Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Problemas Resueltos de Máximos y Mínimos utilizando Multiplicadores de Lagrange

Ejemplo 2 Encuentra las longitudes de los lados del triángulo de área máxima inscrito en un semicírculo de radio \(r\) de tal manera que uno de sus lados sea el diámetro del círculo.

Ejemplo 3 Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto, con tapas, de volumen fijo \(V\) para el que se utilice la menor cantidad de material.

Ejemplo 4 Encontrar las dimensiones del cono circular recto sin tapa, de volumen \(64\) para el que se utilice la menor cantidad de material.

Ejemplo 5 Encontrar las dimensiones \(a,b\) y \(c\) del paralelepípedo de volumen máximo si \(a+b+c=36\).

Ejemplo 6 Encontrar tres números \(a,\) \(b\) y \(c\) cuyo producto sea \(64\) y la función media armónica \begin{equation*} f\left( a,b,c\right) =\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \end{equation*} tenga un máximo relativo.

Ejemplo 7 Encontrar tres números positivos \(a,\) \(b\) y \(c\) que satisfagan que su suma sea igual a \(50\) y la suma de sus recíprocos sea mínima.

Ejemplo 8 Considera todos los prismas rectangulares de área lateral igual a \( 100\) cm\(^{2}\). Encuentra las dimensiones del prisma rectangular que tenga volumen máximo.

Ejemplo 9 Encuentra tres números \(x,\) \(y\) y \(z\) cuya suma sea \(24\) y cuya media geométrica sea máxima.

Ejemplo 10 Encontrar, usando multiplicadores de Lagrange, los puntos del elipsoide \begin{equation*} \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1, \end{equation*} con \(a < b < c, \) más cercanos al origen.

Ejemplo 11 Encuentra los máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y+2\right) ^{2} \end{equation*} sujeta a la restricción \(4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4=0.\) Responde las preguntas siguientes:

• a) ¿Qué curva representa la restricción?
• b) ¿Qué significan los valores máximo y mínimo?

Ejemplo 12 Encontrar las dimensiones del prisma rectangular, con lados paralelos a los ejes coordenados, que pueda inscribirse en el elipsoide \begin{equation*} \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4}=1. \end{equation*}

Ejemplo 13 Encuentra los valores máximo y mínimo de la coordenada \(z\) de la superficie determinada por la intersección del paraboloide \( z=x^{2}+y^{2}\) y el plano \(x+y+z=1.\)

Ejemplo 14 Encuentra las longitudes de los ejes de la elipse con centro en el origen, \(3x^{2}-2xy+3y^{2}=32.\) Considera el cuadrado de la distancia de un punto en la elipse al origen.

Ejemplo 15 ¿En qué punto de la elipse \(\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1\) la tangente a ésta, forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima?

Ejemplo 16 ¿En qué punto de la parábola \(y^{2}=4px,\) con \(p > 0\), la tangente a ésta, forma con la directriz y la perpendicular a la directriz desde el punto de tangencia un triángulo de área mínima?

Ejercicios

1. Escribe el número \(75\) como la suma de tres números positivos, tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

2. Encuentra tres números \(a,\) \(b\) y \(c\) cuyo producto sea \(216\) y cuya media aritmética sea mínima.

3. ¿Cuál es la distancia mínima del punto \( \left( -1,5,2\right) \) al plano \(3x+5y-5z+3=0\)?

4. Encuentra los máximos y mínimos de la función \(f\left( x,y,z\right) =xyz\) donde \(x>0,\) \(y>0,\) \(z>0\), sujeta a la restricción \( x+y+z=3k,\) donde \(k\) es una constante. Usa lo obtenido y observa que has probado la desigualdad \begin{equation*} \sqrt[3]{xyz}\leq \dfrac{x+y+z}{3}, \end{equation*} es decir, la media geométrica de tres números es menor igual que la media aritmética, o promedio, de ellos.