Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 5

Solución:

Resolvemos el problema usando el método de Lagrange

Así, buscamos los valores \(a,b,c\) que satisfagan: \begin{equation*} a+b+c=36. \end{equation*} y el producto \begin{equation*} P\left( a,b,c\right) =abc \end{equation*} sea máximo.

Definimos la función \begin{equation*} g\left( a,b,c\right) =a+b+c-36, \end{equation*} con lo cual la restricción se escribe como \begin{equation*} g\left( a,b,c\right) =0. \end{equation*} Calculamos los gradientes de \(P\) y \(g\): \begin{eqnarray*} \nabla P\left( a,b,c\right) & = & \left( \dfrac{\partial P}{\partial a},\dfrac{ \partial P}{\partial b},\dfrac{\partial P}{\partial c}\right) =\left( bc,ac,ab\right) \\ \nabla g\left( a,b,c\right) & = & \left( \dfrac{\partial g}{\partial a},\dfrac{ \partial g}{\partial b},\dfrac{\partial g}{\partial c}\right) =\left( 1,1,1\right) . \end{eqnarray*} De acuerdo con el método de Lagrange, debemos resolver el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} \nabla P\left( a,b,c\right) & = & \lambda \nabla g\left( a,b,c\right) \\ a+b+c & = & 36. \end{eqnarray*} Es decir, \begin{eqnarray} bc & = & \lambda \label{7}\tag{1} \\ ac & = & \lambda \notag \\ ab & = & \lambda \notag \\ a+b+c & = & 36. \notag \end{eqnarray} Como \(a,\) \(b\) y \(c\) son las dimensiones del paralelepípedo, todas son distintas de cero, entonces al despejar en las dos primeras ecuaciones, obtenemos \begin{equation*} a=b \end{equation*} y, de la primera y la tercera \begin{equation*} a=c. \end{equation*} De donde, usando la cuarta ecuación de (\ref{7}), obtenemos \begin{equation*} a=b=c=12. \end{equation*} Sustituyendo los valores en cualquiera de las tres primeras ecuaciones de (\ref{7}), tenemos que \(\lambda =144.\)

Definimos la función auxiliar \begin{eqnarray*} h\left( a,b,c\right) & = & P\left( a,b,c\right) -\lambda g\left( a,b,c\right) \\ & = & abc-\lambda \left( a+b+c-36\right) . \end{eqnarray*} Calculamos las derivadas de \(h\) de orden \(1\). \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial h }{\partial a}\left( a,b,c\right) & = & bc-\lambda \\ \dfrac{\partial h }{\partial b}\left( a,b,c\right) & = & ac-\lambda \\ \dfrac{\partial h }{\partial c}\left( a,b,c\right) & = & ab-\lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas parciales de \(h\) de orden \(2\).son: \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial a^{2}}\left( a,b,c\right)=0, \qquad \dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial b^{2}}\left( a,b,c\right)=0, \qquad \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial c^{2}}\left( a,b,c\right)=0 \end{equation*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial b\partial a}\left( a,b,c\right) & = & c=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial a\partial b}\left( a,b,c\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial c\partial b}\left( a,b,c\right) & = & a=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial b\partial c}\left( a,b,c\right) \\ \dfrac{\partial ^{2}h }{\partial c\partial a}\left( a,b,c\right) & = & b=\dfrac{ \partial ^{2}h }{\partial a\partial c}\left( a,b,c\right). \end{eqnarray*} Calculamos el determinante hessiano limitado \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & \dfrac{\partial g}{\partial a}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial g}{ \partial b}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial g}{\partial c}\left( a,b,c\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial a}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial a^{2}}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial b\partial a}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial c\partial a }\left( a,b,c\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial b}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial a\partial b}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial b^{2}}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial c\partial b} \left( a,b,c\right) \\ & & & \\ \dfrac{\partial g}{\partial c}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{ \partial a\partial c}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial b\partial c}\left( a,b,c\right) & \dfrac{\partial ^{2}h}{\partial c^{2}} \left( a,b,c\right) \end{array} \right\vert \end{equation*} Al evaluar el determinante hessiano en \(a=b=c=12,\) el obtenemos \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( 12,12,12\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 12 & 12 \\ 1 & 12 & 0 & 12 \\ 1 & 12 & 12 & 0 \end{array} \right\vert \end{equation*} Ahora debemos calcular los determinantes y analizar sus signos. \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{3}\left( 12,12,12\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 12 \\ 1 & 12 & 0 \end{array} \right\vert =24>0 \end{equation*} y \begin{equation*} \left\vert \overline{H}_{4}\left( 12,12,12\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 12 & 12 \\ 1 & 12 & 0 & 12 \\ 1 & 12 & 12 & 0 \end{array} \right\vert =-432 < 0. \end{equation*}

Por tanto, puesto que el signo del determinante de la submatriz de orden \(3\) es positivo y el de orden \(4\) es negativo, entonces, entonces, por el inciso 1 del Teorema 2, la función alcanza un máximo, es decir, el volumen es máximo cuando \(a=b=c=12.\)

El volumen es \begin{equation*} 12^{3}=1728. \end{equation*}