Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 10

Encontrar, usando multiplicadores de Lagrange, los puntos del elipsoide \begin{equation*} \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1, \end{equation*} con \(a < b < c,\) más cercanos al origen.

Solución:

Un punto \(\left( x,y,z\right) \) del elipsoide satisface \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} +\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1\) y se encuentra a una distancia del origen: \begin{equation*} d\left( \left( x,y,z\right) ,\left( 0,0,0\right) \right) =\sqrt{ x^{2}+y^{2}+z^{2}}. \end{equation*} Por comodidad consideraremos el cuadrado de la distancia: \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}. \end{equation*} Así, queremos encontrar los máximos y mínimos de \(f,\) sujeta a la restricción \begin{equation*} \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1. \end{equation*} Definimos \begin{equation*} g\left( x,y,z\right) =\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2} }{c^{2}}-1. \end{equation*} Usaremos el método de Lagrange para determinar los máximos y mínimos de \(f\) sujeta a la restricción \(g\left( x,y,z\right) =0.\)

Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y,z\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right) \\ & = & \left( 2x,2y,2z\right) \\ \nabla g\left( x,y,z\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y},\dfrac{\partial g}{\partial z}\right) \\ & = & \left( \dfrac{2x}{a^{2}},\dfrac{2y}{b^{2}},\dfrac{2z}{c^{2}}\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y,z\right) & = & \lambda \nabla g\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}} & = & 1, \end{eqnarray*} es decir \begin{eqnarray*} 2x & = & \dfrac{2x}{a^{2}}\lambda \\ 2y & = & \dfrac{2y}{b^{2}}\lambda \\ 2z & = & \dfrac{2z}{c^{2}}\lambda \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}} & = & 1. \end{eqnarray*} Recordemos que supusimos que \(a < b < c.\)

De la primera ecuación tenemos \begin{eqnarray*} x-x\dfrac{\lambda }{a^{2}} & = & 0 \\ x\left( 1-\dfrac{\lambda }{a^{2}}\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =a^{2}. \end{equation*}

Si \(x\neq 0,\) entonces \(\lambda =a^{2}.\) De las ecuaciones \(2^{a}\) y \( 3^{a}\) se tiene que \begin{equation*} y\left( 1-\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right) =0 \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad z\left( 1-\dfrac{a^{2}}{c^{2}}\right) =0, \end{equation*} entonces \begin{equation*} y=z=0. \end{equation*} Sustituyendo los valores de \(y\) y \(z\) en la cuarta ecuación, tenemos que \begin{eqnarray*} \dfrac{x^{2}}{a^{2}} & = & 1 \\ x^{2} & = & a^{2} \\ x & = & \pm a. \end{eqnarray*} Tenemos entonces las soluciones: \begin{equation*} \left( \pm a,0,0\right) \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad \lambda =a^{2}. \end{equation*}
Si \(x=0,\) consideramos la segunda ecuación, de donde obtenemos \begin{equation*} y\left( 1-\dfrac{\lambda }{b^{2}}\right) =0, \end{equation*} de donde \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =b^{2}. \end{equation*}
- Si \(y=0,\) entonces de la cuarta ecuación obtenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{z^{2}}{c^{2}} & = & 1 \\ z & = & \pm c \end{eqnarray*} y de la tercera ecuación tenemos \begin{equation*} \lambda =c^{2}. \end{equation*} Obteniendo los puntos \begin{equation*} \left( 0,0,\pm c\right) \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad \lambda =c^{2}. \end{equation*}
- Si \(y\neq 0,\) entonces \(\lambda =b^{2}\) . De la tercera ecuación tenemos \(z=0\) y nuevamente, de la cuarta ecuación tenemos \begin{equation*} \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, \end{equation*} en cuyo caso obtenemos \begin{equation*} \left( 0,\pm b,0\right) \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad \lambda =b^{2}. \end{equation*}

Resumiendo, tenemos las siguientes \(6\) soluciones al sistema de Lagrange \begin{eqnarray*} \left( \pm a,0,0\right) \quad \quad \quad \lambda & = & a^{2} \\ \left( 0,\pm b,0\right) \quad \quad \quad \lambda & = & b^{2} \\ \left( 0,0,\pm c\right) \quad \quad \quad \lambda & = & c^{2}. \end{eqnarray*} Para saber en cuáles de esos seis puntos se alcanzan el máximo y el mínimo, definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} h\left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g\left( x,y,z\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda \left( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}} +\dfrac{z^{2}}{c^{2}}-1\right) . \end{eqnarray*} Calculamos las derivadas de \(h\) de orden \(1\). \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 2x-2x\dfrac{\lambda }{ a^{2}}=2x\left( 1-\dfrac{\lambda }{a^{2}}\right) \\ \dfrac{\partial h }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y-2y\dfrac{\lambda }{ b^{2}}=2y\left( 1-\dfrac{\lambda }{b^{2}}\right) \\ \dfrac{\partial h }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 2z-2z\dfrac{\lambda }{ c^{2}}=2z\left( 1-\dfrac{\lambda }{c^{2}}\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de \(h\) de orden \(2\) son: \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right)=2\left( 1-\dfrac{ \lambda }{a^{2}}\right) , \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{ \partial y^{2}}\left( x,y,z\right)=2\left( 1-\dfrac{\lambda }{b^{2}}\right) , \qquad \dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right)=2\left( 1-\dfrac{\lambda }{c^{2}}\right) \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 0=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial x\partial y}\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial z\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 0=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial z\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 0=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial x\partial z}\left( x,y,z\right). \end{eqnarray*} Escribimos el hessiano limitado \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( x,y,z\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial x }\left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial y} \left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z^{2}} \left( x,y,z\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{2x}{a^{2}} & \dfrac{2y}{b^{2}} & \dfrac{2z}{c^{2}} \\ & & & \\ \dfrac{2x}{a^{2}} & 2\left( 1-\dfrac{\lambda }{a^{2}}\right) & 0 & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2y}{b^{2}} & 0 & 2\left( 1-\dfrac{\lambda }{b^{2}}\right) & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2z}{c^{2}} & 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{\lambda }{c^{2}}\right) \end{array} \right\vert \end{eqnarray*}

En los puntos \(\left( \pm a,0,0\right) ,\) \(y\) \(\lambda =a^{2}\) tenemos \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( \pm a,0,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{2\left( \pm a\right) }{a^{2}} & 0 & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2\left( \pm a\right) }{a^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right) & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{a^{2}}{c^{2}}\right) \end{array} \right\vert \end{equation*} Puesto que \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\left( \pm a,0,0\right) \neq 0,\) debemos calcular los determinantes y analizar sus signos. \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( \pm a,0,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{2\left( \pm a\right) }{a^{2}} & 0 \\ & & \\ \dfrac{2\left( \pm a\right) }{a^{2}} & 0 & 0 \\ & & \\ 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right) \end{array} \right\vert =-\dfrac{8}{a^{2}b^{2}}\left( b-a\right) \left( b+a\right) < 0 \end{equation*}
puesto que \(a < b \) y
\begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( \pm a,0,0\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{2\left( \pm a\right) }{a^{2}} & 0 & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2\left( \pm a\right) }{a^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right) & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{a^{2}}{c^{2}}\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & -\dfrac{16}{a^{2}b^{2}c^{2}}\left( b-a\right) \left( b+a\right) \left( c-a\right) \left( c+a\right) <0 \end{eqnarray*}
ya que \(a < b < c.\)
Puesto que los signos de los determinantes de las submatrices de orden \(3\) y \(4\) son negativos, entonces la función alcanza un mínimo en los puntos \begin{equation*} \left( \pm a,0,0\right) . \end{equation*}
En los puntos \(\left( 0,\pm b,0\right) ,\) y \(\lambda =b^{2}\) tenemos \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( 0,\pm b,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} & 0 \\ & & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right) & 0 & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{b^{2}}{c^{2}}\right) \end{array} \right\vert \end{equation*} Puesto que \(\dfrac{\partial g}{\partial y}\left( 0,\pm b,0\right) \neq 0,\) debemos calcular los determinantes y analizar sus signos.
Recordamos que \(a < b < c\)
\begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( 0,\pm b,0\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} \\ & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right) & 0 \\ & & \\ \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} & 0 & 0 \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}}\left\vert \begin{array}{cc} 0 & 2\left( 1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right) \\ & \\ \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} & 0 \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \dfrac{8}{b^{2}}\left( \dfrac{b^{2}}{a^{2}}-1\right) > 0 \end{eqnarray*} y \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( 0,\pm b,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} & 0 \\ & & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right) & 0 & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2\left( \pm b\right) }{b^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{b^{2}}{c^{2}}\right) \end{array} \right\vert =\dfrac{-16}{b^{2}}\left( 1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\right) \left( 1- \dfrac{b^{2}}{c^{2}}\right) >0. \end{equation*} Como este determinante es positivo, entonces en los puntos \(\left( 0,\pm b,0\right) \) la función tiene un punto silla.
En los puntos \(\left( 0,0,\pm c\right) ,\) y \(\lambda =c^{2}\) tenemos \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( 0,0,\pm c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} \\ & & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{c^{2}}{a^{2}}\right) & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\right) & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right\vert \end{equation*} Puesto que \(\dfrac{\partial g}{\partial x}\left( 0,0,\pm c\right) =0=\dfrac{ \partial g}{\partial y}\left( 0,0,\pm c\right) ,\) debemos considerar el determinante de \(3\times 3\)
\begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( 0,0,\pm c\right) \right\vert &=&\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial y}\left( 0,0,\pm c\right) & \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( 0,0,\pm c\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial y}\left( 0,0,\pm c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}\left( 0,0,\pm c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{% \partial y\partial z}\left( 0,0,\pm c\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( 0,0,\pm c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial y}\left( 0,0,\pm c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h% }{\partial z^{2}}\left( 0,0,\pm c\right) \end{array}% \right\vert \\ && \\ &=&\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} \\ & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\right) & 0 \\ & & \\ \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} & 0 & 0% \end{array}% \right\vert \; \end{eqnarray*} y determinar los signos de éste y del determinante hessiano limitado. Calculamos, recordando que \(a < b < c \)
\begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( 0,0,\pm c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} \\ & & \\ 0 & 2\left( 1-\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\right) & 0 \\ & & \\ \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} & 0 & 0 \end{array} \right\vert =-\dfrac{8}{c^{2}b^{2}}\left( b-c\right) \left( b+c\right) >0. \end{equation*} Ahora calculamos \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( 0,0,\pm c\right) \right\vert & = &\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} & 0 & 0 \\ & & & \\ \dfrac{2\left( \pm c\right) }{c^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\right) & 0 \\ & & & \\ 0 & 0 & 0 & 2\left( 1-\dfrac{c^{2}}{a^{2}}\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & -\dfrac{16}{c^{2}}\left( \dfrac{\left( b-c\right) \left( b+c\right) }{ b^{2}}\right) \left( \dfrac{\left( a-c\right) \left( a+c\right) }{c^{2}} \right) <0. \end{eqnarray*}
Por tanto, puesto que los signos de los determinantes de órdenes \(3\) y \( 4 \) son positivo y negativo respectivamente, entonces la función alcanza un máximo en los puntos \begin{equation*} \left( 0,0,\pm c\right) . \end{equation*} En resumen la función alcanza su mínimo en los puntos \(\left( \pm a,0,0\right) \) y el valor mínimo es \begin{equation*} f\left( \pm a,0,0\right) =a^{2} \end{equation*} y su máximo en los puntos \(\left( 0,0,\pm c\right) ,\) siendo el valor máximo \begin{equation*} f\left( 0,0,\pm c\right) =c^{2}. \end{equation*} Puesto que \(f\) es el valor de la distancia elevado al cuadrado, concluimos que el valor mínimo es \(a\) y se alcanza en los puntos de coordenadas \( \left( \pm a,0,0\right) .\) Los puntos del elipsoide más cercanos al origen son \(\left( \pm a,0,0\right) .\)