Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 12

Solución:

Llamamos \(x,y,z\) a los lados del prisma, entonces el volumen está dado por la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =xyz. \end{equation*} Para que el prisma esté inscrito en el elipsoide, consideramos la función \begin{equation*} g\left( x,y,z\right) =\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4}-1, \end{equation*} así la condición se escribe como \begin{equation*} g\left( x,y,z\right) =\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} -1=0. \end{equation*} Usaremos el método de Lagrange.

Calculamos los gradientes de \(f\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y,z\right) & = & \left( \dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{ \partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right) =\left( yz,xz,xy\right) \\ \nabla g\left( x,y,z\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{ \partial g}{\partial y},\dfrac{\partial g}{\partial z}\right) =\left( \dfrac{ x}{2},\dfrac{y}{8},\dfrac{z}{2}\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla f\left( x,y,z\right) & = & \lambda \nabla g\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} & = & 1. \end{eqnarray*} Es decir \begin{eqnarray*} yz & = & \lambda \dfrac{x}{2} \\ xz & = & \lambda \dfrac{y}{8} \\ xy & = & \lambda \dfrac{z}{2} \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} & = & 1. \end{eqnarray*} Multiplicando la primera por \(x,\) la segunda por \(y\) y la tercera por \(z\), obtenemos \begin{eqnarray} xyz & = & \lambda \dfrac{x^{2}}{2} \label{prismaelip}\tag{1} \\ xyz & = & \lambda \dfrac{y^{2}}{8} \notag \\ xyz & = & \lambda \dfrac{z^{2}}{2} \notag \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} & = & 1. \notag \end{eqnarray} Sumando las tres primeras y considerando la restricción se tiene que: \begin{eqnarray*} 3xyz & = & \lambda \left( \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{8}+\dfrac{z^{2}}{2} \right) \\ & = & 2\lambda , \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} \lambda =\dfrac{3}{2}xyz. \end{equation*} Observamos que \(\lambda \neq 0,\) pues en otro caso, \(x,y\) o \(z\) sería cero, lo que no sucede por ser las aristas del prisma.

Sustituyendo el valor de \(xyz\) en las tres primeras ecuaciones de (\ref{prismaelip}), obtenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{2}{3}\lambda & = & \lambda \dfrac{x^{2}}{2} \\ \dfrac{2}{3}\lambda & = & \lambda \dfrac{y^{2}}{8} \\ \dfrac{2}{3}\lambda & = & \lambda \dfrac{z^{2}}{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x^{2}=\dfrac{4}{3}, \qquad y^{2}=\dfrac{16}{3} \qquad \text{y} \qquad z^{2}= \dfrac{4}{3}. \end{equation*} Puesto que \(x,y\) y \(z\) son los lados del prisma, no consideramos los valores negativos, así, \begin{equation*} x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \qquad y=\dfrac{4}{\sqrt{3}} \qquad \text{y} \qquad z= \dfrac{2}{\sqrt{3}}. \end{equation*} Y considerando la primera ecuación de (\ref{prismaelip}), tenemos \begin{eqnarray*} xyz & = & \lambda \dfrac{x^{2}}{2} \\ 2\dfrac{yz}{x} & = & \lambda , \end{eqnarray*} como \(x=z\) y \(y=\dfrac{4}{\sqrt{3}},\) entonces \begin{equation*} \lambda =2y=\dfrac{8}{\sqrt{3}}. \end{equation*} Para saber qué tipo de extremo tiene la función \(f\) en el punto \begin{equation*} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{4}{\sqrt{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \end{equation*} definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} h\left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g\left( x,y,z\right) \\ & = & xyz-\lambda \left( \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{4} -1\right) . \end{eqnarray*} con \(\lambda =\dfrac{8}{\sqrt{3}},\)

Calculamos las derivadas de \(h\) de orden \(1\). \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & yz-\lambda \dfrac{x}{2} \\ \dfrac{\partial h }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & xz-\lambda \dfrac{y}{8} \\ \dfrac{\partial h }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & xy-\lambda \dfrac{z}{2} . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de \(h\) de orden \(2\) son: \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right)=-\dfrac{\lambda }{ 2}, \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right)=-\dfrac{ \lambda }{8}, \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial y^{2} }\left( x,y,z\right)=-\dfrac{\lambda }{2} \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) & = & z=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial x\partial y}\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial z\partial y}\left( x,y,z\right) & = & x=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial z\partial x}\left( x,y,z\right) & = & y=\dfrac{ \partial ^{2}h\left( x,y,z\right) }{\partial x\partial z}. \end{eqnarray*} Consideramos el determinante hessiano limitado \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( x,y,z\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial x}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial x }\left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial y}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z\partial y} \left( x,y,z\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial x\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial z^{2}} \left( x,y,z\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{x}{2} & \dfrac{y}{8} & \dfrac{x}{2} \\ \dfrac{x}{2} & -\dfrac{\lambda }{2} & z & y \\ \dfrac{y}{8} & z & -\dfrac{\lambda }{8} & x \\ \dfrac{x}{2} & y & x & -\dfrac{\lambda }{2} \end{array} \right\vert \end{eqnarray*} Ahora debemos calcular los determinantes y analizar sus signos. \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( x,y,z\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccc} 0 & \dfrac{x}{2} & \dfrac{y}{8} \\ \dfrac{x}{2} & -\dfrac{\lambda }{2} & z \\ \dfrac{y}{8} & z & -\dfrac{\lambda }{8} \end{array} \right\vert \\ \\ & = & -\dfrac{x}{2}\left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{x}{2} & z \\ \dfrac{y}{8} & -\dfrac{\lambda }{8} \end{array} \right\vert +\dfrac{y}{8}\left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{x}{2} & -\dfrac{\lambda }{2} \\ \dfrac{y}{8} & z \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & -\dfrac{x}{2}\left( \dfrac{x}{2}\left( -\dfrac{\lambda }{8}\right) -\left( \left( \dfrac{y}{8}\right) z\right) \right) +\dfrac{y}{8}\left( \left( \dfrac{x}{2}\right) z-\left( \dfrac{y}{8}\right) \left( -\dfrac{ \lambda }{2}\right) \right) \\ & & \\ & = & -\dfrac{x}{2}\left( -\dfrac{\lambda x}{16}-\dfrac{yz}{8}\right) +\dfrac{y }{8}\left( \dfrac{xz}{2}+\dfrac{\lambda y}{16}\right) \\ && \\ & = & \dfrac{1}{32}\lambda x^{2}+\dfrac{1}{8}xyz+\dfrac{1}{128}\lambda y^{2} \end{eqnarray*} no hace falta evaluar en \(x=\dfrac{2}{\sqrt{3}},y=\dfrac{4}{\sqrt{3}},z= \dfrac{2}{\sqrt{3}},\lambda =\dfrac{8}{\sqrt{3}},\) pues como todos los valores son positivos y el resultado del determinante es una suma, entonces el determinante anterior es positivo.

Por otra parte, para calcular el determinante de tamaño \(4\times 4,\) evaluamos en el punto \(\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{4}{\sqrt{3}},\dfrac{ 2}{\sqrt{3}}\right) \) y el valor \(\lambda =\dfrac{8}{\sqrt{3}}.\) \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},\dfrac{4}{\sqrt{3}}, \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & \dfrac{1}{6}\sqrt{3} & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ & & & \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & -\dfrac{4}{3}\sqrt{3} & \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & \dfrac{ 4}{3}\sqrt{3} \\ & & & \\ \dfrac{1}{6}\sqrt{3} & \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} & \dfrac{ 2}{3}\sqrt{3} \\ & & & \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{3} & \dfrac{4}{3}\sqrt{3} & \dfrac{2}{3}\sqrt{3} & -\dfrac{ 4}{3}\sqrt{3} \end{array} \right\vert \\ && \\ & = & \left( \sqrt{3}\right) ^{4}\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} \\ & & & \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{4}{3} \\ & & & \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \\ & & & \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{4}{3} & \dfrac{2}{3} & -\dfrac{4}{3} \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left( \sqrt{3}\right) ^{4}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{4}\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & 1 \\ & & & \\ 1 & -4 & 2 & 4 \\ & & & \\ \dfrac{1}{2} & 2 & -1 & 2 \\ & & & \\ 1 & 4 & 2 & -4 \end{array} \right\vert =-\dfrac{16}{3} < 0. \end{eqnarray*}

Por lo tanto, por el inciso 1 del Teorema 2, cuando \begin{equation*} x=\dfrac{2}{\sqrt{3}},y=\dfrac{4}{\sqrt{3}},z=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \end{equation*} se alcanza un máximo, en cuyo caso el volumen es \begin{equation*} \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) \left( \dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \left( \dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) =\dfrac{16}{9}\sqrt{3}. \end{equation*}