Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 8

Solución:

Sabemos que el área total de un prisma de aristas \(a,b,c\) es \begin{equation*} A=2\left( ab+ac+bc\right) \end{equation*} en nuestro caso, consideramos la restricción \begin{equation*} A=2\left( ab+ac+bc\right) =100, \end{equation*} o sea \begin{equation*} ab+ac+bc=50. \end{equation*} El volumen del prisma es \begin{equation*} V=abc. \end{equation*} Definimos la función \begin{equation*} g\left( a,b,c\right) =ab+ac+bc-50, \end{equation*} con lo cual la restricción se escribe como \begin{equation*} g\left( a,b,c\right) =0. \end{equation*} Calculamos los gradientes de \(V\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla V\left( a,b,c\right) & = & \left( \dfrac{\partial V}{\partial a},\dfrac{ \partial V}{\partial b},\dfrac{\partial V}{\partial c}\right) =\left( bc,ac,ab\right) \\ \nabla g\left( a,b,c\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial a},\dfrac{ \partial g}{\partial b},\dfrac{\partial g}{\partial c}\right) =\left( b+c,a+c,a+b\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla V\left( a,b,c\right) & = & \lambda \nabla g\left( a,b,c\right) \\ ab+ac+bc & = & 50, \end{eqnarray*} es decir, \begin{eqnarray*} bc & = & \lambda \left( b+c\right) \\ ac & = & \lambda \left( a+c\right) \\ ab & = & \lambda \left( a+b\right) \\ ab+ac+bc & = & 50. \end{eqnarray*} Como \(b+c\neq 0\) y \(a+c\neq 0,\) despejando \(\lambda \) de la primera y segunda ecuaciones, obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{bc}{b+c} & = & \frac{ac}{a+c} \\ bc^{2} & = & ac^{2}, \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} a=b. \end{equation*} Como \(a+b\neq 0,\) de la segunda y tercera ecuaciones, obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{ac}{a+c} & = & \frac{ab}{a+b} \\ a^{2}c & = & a^{2}b, \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} c=b. \end{equation*} Así \begin{equation*} a=b=c \end{equation*} y sustituyendo en la tercera, tenemos \begin{eqnarray*} 3a^{2} & = & 50 \\ a & = & \sqrt{\dfrac{50}{3}}, \end{eqnarray*} por lo que \begin{equation*} a=b=c=\sqrt{\dfrac{50}{3}}. \end{equation*} Ahora podemos obtener el valor de \(\lambda \), a partir de cualquiera de las tres primeras ecuaciones, obteniendo \begin{eqnarray*} a^{2} & = & 2\lambda a \\ \lambda & = & \dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{50}{3}}. \end{eqnarray*} Definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} h\left( a,b,c\right) & = & V\left( a,b,c\right) -\lambda g\left( a,b,c\right) \\ & = & abc-\lambda \left( ab+ac+bc-50\right) . \end{eqnarray*} Calculamos las derivadas de \(h\) de orden \(1\). \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h }{\partial a}\left( a,b,c\right) & = & bc-\lambda \left( b+c\right) \\ \dfrac{\partial h }{\partial b}\left( a,b,c\right) & = & ac-\lambda \left( a+c\right) \\ \dfrac{\partial h }{\partial c}\left( a,b,c\right) & = & ab-\lambda \left( a+b\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de \(h\) de orden \(2\) son: \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial a^{2}}\left( a,b,c\right)=0, \qquad \dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial b^{2}}\left( a,b,c\right)=0, \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial c^{2}}\left( a,b,c\right)=0 \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial b\partial a}\left( a,b,c\right) & = & c-\lambda =\dfrac{\partial ^{2}h }{\partial a\partial b }\left( a,b,c\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial c\partial b}\left( a,b,c\right) & = & a-\lambda =\dfrac{\partial ^{2}h }{\partial b\partial c }\left( a,b,c\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial c\partial a}\left( a,b,c\right) & = & b-\lambda =\dfrac{\partial ^{2}h }{\partial a\partial c }\left( a,b,c\right). \end{eqnarray*} Puesto que \begin{equation*} \lambda =\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{2} \end{equation*} entonces \begin{equation*} a-\lambda =b-\lambda =c-\lambda =\lambda \end{equation*} y como \(a=b=c,\) entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial g }{\partial a}\left( a,b,c\right)=\dfrac{\partial g }{\partial b}\left(a,b,c\right)=\dfrac{\partial g }{\partial c}\left( a,b,c\right) =2a. \end{equation*} Evaluamos el determinante hessiano limitado en \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{50}{3}}\) y \(\lambda =\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{50}{3}}\) \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( a,b,c\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial a}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial b}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial g}{\partial c}\left( a,b,c\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial a}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial a^{2}}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial b\partial a}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial c\partial a }\left( a,b,c\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial b}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial a\partial b}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial b^{2}}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial c\partial b} \left( a,b,c\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial c}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial a\partial c}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial b\partial c}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial c^{2}} \left( a,b,c\right) \end{array} \right\vert \\ && \\ & = & \left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 2a & 2a & 2a \\ 2a & 0 & \lambda & \lambda \\ 2a & \lambda & 0 & \lambda \\ 2a & \lambda & \lambda & 0 \end{array} \right\vert \end{eqnarray*} Ahora debemos calcular los determinantes y analizar sus signos. \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 2a & 2a \\ 2a & 0 & \lambda \\ 2a & \lambda & 0 \end{array} \right\vert =8a^{2}\lambda >0, \quad \text{ ya que } \lambda >0 \end{equation*} y \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 2a & 2a & 2a \\ 2a & 0 & \lambda & \lambda \\ 2a & \lambda & 0 & \lambda \\ 2a & \lambda & \lambda & 0 \end{array} \right\vert =-12a^{2}\lambda ^{2} < 0. \end{equation*}

Por tanto, puesto que el signo del determinante de la submatriz de orden \(3\) es positivo y el del determinante de orden \(4\) es negativo, entonces, por el inciso 1 del Teorema 2, la función \(h\) alcanza un máximo en \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{50}{3}}.\) Es decir, el prisma de volumen máximo con área total igual a \(100\) cm\(^{2}\) es un cubo de lado \(\sqrt{\dfrac{50}{3}}.\) Su volumen es \(\left( \sqrt{\dfrac{50}{3 }}\right) ^{3}.\)