Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 14

Solución:

La longitud del eje mayor es el doble de la distancia máxima de un punto de la elipse al centro de ella, en este caso el origen. La longitud del eje menor es el doble de la distancia mínima de un punto de la elipse al centro de ella, en este caso el origen.

Consideramos el cuadrado de la distancia de un punto de la elipse al origen, y definimos la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2} \end{equation*} con la restricción \begin{equation*} g\left( x,y\right) =3x^{2}-2xy+3y^{2}-32=0. \end{equation*} Usaremos el método de Lagrange.

Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y}\right) =\left( 2x,2y\right) \\ \nabla g\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y}\right) =\left( 6x-2y,-2x+6y\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray} 2x & = & \left( 6x-2y\right) \lambda \notag \\ 2y & = & \left( -2x+6y\right) \lambda \label{Lagrange13}\tag{1} \\ 3x^{2}-2xy+3y^{2} & = & 32. \notag \end{eqnarray} Multiplicamos por \(y\) la primera ecuación del sistema (\ref{Lagrange13} ) y por \(x\) la segunda ecuación \begin{eqnarray*} 2xy & = & \left( 6xy-2y^{2}\right) \lambda \\ 2xy & = & \left( -2x^{2}+6yx\right) \lambda \end{eqnarray*} igualando tenemos \begin{eqnarray*} 6xy\lambda -2y^{2}\lambda & = & 6xy\lambda -2x^{2}\lambda \\ -2y^{2}\lambda & = & -2x^{2}\lambda \\ 2x^{2}\lambda -2y^{2}\lambda & = & 0 \\ 2\lambda \left( x-y\right) \left( x+y\right) & = & 0. \end{eqnarray*} De la primera y segunda ecuaciones de (\ref{Lagrange13}) vemos que si \( \lambda =0,\) entonces \(x=y=0\) y en ese caso no se cumple la tercera.

Entonces \(\lambda \neq 0\) y \begin{equation*} x=y \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x=-y. \end{equation*}

• Si \(x=y,\) sustituyendo en la tercera ecuación de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 3y^{2}-2y^{2}+3y^{2} & = & 32 \\ 4y^{2} & = & 32 \\ y^{2} & = & 8 \\ \left\vert y\right\vert & = & \sqrt{8}=2\sqrt{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=2\sqrt{2} \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-2\sqrt{2}. \end{equation*}
  • Si \(y=2\sqrt{2},\) entonces \(x=2\sqrt{2},\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( 2\sqrt{2}\right) & = & \left( 6\left( 2\sqrt{2}\right) -2\left( 2\sqrt{2 }\right) \right) \lambda \\ 4\sqrt{2} & = & 8\sqrt{2}\lambda \\ \dfrac{1}{2} & = & \lambda \end{eqnarray*}
  • Si \(y=-2\sqrt{2},\) entonces \(x=-2\sqrt{2},\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( -2\sqrt{2}\right) & = & \left( 6\left( -2\sqrt{2}\right) -2\left( -2 \sqrt{2}\right) \right) \lambda \\ -4\sqrt{2} & = & -8\sqrt{2}\lambda \\ \dfrac{1}{2} & = & \lambda . \end{eqnarray*}
• Si \(x=-y,\) sustituyendo en la tercera ecuación de (\ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 3y^{2}+2y^{2}+3y^{2} & = & 32 \\ 8y^{2} & = & 32 \\ y^{2} & = & 4 \\ \left\vert y\right\vert & = & 2, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=2 \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-2. \end{equation*}
  • Si \(y=2,\) entonces \(x=-2,\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de ( \ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( -2\right) & = & \left( 6\left( -2\right) -2\left( 2\right) \right) \lambda \\ -4 & = & -16\lambda \\ \dfrac{1}{4} & = & \lambda . \end{eqnarray*}
  • Si \(y=-2,\) entonces \(x=2,\) en cuyo caso sustituyendo en la primera de ( \ref{Lagrange13}) \begin{eqnarray*} 2\left( 2\right) & = & \left( 6\left( 2\right) -2\left( -2\right) \right) \lambda \\ 4 & = & 16\lambda \\ \dfrac{1}{4} & = & \lambda . \end{eqnarray*}

En resumen, las soluciones del sistema son: \begin{eqnarray*} x & = & 2\sqrt{2}, \quad \quad y=2\sqrt{2}, \quad \quad \lambda = \dfrac{1}{2} \\ x & = & -2\sqrt{2}, \quad \quad y=-2\sqrt{2}, \quad \quad \lambda = \dfrac{1}{2} \\ x & = & -2, \quad \quad y=2, \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{4} \\ x & = & 2, \quad \quad y=-2, \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{4}. \end{eqnarray*} Definimos la función \begin{eqnarray*} h\left( x,y\right) & = & f\left( x,y\right) -\lambda g\left( x,y\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}-\lambda \left( 3x^{2}-2xy+3y^{2}-32\right) \end{eqnarray*} La derivada parciales de primer orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h}{\partial x} & = & 2x-\left( 6x-2y\right) \lambda \\ \dfrac{\partial h}{\partial y} & = & 2y-\left( -2x+6y\right) \lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial x^{2}} & = & 2-6\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}} & = & 2-6\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x} & = & 2\lambda =\dfrac{\partial ^{2}h}{\partial x\partial y} \end{eqnarray*} Calculamos el hessiano limitado de \(f\) en \(\left( x,y\right) \) \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 6x-2y & -2x+6y \\ & & \\ 6x-2y & 2-6\lambda & 2\lambda \\ & & \\ -2x+6y & 2\lambda & 2-6\lambda \end{array} \right\vert \end{equation*}

• En el punto \(\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) \) con \(\lambda =\dfrac{ 1}{2}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\sqrt{2} & 8\sqrt{2} \\ & & \\ 8\sqrt{2} & -1 & 1 \\ & & \\ 8\sqrt{2} & 1 & -1 \end{array} \right\vert =512 > 0 \end{equation*} Por tanto, por el inciso 1 del Teorema 1, en \(\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) \) hay un máximo relativo y su valor es \(f\left( 2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right) =16.\)
• En el punto \(\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) \) con \(\lambda = \dfrac{1}{2}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & -8\sqrt{2} & -8\sqrt{2} \\ & & \\ -8\sqrt{2} & -1 & 1 \\ & & \\ -8\sqrt{2} & 1 & -1 \end{array} \right\vert =512>0. \end{equation*} Por tanto, por el inciso 1 del Teorema 1, en \(\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) \) hay un máximo relativo y su valor es \(f\left( -2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right) =16.\)

  O sea, la distancia máxima de un punto de la elipse al origen es 4. Entonces el eje mayor de la elipse mide 8.

• En el punto \(\left( -2,2\right) ,\) con \(\lambda =\dfrac{1}{4}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( -2,2\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & -16 & 16 \\ & & \\ -16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ 16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right\vert =-512 < 0. \end{equation*}

  Por tanto, por el inciso 2 del Teorema 1, en \(\left( -2,2\right) \) hay un mínimo relativo y su valor es \(f\left( -2,2\right) =8.\)

• En el punto \(\left( 2,-2\right) ,\) con \(\lambda =\dfrac{1}{4}\) el hessiano vale \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 2,-2\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 16 & -16 \\ & & \\ 16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ -16 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array} \right\vert =-512 < 0. \end{equation*}

  Por tanto, por el inciso 2 del Teorema 1, en \(\left( 2,-2\right) \) hay un mínimo relativo y su valor es \(f\left( -2,2\right) =8.\)

  O sea, la distancia mínima de un punto de la elipse al origen es \(\sqrt{ 8}.\) Entonces el eje menor de la elipse mide \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}.\)