Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 3

Solución:

área lateral: \(2\pi rh.\)

área de las dos tapas: \(2\pi r^{2}.\)

área total: \(2\pi rh+2\pi r^{2}.\)

Puesto que el volumen del cilindro está dado por: \begin{equation*} V=\pi r^{2}h, \end{equation*} entonces, definiendo \begin{equation*} f\left( r,h\right) =2\pi rh+2\pi r^{2}, \end{equation*} debemos encontrar los valores de \(r\) y \(h\) para los cuales la función \(f\) sujeta a la restricción \begin{equation*} V=\pi r^{2}h, \end{equation*} tiene un mínimo.

De donde, al definir \begin{equation*} g\left( r,h\right) =\pi r^{2}h-V, \end{equation*} la restricción se escribe como \begin{equation*} g\left( r,h\right) =0. \end{equation*} Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( r,h\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial r},\dfrac{ \partial f}{\partial h}\right) =\left( 2\pi h+4\pi r,2\pi r\right) \\ \nabla g\left( r,h\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial r},\dfrac{ \partial g}{\partial h}\right) =\left( 2\pi rh,\pi r^{2}\right) . \end{eqnarray*} Consideramos el sistema \begin{eqnarray*} \nabla f\left( r,h\right) & = & \lambda \nabla g\left( r,h\right) \\ \pi r^{2}h & = & V. \end{eqnarray*} De donde, \begin{eqnarray} 2\pi h+4\pi r & = & 2\lambda \pi rh \label{3}\tag{1} \\ 2\pi r & = & \lambda \pi r^{2} \notag \\ \pi r^{2}h & = & V. \notag \end{eqnarray} Dividiendo la primera ecuación de (\ref{3}) entre \(2\pi \) y la segunda entre \(\pi r,\) ya que \(r\neq 0,\) tenemos \begin{eqnarray} h+2r & = & \lambda rh \label{4}\tag{2} \\ 2 & = & \lambda r \notag \\ \pi r^{2}h & = & V. \notag \end{eqnarray} Sustituyendo \(\lambda r=2\) en la primera ecuación de (\ref{4}), tenemos \begin{eqnarray*} h+2r & = & 2h \\ 2r & = & h. \end{eqnarray*} Sustituyendo el valor obtenido de \(h,\) en la tercera ecuación de (\ref{4} ), tenemos \begin{eqnarray*} 2\pi r^{3} & = & V \\ r & = & \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }} \end{eqnarray*} y entonces \begin{equation*} h=2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}. \end{equation*} De la segunda ecuación de (\ref{4}): \begin{equation*} \lambda =\dfrac{2}{r}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}}. \end{equation*} En resumen \begin{equation*} r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}, \quad \quad h=2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }} \quad \quad \text{y} \quad \quad \lambda =\dfrac{2}{\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}}. \end{equation*} Usaremos el criterio del determinante hessiano límitado para saber si en el punto encontrado \(\left( r,h\right) =\left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }} ,2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}\right) \) la función tiene un máximo o mínimo.

Definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} p\left( r,h\right) & = & f\left( r,h\right) -\lambda g\left( r,h\right) \\ & = & 2\pi rh+2\pi r^{2}-\lambda \left( \pi r^{2}h-V\right) . \end{eqnarray*} Calculamos las derivadas parciales de \(p\) hasta de orden \(2\): \begin{equation*} \dfrac{\partial p }{\partial r}\left( r,h\right)=2\pi h+4\pi r-2\lambda \pi rh, \quad \quad \quad \quad \quad \dfrac{\partial p }{ \partial h}\left( r,h\right)=2\pi r-\lambda \pi r^{2} \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}p }{\partial r^{2}}\left( r,h\right) & = & 4\pi -2\lambda \pi h \\ \dfrac{\partial ^{2}p }{\partial h^{2}}\left( r,h\right) & = & 0 \\ \dfrac{\partial ^{2}p }{\partial r\partial h}\left( r,h\right) & = & 2\pi -2\lambda \pi r=\dfrac{\partial ^{2}p }{\partial h\partial r}\left( r,h\right). \end{eqnarray*} Por otra parte, como \begin{equation*} \nabla g\left( r,h\right) =\left( \dfrac{\partial g}{\partial r},\dfrac{ \partial g}{\partial h}\right) =\left( 2\pi rh,\pi r^{2}\right) . \end{equation*} entonces el determinante hessiano limitado es: \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}\left( r,h\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial r}\left( r,h\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial h}\left( r,h\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial r}\left( r,h\right) & \dfrac{\partial ^{2}p}{ \partial r^{2}}\left( r,h\right) & \dfrac{\partial ^{2}p}{\partial h\partial r}\left( r,h\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial h}\left( r,h\right) & \dfrac{\partial ^{2}p}{ \partial r\partial h}\left( r,h\right) & \dfrac{\partial ^{2}p}{\partial h^{2}}\left( r,h\right) \end{array} \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 2\pi rh & \pi r^{2} \\ & & \\ 2\pi rh & 4\pi -2\lambda \pi h & 2\pi -2\lambda \pi r \\ & & \\ \pi r^{2} & 2\pi -2\lambda \pi r & 0 \end{array} \right\vert \\ && \\ & = & 2\pi ^{2}r^{2}\left( \pi r\right) \left[ 4h-3\lambda rh-2r\right] . \end{eqnarray*} Puesto que \(r>0,\) entonces \(2\pi ^{2}r^{2}\left( \pi r\right) >0.\)

Sustituimos los valores \(r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }},\) \(h=2\sqrt[3]{\dfrac{V }{2\pi }}\) y \(\lambda =\dfrac{2}{\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}}\) en la expresión entre corchetes \begin{eqnarray*} 4h-3\lambda rh-2r & = & 4\left( 2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}\right) -3\left( \dfrac{2}{\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}}\right) \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }} \left( 2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}\right) -2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }} \\ & = & -6\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }} < 0. \end{eqnarray*}

Así, el determinante hessiano limitado es negativo.

Entonces, por el inciso 2 del Teorema 1, en el punto \(\left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }},2\sqrt[3]{\dfrac{V}{ 2\pi }}\right) \) la función tiene un mínimo bajo la restricción \(g\left( r,h\right) =\pi r^{2}h-V=0.\)

Por tanto, el cilindro de volumen \(V\) que usa la menor cantidad de material, tiene altura \(h=2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}\) y radio de la base \(r=\sqrt[3]{ \dfrac{V}{2\pi }}\) y el área total es \begin{eqnarray*} A & = & 2\pi rh+2\pi r^{2} \\ & = & 2\pi \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}2\sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}+2\pi \left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}\right) ^{2} \\ & = & 6\pi \left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi }}\right) ^{2}. \end{eqnarray*}