Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 11

Encuentra los máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y+2\right) ^{2} \end{equation*} sujeta a la restricción \(4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4=0.\) Responde las preguntas siguientes:

Solución:

Consideramos las funciones \(f\left( x,y\right) =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y+2\right) ^{2}\) y \begin{equation*} g\left( x,y\right) =4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4, \end{equation*} con lo cual la restricción se escribe como \begin{equation*} g\left( x,y\right) =0. \end{equation*} Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y}\right) =\left( 2\left( x-1\right) ,2\left( y+2\right) \right) \\ \nabla g\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y}\right) =\left( 8x-8,18y+36\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y\right) & = & \lambda \nabla g\left( x,y\right) \\ 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4 & = & 0. \end{eqnarray*} Es decir \begin{eqnarray*} 2\left( x-1\right) & = & \lambda \left( 8x-8\right) \\ 2\left( y+2\right) & = & \lambda \left( 18y+36\right) \\ 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4 & = & 0. \end{eqnarray*} Las cuales se escriben como \begin{eqnarray*} x-1 & = & 4\lambda \left( x-1\right) \\ y+2 & = & 9\lambda \left( y+2\right) \\ 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4 & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray} \left( x-1\right) \left( 1-4\lambda \right) & = & 0 \label{11.1}\tag{1} \\ \left( y+2\right) \left( 1-9\lambda \right) & = & 0 \notag \\ 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4 & = & 0. \notag \end{eqnarray} de la primera tenemos \begin{equation*} x=1 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{4}. \end{equation*}

Si \(x=1,\) analizamos la segunda ecuación en (\ref{11.1}).

Supongamos que \(y=-2.\) Sustituyendo los valores en la tercera ecuación, tenemos \begin{eqnarray*} 4\left( 1\right) ^{2}+9\left( -2\right) ^{2}-8\left( 1\right) +36\left( -2\right) +4 & = & 0 \\ 4+36-8-72+4 & = & 0 \\ -36 & = & 0, \end{eqnarray*} es decir, la tercera ecuación no se cumple, por tanto \(y\neq 2\) y entonces \(1-9\lambda =0,\) de donde \(\lambda =\dfrac{1}{9},\) de donde si sustituimos \(x=1\) en la tercera ecuación, obtenemos \begin{eqnarray*} 4\left( 1\right) ^{2}+9y^{2}-8\left( 1\right) +36y+4 & = & 0 \\ 4+9y^{2}-8+36y+4 & = & 0 \\ 9y^{2}+36y & = & 0 \\ y^{2}+4y & = & 0 \\ y^{2}+4y & = & 0 \\ y\left( y+4\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=-4 \end{equation*} en este caso tenemos también \(2\) soluciones \begin{equation*} \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad \left( x,y\right) =\left( 1,-4\right) \quad \quad \quad \text{con} \quad \lambda =\dfrac{1}{9}. \end{equation*} Veamos ahora qué tipo de extremos tenemos en los puntos encontrados, para ello definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} h\left( x,y\right) & = & f\left( x,y\right) -\lambda g\left( x,y\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{2}+\left( y+2\right) ^{2}-\lambda \left( 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4\right) . \end{eqnarray*} Calculamos las derivadas de \(h\) de orden \(1\). \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h }{\partial x}\left( x,y\right) & = & 2\left( x-1\right) -\lambda \left( 8x-8\right) \\ & = & 2\left( x-1\right) -8\lambda \left( x-1\right) =2\left( x-1\right) \left( 1-4\lambda \right) \\ \dfrac{\partial h }{\partial y}\left( x,y\right) & = & 2\left( y+2\right) -\lambda \left( 18y+36\right) \\ & = & 2\left( y+2\right) -18\lambda \left( y+2\right) =2\left( y+2\right) \left( 1-9\lambda \right) . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de \(h\) de orden \(2\) son: \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial x^{2}}\left( x,y\right)=2\left( 1-4\lambda \right) , \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =2\left( 1-9\lambda \right) , \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{ \partial y\partial x}\left( x,y\right)=0=\dfrac{\partial ^{2}h }{\partial x\partial y}\left( x,y\right). \end{equation*} Consideramos el hessiano limitado \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial y}\left( x,y\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x^{2}}\left( x,y\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial y}\left( x,y\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial y}\left( x,y\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\left( x-1\right) & 18\left( y+2\right) \\ & & \\ 8\left( x-1\right) & 2\left( 1-4\lambda \right) & 0 \\ & & \\ 18\left( y+2\right) & 0 & 2\left( 1-9\lambda \right) \end{array} \right\vert \end{eqnarray*} Lo calcularemos en los puntos obtenidos.

En \(\left( 4,-2\right) ,\) \(\lambda =\dfrac{1}{4}\): \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 4,-2\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\left( 3\right) & 18\left( 6\right) \\ & & \\ 8\left( 3\right) & 0 & 0 \\ & & \\ 18\left( 6\right) & 0 & 2\left( 1-\dfrac{9}{4}\right) \end{array} \right\vert =1440>0. \end{equation*} Por tanto, por el inciso 1 del Teorema 1, la función \(f\) tiene un máximo en \(\left( 4,-2\right) \) y el valor máximo es: \begin{equation*} f\left( 4,-2\right) =\left( 4-1\right) ^{2}+\left( -2+2\right) ^{2}=9. \end{equation*} Evaluamos el hessiano limitado \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\left( x-1\right) & 18\left( y+2\right) \\ & & \\ 8\left( x-1\right) & 2\left( 1-4\lambda \right) & 0 \\ & & \\ 18\left( y+2\right) & 0 & 2\left( 1-9\lambda \right) \end{array} \right\vert \end{equation*} en el punto \(\left( -2,-2\right) \) con \(\lambda =\dfrac{1}{4}\) \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( -2,-2\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\left( -3\right) & 0 \\ & & \\ 8\left( -3\right) & 0 & 0 \\ & & \\ 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{9}{4}\right) \end{array} \right\vert =1440>0. \end{equation*} Por tanto, por el inciso 1 del Teorema 1, la función \(f\) tiene un máximo en \(\left( -2,-2\right) \) y el valor máximo es \begin{equation*} f\left( -2,-2\right) =\left( -2-1\right) ^{2}+\left( -2+2\right) ^{2}=9. \end{equation*} Evaluamos el hessiano limitado \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\left( x-1\right) & 18\left( y+2\right) \\ & & \\ 8\left( x-1\right) & 2\left( 1-4\lambda \right) & 0 \\ & & \\ 18\left( y+2\right) & 0 & 2\left( 1-9\lambda \right) \end{array} \right\vert \end{equation*} en \(\left( 1,0\right)\) con \(\lambda =\dfrac{1}{9}\) \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 1,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 18\left( 2\right) \\ & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{4}{9}\right) & 0 \\ & & \\ 18\left( 2\right) & 0 & 0 \end{array} \right\vert =-1440 < 0. \end{equation*}

Por tanto, por el inciso 2 del Teorema 1,, la función \(f\) tiene un mínimo en \(\left( 1,0\right)\) y el valor mínimo es \begin{equation*} f\left( 1,0\right) =\left( 1-1\right) ^{2}+\left( 0+2\right) ^{2}=4. \end{equation*} Por último, evaluamos el hessiano limitado: \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 8\left( x-1\right) & 18\left( y+2\right) \\ & & \\ 8\left( x-1\right) & 2\left( 1-4\lambda \right) & 0 \\ & & \\ 18\left( y+2\right) & 0 & 2\left( 1-9\lambda \right) \end{array} \right\vert \end{equation*} en \(\left( 1,-4\right) \) con \(\lambda =\dfrac{1}{9}\) \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( 1,-4\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 18\left( -2\right) \\ & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{4}{9}\right) & 0 \\ & & \\ 18\left( -2\right) & 0 & 0 \end{array} \right\vert =-1440 < 0. \end{equation*}

Por tanto, por el inciso 2 del Teorema 1, la función \(f\) tiene un mínimo y en \(\left( 1,0\right) \) la función \(f\) tiene un mínimo y el valor mínimo es \begin{equation*} f\left( 1,-4\right) =\left( 1-1\right) ^{2}+\left( -4+2\right) ^{2}=4. \end{equation*} En resumen, la función \(f\) tiene máximos en \(\left( 4,-2\right) \;\) y \(\left( -2,-2\right) ,\) y tiene mínimos en \(\left( 1,0\right) \) y \( \left( 1,-4\right) .\)

El valor de la función en los puntos en \(\left( 4,-2\right) \) y \(\left( -2,-2\right) \) es: \begin{equation*} f\left( 4,-2\right) =9=f\left( -2,-2\right) \end{equation*} Así, el valor máximo es \(9,\) mientras que el valor mínimo es \( 4,\) ya que \begin{equation*} f\left( 1,0\right) =4=f\left( 1,-4\right) \end{equation*} Ahora respondemos las preguntas a) y b):

  • a) Consideramos la ecuación que determina la restricción \begin{eqnarray*} 4x^{2}+9y^{2}-8x+36y+4 & = & 0 \\ 4x^{2}-8x+4+9y^{2}+36y & = & 0 \\ 4\left( x^{2}-2x+1\right) +9\left( y^{2}+4y\right) & = & 0 \\ 4\left( x^{2}-2x+1\right) +9\left( y^{2}+4y+4\right) & = & 36 \\ 4\left( x-1\right) ^{2}+9\left( y+2\right) ^{2} & = & 36 \\ \dfrac{\left( x-1\right) ^{2}}{9}+\dfrac{\left( y+2\right) ^{2}}{4} & = & 1, \end{eqnarray*} es una elipse con centro en el punto \(\left( 1,-2\right) \) y semiejes menor y mayor, \(2\) y \(3\) respectivamente.
  • b) Por otra parte, puesto que \(f\left( x,y\right) =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y+2\right) ^{2},\)es el cuadrado de la distancia del punto \( \left( 1,2\right) ,\) el centro de la elipse, al punto de coordenadas \(\left( x,y\right) ,\) que por la restricción, está en la elipse, entonces obtuvimos los cuadrados de los semiejes de la elipse.