Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza${}^2$, Carlos Hernández Garciadiego${}^1$, Emma Lam Osnaya${}^2$ ${}^1$ Instituto de Matemáticas, UNAM; ${}^2$ Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 7

Solución:

Resolvemos el problema usando el método de Lagrange.

Así, buscamos los valores $a,b,c$ que satisfagan: $$a+b+c=50$$ y la suma $$S(a,b,c)={\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}$$ sea mínima.

Definimos la función $$g(a,b,c)=a+b+c-50,$$ con lo cual la restricción se escribe como $$g(a,b,c)=0.$$ Calculamos los gradientes de $S$ y $g$: $$\begin{array}{rcl}\mathrm{\nabla }S(a,b,c)& =& ({\displaystyle \frac{\partial S}{\partial a}},{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial b}},{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial c}})=(-{\displaystyle \frac{1}{a^2}},-{\displaystyle \frac{1}{b^2}},-{\displaystyle \frac{1}{c^2}})\\ \mathrm{\nabla }g(a,b,c)& =& ({\displaystyle \frac{\partial g}{\partial a}},{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial b}},{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial c}})=(1,1,1).\end{array}$$ De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl}\mathrm{\nabla }S(a,b,c)& =& \lambda \mathrm{\nabla }g(a,b,c)\\ a+b+c& =& 50.\end{array}$$ Es decir $$\begin{array}{rcl}\text{(1)}& -{\displaystyle \frac{1}{a^2}}& =& \lambda -{\displaystyle \frac{1}{b^2}}& =& \lambda \\ -{\displaystyle \frac{1}{c^2}}& =& \lambda \\ a+b+c& =& 50.\end{array}$$ De las dos primeras, obtenemos $$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2\\ a& =& \pm b;\end{array}$$ de la primera y la tercera tenemos $$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c^2\\ a& =& \pm c.\end{array}$$ Desechamos $a=-b,$ pues en ese caso, de la cuarta ecuación de ($\text{1}$), tendríamos $c=50,$ de donde $a=b=0,$ lo cual no puede ser, de acuerdo con la hipótesis de que los números son positivos. De la misma manera, desechamos $a=-c,$ entonces tenemos: $$a=b=c.$$ Así, de la cuarta ecuación de ($\text{1}$) tenemos $$a=b=c={\displaystyle \frac{50}{3}}$$ y de cualquiera de las tres primeras: $$\lambda =-{\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{50}{3}}\right)}^2}}=-{\left({\displaystyle \frac{3}{50}}\right)}^2.$$ Definimos la función auxiliar $$\begin{array}{rcl}h(a,b,c)& =& S(a,b,c)-\lambda g(a,b,c)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}-\lambda (a+b+c-50).\end{array}$$ Calculamos las derivadas de $h$ de orden $1$. $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\partial h}{\partial a}}(a,b,c)& =& -{\displaystyle \frac{1}{a^2}}-\lambda \\ {\displaystyle \frac{\partial h}{\partial b}}(a,b,c)& =& -{\displaystyle \frac{1}{b^2}}-\lambda \\ {\displaystyle \frac{\partial h}{\partial c}}(a,b,c)& =& -{\displaystyle \frac{1}{c^2}}-\lambda .\end{array}$$ Las derivadas parciales de $h$ de orden $2$ son: $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial a^2}}(a,b,c)={\displaystyle \frac{2}{a^3}},{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial b^2}}(a,b,c)={\displaystyle \frac{2}{b^3}},{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial c^2(a,b,c)}}={\displaystyle \frac{2}{c^3}}$$ y $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial b\partial a}}(a,b,c)& =& 0={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial a\partial b}}(a,b,c)\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial c\partial b}}(a,b,c)& =& 0={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial b\partial c}}(a,b,c)\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial c\partial a}}(a,b,c)& =& 0={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial a\partial c}}(a,b,c).\end{array}$$ El hessiano limitado es: $$\begin{array}{rcl}\left|{\bar{H}}_4(a,b,c)\right|& =& \left|\begin{array}{cccc}0& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial a}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial b}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial c}}(a,b,c)\\ & & & \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial a}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial a^2}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial b\partial a}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial c\partial a}}(a,b,c)\\ & & & \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial b}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial a\partial b}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial b^2}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial c\partial b}}(a,b,c)\\ & & & \\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial c}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial a\partial c}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial b\partial c}}(a,b,c)& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}h}{\partial c^2}}(a,b,c)\end{array}\right|\\ \\ & =& \left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}& 0& 0\\ 1& 0& {\displaystyle \frac{2}{b^3}}& 0\\ 1& 0& 0& {\displaystyle \frac{2}{c^3}}\end{array}\right|\end{array}$$ Puesto que $a=b=c,$ tenemos $$\left|{\bar{H}}_4(a,b,c)\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}& 0& 0\\ 1& 0& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}& 0\\ 1& 0& 0& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}\end{array}\right|$$ Ahora debemos calcular los determinantes de la submatriz de orden $3$ y el de orden $4$ y analizar sus signos. $$\left|{\bar{H}}_3(a,b,c)\right|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}& 0\\ 1& 0& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{4}{a^3}}<0\text{ ya que }{a}^3>0$$ y $$\left|{\bar{H}}_4(a,b,c)\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}& 0& 0\\ 1& 0& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}& 0\\ 1& 0& 0& {\displaystyle \frac{2}{a^3}}\end{array}\right|=-{\displaystyle \frac{12}{a^6}}<0.$$

Por tanto, puesto que los signos de los determinantes de la submatriz de orden $3$ y el de orden $4$ son ambos negativos, entonces, por el inciso 2 del Teorema 2, la función $h$ alcanza un mínimo. Por tanto, la suma es mínima cuando $a=b=c={\displaystyle \frac{50}{3}}$ y la suma de los recíprocos es $${\displaystyle \frac{3}{50}}+{\displaystyle \frac{3}{50}}+{\displaystyle \frac{3}{50}}={\displaystyle \frac{9}{50}}.$$