Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 13

Encuentra los valores máximo y mínimo de la coordenada \(z\) de la superficie determinada por la intersección del paraboloide \( z=x^{2}+y^{2}\) y el plano \(x+y+z=1.\)

Solución:

Encontramos la intersección \(S\) del paraboloide con el plano \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & 1-x-y \\ x^{2}+x+y^{2}+y & = & 1 \\ x^{2}+x+\dfrac{1}{4}+y^{2}+y+\dfrac{1}{4} & = & 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \\ \left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y+\dfrac{1}{2}\right) ^{2} & = & \dfrac{3}{2} \end{eqnarray*} entonces la proyección en el plano \(XY\) de la intersección del plano y el paraboloide es el círculo con centro en \(\left( -\dfrac{1}{2},- \dfrac{1}{2}\right) \) y radio \(\sqrt{\dfrac{3}{2}}.\)

Todos los puntos \(\left( x,y,z\right) \) de \(S\) satisfacen que \(z=x^{2}+y^{2}\) . Así, el problema original se trasforma en encontrar los valores extremos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2} \end{equation*} sujeta a la restricción \begin{equation*} \left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}=\dfrac{3 }{2}. \end{equation*} Usaremos el método de Lagrange.

Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y}\right) =\left( 2x,2y\right) \\ \nabla g\left( x,y\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y}\right) =\left( 2\left( x+\dfrac{1}{2}\right) ,2\left( y+\dfrac{1}{2}\right) \right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y\right) & = & \lambda \nabla g\left( x,y\right) \\ \left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y+\dfrac{1}{2}\right) ^{2} & = & \dfrac{3}{2} \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray} 2x & = & 2\left( x+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \label{13.0}\tag{1} \\ 2y & = & 2\left( y+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \notag \\ \left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y+\dfrac{1}{2}\right) ^{2} & = & \dfrac{3}{2} \notag \end{eqnarray} de las dos primeras tenemos \begin{eqnarray*} x & = & \left( x+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \\ y & = & \left( y+\dfrac{1}{2}\right) \lambda , \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray} x-x\lambda & = & \dfrac{1}{2}\lambda \label{13.1}\tag{2} \\ y-y\lambda & = & \dfrac{1}{2}\lambda \notag \end{eqnarray} así \begin{equation*} x\left( 1-\lambda \right) =y\left( 1-\lambda \right) . \end{equation*} Si \(\lambda =1\), sustituyendo en la primera ecuación de (\ref{13.1}) obtenemos \begin{equation*} x=\left( x+\dfrac{1}{2}\right) \end{equation*} de donde se obtiene \(0=\dfrac{1}{2}\) que es absurdo.

Entonces debe cumplirse que \(\lambda \neq 1,\) de donde \begin{equation*} x=y \end{equation*} y sustituyendo en la tercera ecuación en (\ref{13.0}) \begin{eqnarray*} 2\left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2} & = & \dfrac{3}{2} \\ \left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2} & = & \dfrac{3}{4} \\ \left\vert x+\dfrac{1}{2}\right\vert & = & \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\ \left\vert x+\dfrac{1}{2}\right\vert & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \text{o } \quad \quad \quad x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \end{equation*} es decir \begin{equation*} x=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation*} Si \(x=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},\) entonces \(y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\) y \begin{eqnarray*} x & = & \left( x+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \\ \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} & = & \left( \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \\ \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) } & = & \lambda \\ \dfrac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} & = & \lambda . \end{eqnarray*} Si \(x=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2},\) entonces \(y=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\) y \begin{eqnarray*} x & = & \left( x+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \\ \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} & = & \left( \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \\ \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) } & = & \lambda \\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} & = & \lambda \end{eqnarray*} Las soluciones son \begin{eqnarray*} x & = & \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}, \quad \quad y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}, \quad \quad \lambda =\dfrac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ x & = & \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}, \quad \quad y=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}, \quad \quad \lambda =\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}. \end{eqnarray*} Definimos la función \begin{eqnarray*} h\left( x,y\right) & = & f\left( x,y\right) -\lambda g\left( x,y\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}-\lambda \left( \left( x+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y+ \dfrac{1}{2}\right) ^{2}-\dfrac{3}{2}\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de primer orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h}{\partial x} & = & 2x-2\left( x+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \\ \dfrac{\partial h}{\partial y} & = & 2y-2\left( y+\dfrac{1}{2}\right) \lambda \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial x^{2}} & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}} & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x} & = & 0=\dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial y} \end{eqnarray*} Calculamos el hessiano limitado \begin{equation*} \left\vert \overline{H}\left( x,y\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 2\left( x+\dfrac{1}{2}\right) & 2\left( y+\dfrac{1}{2}\right) \\ & & \\ 2\left( x+\dfrac{1}{2}\right) & 2-2\lambda & 0 \\ & & \\ 2\left( y+\dfrac{1}{2}\right) & 0 & 2-2\lambda \end{array} \right\vert \end{equation*}