua en $(0,0).$
    Como ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(0,0)=0$, para la continuidad de ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}$ en $(0,0)$ tenemos que probar que $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{-2x^3{y}^4+6x{y}^6}{{(x^2+y^2)}^3}}=0\text{.}$$ Sabemos que $\left|x\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ y $\left|y\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$, entonces $$\begin{array}{rcl}|-2x^3{y}^4+6x{y}^6|& \le & |-2x^3{y}^4|+\left|6x{y}^6\right|\\ & \le & 2{\Vert (x,y)\Vert }^3{\Vert (x,y)\Vert }^4+6\Vert (x,y)\Vert {\Vert (x,y)\Vert }^6\\ & =& 8{\Vert (x,y)\Vert }^7.\end{array}$$ Así, dado $\epsilon >0$ tenemos $$\left|{\displaystyle \frac{-2x^3{y}^4+6x{y}^6}{{(x^2+y^2)}^3}}\right|\le \frac{8{\Vert (x,y)\Vert }^7}{{\Vert (x,y)\Vert }^6}=8\Vert (x,y)\Vert <\epsilon$$ si $0<\Vert (x,y)\Vert <\delta$, con $\delta ={\displaystyle \frac{\epsilon }{8}}.$ Por tanto, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}$ es también continua en $(0,0).$
  • Por último, veremos la continuidad de $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x,y)=\{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2x^7-6x^5{y}^2}{{(x^2+y^2)}^3}}& & \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ & & \\ 0& & \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$$ en el origen. Como ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(0,0)=0$, para la continuidad de ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}$ en $(0,0)$ tenemos que probar que $$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{2x^7-6x^5{y}^2}{{(x^2+y^2)}^3}}=0\text{.}$$ Sabemos que $\left|x\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ y $\left|y\right|\le \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$, entonces $$\begin{array}{rcl}|2x^7-6x^5{y}^2|& \le & 2\left|x^7\right|+6\left|x^5{y}^2\right|\\ & \le & 2{\Vert (x,y)\Vert }^7+6{\Vert (x,y)\Vert }^5{\Vert (x,y)\Vert }^2\\ & =& 8{\Vert (x,y)\Vert }^7\end{array}$$ Así, dado $\epsilon >0$ tenemos $$\left|{\displaystyle \frac{2x^7-6x^5{y}^2}{{(x^2+y^2)}^3}}\right|\le \frac{8{\Vert (x,y)\Vert }^7}{{\Vert (x,y)\Vert }^6}=8\Vert (x,y)\Vert <\epsilon$$ si $0<\Vert (x,y)\Vert <\delta$, con $\delta ={\displaystyle \frac{\epsilon }{8}}.$ Por tanto, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}$es también continua en el origen. Así las derivadas parciales de segundo orden $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x,y)\text{, }{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x,y)\text{, }{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)\text{, }{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)$$ son continuas en ${\mathbb{R}}^2$. Entonces la función $f$ es de clase $C^2.$