Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 12

Solución:

Como el prisma está centrado en el origen, sus vértices son los ocho puntos $\left( \pm x,\pm y,\pm z\right) $ con $x>0,$ $y>0,$ $z>0,$ y el volumen del prisma está dado por la función \[ f\left( x,y,z\right) =\left( 2x\right) \left( 2y\right) \left( 2z\right) =8xyz \] Para que el prisma esté inscrito en el elipsoide, consideramos la función \[ g\left( x,y,z\right) =\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4}-1, \] así la condición se escribe como \[ g\left( x,y,z\right) =\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} -1=0. \] Usaremos el método de Lagrange.

Calculamos los gradientes de $f$ y $g$: \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y,z\right) &=&\left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right) =\left( 8yz,8xz,8xy\right) \\ \nabla g\left( x,y,z\right) &=&\left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y},\dfrac{\partial g}{\partial z}\right) =\left( \dfrac{ x}{2},\dfrac{y}{8},\dfrac{z}{2}\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y,z\right) &=&\lambda \nabla g\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} &=&1. \end{eqnarray*} Es decir \begin{eqnarray*} 8yz &=&\lambda \dfrac{x}{2} \\ 8xz &=&\lambda \dfrac{y}{8} \\ 8xy &=&\lambda \dfrac{z}{2} \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} &=&1. \end{eqnarray*} Multiplicando la primera por $x,$ la segunda por $y$ y la tercera por $z$, obtenemos \begin{eqnarray} 8xyz &=&\lambda \dfrac{x^{2}}{2} \label{prismaelip}\tag{1} \\ 8xyz &=&\lambda \dfrac{y^{2}}{8} \nonumber \\ 8xyz &=&\lambda \dfrac{z^{2}}{2} \nonumber \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} &=&1. \nonumber \end{eqnarray} Sumando las tres primeras y considerando la restricción se tiene que: \begin{eqnarray*} 24xyz &=&\lambda \left( \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}+\dfrac{z^{2}}{2} \right) \\ &=&2\lambda , \end{eqnarray*} de donde \[ \lambda =12xyz. \] Observamos que $\lambda \neq 0,$ pues en otro caso, $x,y$ o $z$ sería cero, lo que no sucede por ser las aristas del prisma.

De la ecuación anterior obtenemos \begin{eqnarray*} xyz &=&\frac{\lambda }{12} \\ 8xyz &=&\frac{8\lambda }{12}=\frac{2}{3}\lambda \end{eqnarray*} Sustituyendo el valor de $8xyz$ en las tres primeras ecuaciones de (\ref{prismaelip}), obtenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{2}{3}\lambda &=&\lambda \dfrac{x^{2}}{2} \\ \dfrac{2}{3}\lambda &=&\lambda \dfrac{y^{2}}{8} \\ \dfrac{2}{3}\lambda &=&\lambda \dfrac{z^{2}}{2}, \end{eqnarray*} de donde \[ x^{2}=\dfrac{4}{3},\qquad y^{2}=\dfrac{16}{3}\qquad \text{y}\qquad z^{2}= \dfrac{4}{3}. \] Puesto que $x,y$ y $z$ son positivos, \[ x=\dfrac{2}{\sqrt{3}},\qquad y=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\qquad \text{y}\qquad z= \dfrac{2}{\sqrt{3}}. \] Y considerando la primera ecuación de (\ref{prismaelip}), tenemos \begin{eqnarray*} 8xyz &=&\lambda \dfrac{x^{2}}{2} \\ 16\dfrac{yz}{x} &=&\lambda , \end{eqnarray*} como $x=z$ y $y=\dfrac{4}{\sqrt{3}},$ entonces \[ \lambda =16y=\dfrac{64}{\sqrt{3}}. \] Para saber qué tipo de extremo tiene la función $f$ en el punto \[ \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{4}{\sqrt{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \] definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} h\left( x,y,z\right) &=&f\left( x,y,z\right) -\lambda g\left( x,y,z\right) \\ &=&8xyz-\lambda \left( \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} -1\right) . \end{eqnarray*} con $\lambda =\dfrac{64}{\sqrt{3}},$

Calculamos las derivadas parciales de $h$ de orden $1$. \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h\left( x,y,z\right) }{\partial x} &=&8yz-\lambda \dfrac{x}{2 } \\ \dfrac{\partial h\left( x,y,z\right) }{\partial y} &=&8xz-\lambda \dfrac{y}{8 } \\ \dfrac{\partial h\left( x,y,z\right) }{\partial z} &=&8xy-\lambda \dfrac{z}{2 }. \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de $h$ de orden $2$ son: \[ \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial x^{2}}=-\dfrac{\lambda }{ 2},\qquad \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial y^{2}}=-\dfrac{ \lambda }{8},\qquad \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial y^{2} }=-\dfrac{\lambda }{2} \] y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial y\partial x} &=&8z= \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial x\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial z\partial y} &=&8x= \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial y\partial z} \\ \\ \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial z\partial x} &=&8y= \dfrac{\partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial x\partial z}. \end{eqnarray*} Consideramos el determinante hessiano limitado \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( x,y,z\right) \right\vert &=&\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial x}\left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial y} \left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z^{2}} \left( x,y,z\right) \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{x}{2} & \dfrac{y}{8} & \dfrac{x}{2} \\ & & & \\ \dfrac{x}{2} & -\dfrac{\lambda }{2} & 8z & 8y \\ & & & \\ \dfrac{y}{8} & 8z & -\dfrac{\lambda }{8} & 8x \\ & & & \\ \dfrac{x}{2} & 8y & 8x & -\dfrac{\lambda }{2} \end{array} \right\vert \end{eqnarray*} Ahora debemos calcular los determinantes y analizar sus signos. \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( x,y,z\right) \right\vert &=&\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{x}{2} & \dfrac{y}{8} \\ & & \\ \dfrac{x}{2} & -\dfrac{\lambda }{2} & 8z \\ & & \\ \dfrac{y}{8} & 8z & -\dfrac{\lambda }{8} \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&-\dfrac{x}{2}\left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{x}{2} & 8z \\ & \\ \dfrac{y}{8} & -\dfrac{\lambda }{8} \end{array} \right\vert +\dfrac{y}{8}\left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{x}{2} & -\dfrac{\lambda }{2} \\ & \\ \dfrac{y}{8} & 8z \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&-\dfrac{x}{2}\left( \dfrac{x}{2}\left( -\dfrac{\lambda }{8}\right) -\left( \left( \dfrac{y}{8}\right) 8z\right) \right) +\dfrac{y}{8}\left( \left( \dfrac{x}{2}\right) 8z-\left( \dfrac{y}{8}\right) \left( -\dfrac{ \lambda }{2}\right) \right) \\ && \\ &=&\frac{1}{32}\lambda x^{2}+zxy+\frac{1}{128}\lambda y^{2} \end{eqnarray*} no hace falta evaluar en $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}},y=\dfrac{4}{\sqrt{3}},z= \dfrac{2}{\sqrt{3}},\lambda =\dfrac{64}{\sqrt{3}},$ pues como todos los valores son positivos y el resultado del determinante es una suma, entonces el determinante anterior es positivo.

Por otra parte, para calcular el determinante de tama\~{n}o $4\times 4,$ evaluamos en el punto $\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{4}{\sqrt{3}},\dfrac{ 2}{\sqrt{3}}\right) $ y el valor $\lambda =\dfrac{64}{\sqrt{3}}.$ \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{4}{\sqrt{3}}, \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \right\vert &=&\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{2} & \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{3}}}{8} & \dfrac{ \dfrac{2}{\sqrt{3}}}{2} \\ & & & \\ \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{2} & -\dfrac{\dfrac{64}{\sqrt{3}}}{2} & 8\dfrac{2 }{\sqrt{3}} & 8\dfrac{4}{\sqrt{3}} \\ & & & \\ \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{3}}}{8} & 8\dfrac{2}{\sqrt{3}} & -\dfrac{\dfrac{64}{ \sqrt{3}}}{8} & 8\dfrac{2}{\sqrt{3}} \\ & & & \\ \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{2} & 8\dfrac{4}{\sqrt{3}} & 8\dfrac{2}{\sqrt{3}} & -\dfrac{\dfrac{64}{\sqrt{3}}}{2} \end{array} \right\vert \\ && \\ &&\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \frac{1}{3}\sqrt{3} & \frac{1}{6}\sqrt{3} & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ & & & \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} & -\frac{32}{3}\sqrt{3} & \frac{16}{3}\sqrt{3} & \frac{32 }{3}\sqrt{3} \\ & & & \\ \frac{1}{6}\sqrt{3} & \frac{16}{3}\sqrt{3} & -\frac{8}{3}\sqrt{3} & \frac{16 }{3}\sqrt{3} \\ & & & \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} & \frac{32}{3}\sqrt{3} & \frac{16}{3}\sqrt{3} & -\frac{32 }{3}\sqrt{3} \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&\left( \sqrt{3}\right) ^{4}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{4}\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 1 \\ & & & \\ 1 & -32 & 16 & 32 \\ & & & \\ 2 & 16 & -8 & 16 \\ & & & \\ 1 & 32 & 16 & -32 \end{array} \right\vert \end{eqnarray*} \[ \left( \sqrt{3}\right) ^{4}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{4}\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -32 & 16 & 32 \\ 2 & 16 & -8 & 16 \\ 1 & 32 & 16 & -32 \end{array} \right\vert =-1024 < 0 \] Por lo tanto, cuando \[ x=\dfrac{2}{\sqrt{3}},y=\dfrac{4}{\sqrt{3}},z=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \] se alcanza un máximo, en cuyo caso el volumen es \[ 8\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \left( \dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) =\dfrac{128}{9}\sqrt{3}. \]