Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 14

Solución:

Consideramos el cuadrado de la distancia de un punto de la elipse al origen, y definimos la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2} \end{equation*} con la restricción \begin{equation*} g\left( x,y\right) =3x^{2}-2xy+3y^{2}-32=0. \end{equation*} Usaremos el método de Lagrange.

Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y}\right) =\left( 2x,2y\right) \\ \nabla g\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y}\right) =\left( 6x-2y,-2x+6y\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray} 2x & = & \left( 6x-2y\right) \lambda \notag \\ 2y & = & \left( -2x+6y\right) \lambda \label{Lagrange13}\tag{1} \\ 3x^{2}-2xy+3y^{2} & = & 32. \notag \end{eqnarray} Multiplicamos por \(y\) la primera ecuación del sistema (\ref{Lagrange13} ) y por \(x\) la segunda ecuación \begin{eqnarray*} 2xy & = & \left( 6xy-2y^{2}\right) \lambda \\ 2xy & = & \left( -2x^{2}+6yx\right) \lambda \end{eqnarray*} igualando tenemos \begin{eqnarray*} 6xy\lambda -2y^{2}\lambda & = & 6xy\lambda -2x^{2}\lambda \\ -2y^{2}\lambda & = & -2x^{2}\lambda \\ 2x^{2}\lambda -2y^{2}\lambda & = & 0 \\ 2\lambda \left( x-y\right) \left( x+y\right) & = & 0. \end{eqnarray*} De la primera y segunda ecuaciones de (\ref{Lagrange13}) vemos que si \( \lambda =0,\) entonces \(x=y=0\) y en ese caso no se cumple la tercera.

Entonces \(\lambda \neq 0\) y \begin{equation*} x=y \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x=-y. \end{equation*}

• Si \(x=y,\) sustituyendo en la tercera ecuación de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 3y^{2}-2y^{2}+3y^{2} & = & 32 \\ 4y^{2} & = & 32 \\ y^{2} & = & 8 \\ \left\vert y\right\vert & = & \sqrt{8}=2\sqrt{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=2\sqrt{2} \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-2\sqrt{2}. \end{equation*}
  • Si \(y=2\sqrt{2},\) entonces \(x=2\sqrt{2},\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( 2\sqrt{2}\right) & = & \left( 6\left( 2\sqrt{2}\right) -2\left( 2\sqrt{2 }\right) \right) \lambda \\ 4\sqrt{2} & = & 8\sqrt{2}\lambda \\ \dfrac{1}{2} & = & \lambda \end{eqnarray*}
  • Si \(y=-2\sqrt{2},\) entonces \(x=-2\sqrt{2},\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( -2\sqrt{2}\right) & = & \left( 6\left( -2\sqrt{2}\right) -2\left( -2 \sqrt{2}\right) \right) \lambda \\ -4\sqrt{2} & = & -8\sqrt{2}\lambda \\ \dfrac{1}{2} & = & \lambda . \end{eqnarray*}
• Si \(x=-y,\) sustituyendo en la tercera ecuación de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 3y^{2}+2y^{2}+3y^{2} & = & 32 \\ 8y^{2} & = & 32 \\ y^{2} & = & 4 \\ \left\vert y\right\vert & = & 2, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=2 \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-2. \end{equation*}
  • Si \(y=2,\) entonces \(x=-2,\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de ( \ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( -2\right) & = & \left( 6\left( -2\right) -2\left( 2\right) \right) \lambda \\ -4 & = & -16\lambda \\ \dfrac{1}{4} & = & \lambda . \end{eqnarray*}
  • Si \(y=-2,\) entonces \(x=2,\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de ( \ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( 2\right) & = & \left( 6\left( 2\right) -2\left( -2\right) \right) \lambda \\ 4 & = & 16\lambda \\ \dfrac{1}{4} & = & \lambda . \end{eqnarray*}

En resumen, las soluciones del sistema son: \begin{eqnarray*} x & = & 2\sqrt{2}, \quad \quad y=2\sqrt{2}, \quad \quad \lambda = \dfrac{1}{2} \\ x & = & -2\sqrt{2}, \quad \quad y=-2\sqrt{2}, \quad \quad \lambda = \dfrac{1}{2} \\ x & = & -2, \quad \quad y=2, \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{4} \\ x & = & 2, \quad \quad y=-2, \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{4}. \end{eqnarray*} Definimos la función \begin{eqnarray*} h\left( x,y\right) & = & f\left( x,y\right) -\lambda g\left( x,y\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}-\lambda \left( 3x^{2}-2xy+3y^{2}-32\right) \end{eqnarray*} La derivadas parciales de primer orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h}{\partial x} & = & 2x-\left( 6x-2y\right) \lambda \\ \dfrac{\partial h}{\partial y} & = & 2y-\left( -2x+6y\right) \lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de segundo orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial x^{2}} & = & 2-6\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}} & = & 2-6\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x} & = & 2\lambda =\dfrac{\partial ^{2}h}{\partial x\partial y} \end{eqnarray*} Calculamos el hessiano limitado de \(f\) en \(\left( x,y\right) \) \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 6x-2y & -2x+6y \\ & & \\ 6x-2y & 2-6\lambda & 2\lambda \\ & & \\ -2x+6y & 2\lambda & 2-6\lambda \end{array} \right\vert \end{equation*}

• En el punto \(\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) \) con \(\lambda =\dfrac{ 1}{2}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\sqrt{2} & 8\sqrt{2} \\ & & \\ 8\sqrt{2} & -1 & 1 \\ & & \\ 8\sqrt{2} & 1 & -1 \end{array} \right\vert =512 > 0 \end{equation*} Por tanto, por el inciso 1 del Teorema 1, en \(\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) \) hay un máximo relativo y su valor es \(f\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) =16.\)
• En el punto \(\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) \) con \(\lambda = \dfrac{1}{2}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & -8\sqrt{2} & -8\sqrt{2} \\ & & \\ -8\sqrt{2} & -1 & 1 \\ & & \\ -8\sqrt{2} & 1 & -1 \end{array} \right\vert =512>0. \end{equation*} Por tanto, por el inciso 1 del Teorema 1, en \(\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) \) hay un máximo relativo y su valor es \(f\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) =16.\)

  O sea, la distancia máxima de un punto de la elipse al origen es 4. Entonces el eje mayor de la elipse mide 8.

  
• En el punto \(\left( -2,2\right) ,\) con \(\lambda =\dfrac{1}{4}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( -2,2\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & -16 & 16 \\ & & \\ -16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ 16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right\vert =-512 < 0. \end{equation*}

  Por tanto, por el inciso 2 del Teorema 1, en \(\left( -2,2\right) \) hay un mínimo relativo y su valor es \(f\left( -2,2\right) =8.\)

• En el punto \(\left( 2,-2\right) ,\) con \(\lambda =\dfrac{1}{4}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 2,-2\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 16 & -16 \\ & & \\ 16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ -16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right\vert =-512 < 0. \end{equation*}

  Por tanto, por el inciso 2 del Teorema 1, en \(\left( 2,-2\right) \) hay un mínimo relativo y su valor es \(f\left( -2,2\right) =8.\)

  O sea, la distancia mínima de un punto de la elipse al origen es \(\sqrt{ 8}.\) Entonces el eje menor de la elipse mide \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}.\)