Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Problemas de Máximos y Mínimos usando Multiplicadores de Lagrange con dos Restricciones

Ejemplo 1 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =3x+y^{2}+z \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide hiperbólico \( z=x^{2}-y^{2}\) con el plano \(2x-4y+z=12.\)

Ejemplo 2 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide hiperbólico \( 2z=-\left( x+2\right) ^{2}-\left( y-2\right) ^{2}\) con el plano \(x-y-z=-1.\)

Ejemplo 3 Un prisma rectangular tiene una superficie total de \(468\) cm\(^{2}\) y la suma de las longitudes de sus aristas es \(108\) cm. Encuentra el prisma con volumen máximo y el de volumen mínimo.

Ejemplo 4 Encuentra los puntos que están en la intersección del paraboloide \(x^{2}+y^{2}+z=9\) y el plano \(x+y=3\) tales que el cuadrado de su distancia al origen sea mínima o máxima.

Ejemplo 5 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{3}-4y-z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \(z=x^{2}+y^{2}\) con \( x^{2}+2y=z.\)

Ejemplo 6 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{4}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del hiperboloide de una hoja \( x^{2}+y^{2}-16=z^{2}\) con el paraboloide \(16-x^{2}-y^{2}=z.\)

Ejemplo 7 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \( 6x+2z=8.\)

Ejemplo 8 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =6x^{2}+y^{2}+2z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Ejemplo 9 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Ejemplo 10 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8}y^{2}+\dfrac{1}{6}z \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Ejemplo 11 Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =z \end{equation*} sobre la intersección de \(z^{3}-x^{2}=0\) con \(z^{3}-y^{2}=0.\)

Sean \(f,g_{1},g_{2}:U\subset \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}\) con \( U \) abierto, tres funciones suaves, al menos de clase \(C^{2}\), \(c,d\in \mathbb{R}\) y \begin{equation*} S=\left\{ \left. \overline{x}\in U\,\right\vert ~g_{1}\left( \overline{x} \right) =c\text{ y }g_{2}\left( \overline{x}\right) =d\right\} . \end{equation*}

Supongamos que:

\(\overline{v_{0}}\in S\) , \(\lambda \) y \(\mu \) son reales tales que satisfacen el sistema de ecuaciones de multiplicadores de Lagrange (sistema lagrangiano): \begin{eqnarray*} \nabla f\left( \overline{x}\right) & = & \lambda \nabla g_{1}\left( \overline{x} \right) +\mu \nabla g_{2}\left( \overline{x}\right) \\ g_{1}\left( \overline{x}\right) & = & c \\ g_{2}\left( \overline{x}\right) & = & d \end{eqnarray*}

y la matriz \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) =\left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \end{equation*} tiene rango 2.

Consideramos la función \(\varphi :U\subset \mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}\) definida como \begin{equation*} \varphi =f-\lambda g_{1}-\mu g_{2} \end{equation*}

y el determinante hessiano limitado evaluado en \(\overline{v}_{0}\)

\begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( \overline{v}_{0}\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v} _{0}\right) & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v} _{0}\right) & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v} _{0}\right) \\ & & & & & & & & \\ 0 & & 0 & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v} _{0}\right) & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v} _{0}\right) & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v} _{0}\right) \\ & & & & & & & & \\ \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial x}\left( \overline{v} _{0}\right) & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & & & & & \\ \dfrac{\partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z\partial y}\left( \overline{v} _{0}\right) \\ & & & & & & & & \\ \dfrac{\partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}\left( \overline{v} _{0}\right) & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right\vert \end{equation*} Entonces

  1. Si \(\left\vert \overline{L}\left( \overline{v}_{0}\right) \right\vert >0,\) entonces en \(\overline{v}_{0}\) hay un mínimo relativo estricto de \( \left. f\right\vert _{S}.\)

  2. Si \(\left\vert \overline{L}\left( \overline{v}_{0}\right) \right\vert < 0,\) entonces en \(\overline{v}_{0}\) hay un máximo relativo estricto de \( \left. f\right\vert _{S}.\)

  3. Si \(\left\vert \overline{L}\left( \overline{v}_{0}\right) \right\vert = 0\) el criterio no da información.

Ejemplos

  1. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =3x+y^{2}+z \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide hiperbólico \( z=x^{2}-y^{2}\) con el plano \(2x-4y+z=12.\) (Geogebra La2r-1)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =3x+y^{2}+z. \end{equation*}

    Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}-y^{2}-z \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 2x-4y+z-12 \end{eqnarray*}

    las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}-y^{2}-z=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 2x-4y+z-12=0. \end{eqnarray*}

    Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*}

    es decir, \begin{eqnarray} 3 & = & 2x\lambda +2\mu \notag \\ 2y & = & -2y\lambda -4\mu \notag \\ 1 & = & -\lambda +\mu \label{Lagrange2r3} \\ x^{2}-y^{2} & = & z \notag \\ 2x-4y+z & = & 12. \notag \end{eqnarray}

    De la tercera ecuación tenemos \(\mu =1+\lambda .\) Al sustituir en la primera y segunda, tenemos \begin{eqnarray*} 3 & = & 2x\lambda +2\left( 1+\lambda \right) \\ 2y & = & -2y\lambda -4\left( 1+\lambda \right) , \end{eqnarray*}

    es decir, \begin{eqnarray*} 1 & = & 2\lambda \left( x+1\right) \\ 2y\left( 1+\lambda \right) & = & -4\left( 1+\lambda \right) . \end{eqnarray*}

    En resumen, las soluciones del sistema son las encontradas en (a) \begin{equation*} \begin{array}{lllll} x=2 & y=-2 & z=0 & \lambda =\dfrac{1}{6} & \mu =\dfrac{7}{6} \\ & & & & \\ x=-4 & y=-2 & z=12 & \lambda =-\dfrac{1}{6} & \mu =\dfrac{5}{6}. \end{array} \end{equation*}

    Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & -2y & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

    tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las dos soluciones antes encontradas.

    Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi \left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g_{1}\left( x,y,z\right) -\mu g_{2}\left( x,y,z\right) \\ & = & 3x+y^{2}+z-\lambda \left( x^{2}-y^{2}-z\right) -\mu \left( 2x-4y+z-12\right) . \end{eqnarray*}

    Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 3-2\lambda x-2\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y+2\lambda y+4\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 1+\lambda -\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & -2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2+2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 0 \end{eqnarray*}

    y las derivadas de segundo orden mixtas, todas son iguales a cero.

    Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones.

    Recordemos que \begin{equation*} \begin{array}{lllll} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}=2x, & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial y }=-2, & & \dfrac{\partial g}{\partial z}=-1 \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}=2, & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial y} =-4, & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial z}=1, \end{array} \end{equation*}

    entonces \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2x & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 1 \\ 2x & 2 & -2\lambda & 0 & 0 \\ -2 & -4 & 0 & 2+2\lambda & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right\vert =16x-64\lambda +16x\lambda +8x^{2}\lambda +8x^{2}+8. \end{equation*}

  2. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide hiperbólico \( 2z=-\left( x+2\right) ^{2}-\left( y-2\right) ^{2}\) con el plano \(x-y-z=-1.\) (Geogebra La2r-2)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}. \end{equation*}

    Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x-y-z+1 \end{eqnarray*}

    las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x-y-z+1=0. \end{eqnarray*}

    Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*}

    es decir, \begin{eqnarray} 2x & = & 2\left( x+2\right) \lambda +\mu \label{Ejem2ec} \\ 2y & = & 2\left( y-2\right) \lambda -\mu \notag \\ 2z & = & 2\lambda -\mu \notag \\ \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z & = & 0 \notag \\ x-y-z & = & -1. \notag \end{eqnarray}

    Sumando las dos primeras ecuaciones tenemos \begin{eqnarray*} 2x+2y & = & 2\left( x+2\right) \lambda +2\left( y-2\right) \lambda \\ 2\left( x+y\right) & = & 2\lambda \left( x+y\right) \\ \left( x+y\right) \left( 1-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*}

    de donde, \begin{equation*} \left( x+y\right) = 0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( 1-\lambda \right) = 0 \end{equation*}

    En resumen, hay dos soluciones del sistema: \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=-5 & & y=5 & & z=-9 & & \lambda =7 & & \mu =32 \\ x=-1 & & y=1 & & z=-1 & & \lambda =-1 & & \mu =0. \end{array} \end{equation*}

    Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2\left( x+2\right) & 2\left( y-2\right) & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

    tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguno de los dos candidatos antes encontrados.

    Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi \left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g_{1}\left( x,y,z\right) -\mu g_{2}\left( x,y,z\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda \left( \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z\right) -\mu \left( x-y-z+1\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 2x-2\lambda \left( x+2\right) -\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y-2\lambda \left( y-2\right) +\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 2z+2\lambda +\mu. \end{eqnarray*}

    Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2 \end{eqnarray*}

    y las derivadas de segundo orden mixtas, todas son iguales a cero.

    Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones.

    Recordemos que \begin{equation*} \begin{array}{lll} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}=2\left( x+2\right) , & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial y}=2\left( y-2\right) , & \dfrac{\partial g}{\partial z}=2 \\ & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}=1, & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial y} =-1, & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial z}=-1, \end{array} \end{equation*}

    entonces \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2\left( x+2\right) & & 2\left( y-2\right) & & 2 \\ & & & & & & & & \\ 0 & & 0 & & 1 & & -1 & & -1 \\ & & & & & & & & \\ 2\left( x+2\right) & & 1 & & 2-2\lambda & & 0 & & 0 \\ & & & & & & & & \\ 2\left( y-2\right) & & -1 & & 0 & & 2-2\lambda & & 0 \\ & & & & & & & & \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2 \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & 48x-48y-144\lambda -48x\lambda +48y\lambda -8x^{2}\lambda -8y^{2}\lambda +16xy+16x^{2}+16y^{2}+144. \end{eqnarray*}

  3. Un prisma rectangular tiene una superficie total de \(468\) cm\(^{2}\) y la suma de las longitudes de sus aristas es \(108\) cm. Encuentra el prisma con volumen máximo y el de volumen mínimo. (Geogebra La2r-3)

    Solución:

    Si \(a,\) \(b\) y \(c\) son las aristas de un prisma, entonces el volumen es \begin{equation*} V=abc. \end{equation*}

    Tenemos dos condiciones. La superficie total es \begin{equation*} 2ab+2ac+2bc=468 \end{equation*}

    y la suma de las longitudes de las aristas es \begin{equation*} 4a+4b+4c=108. \end{equation*}

    Las condiciones las podemos escribir como \begin{eqnarray*} ab+ac+bc & = & 234 \\ a+b+c & = & 27. \end{eqnarray*}

    Definamos \begin{eqnarray*} f\left( a,b,c\right) & = & abc \\ g_{1}\left( a,b,c\right) & = & ab+ac+bc-234 \\ g_{2}\left( a,b,c\right) & = & a+b+c-27. \end{eqnarray*}

    Las restricciones son entonces \begin{eqnarray*} g_{1}\left( a,b,c\right) & = & 0 \\ g_{2}\left( a,b,c\right) & = & 0. \end{eqnarray*}

    Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*}

    es decir, \begin{eqnarray} bc & = & \lambda \left( b+c\right) +\mu \notag \\ ac & = & \lambda \left( a+c\right) +\mu \notag \\ ab & = & \lambda \left( a+b\right) +\mu \label{Lagrange2r1} \\ ab+ac+bc & = & 234 \notag \\ a+b+c & = & 27. \notag \end{eqnarray}

    Al despejar \(\mu \) de las dos primeras ecuaciones de (\ref{Lagrange2r1}), obtenemos \begin{eqnarray*} bc-\lambda \left( b+c\right) & = & ac-\lambda \left( a+c\right) \\ bc-b\lambda -c\lambda & = & ac-a\lambda -c\lambda \\ bc-b\lambda & = & ac-a\lambda \\ b\left( c-\lambda \right) & = & a\left( c-\lambda \right) \\ b\left( c-\lambda \right) -a\left( c-\lambda \right) & = & 0 \\ \left( a-b\right) \left( c-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*}

    de donde \begin{equation*} a=b \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad c = \lambda . \end{equation*}

    En resumen, las soluciones del sistema son \begin{equation*} \begin{tabular}{lllll} \(a=b=\lambda =9+\sqrt{3}\) & & \(c=9-2\sqrt{3}\) & & \(\mu =-84-18\sqrt{3}\) \\ & & & & \\ \(a=b=\lambda =9-\sqrt{3}\) & & \(c=9+2\sqrt{3}\) & & \(\mu =-84+18\sqrt{3}\) \\ & & & & \\ \(a=c=\lambda =9+\sqrt{3}\) & & \(b=9-2\sqrt{3}\) & & \(\mu =-84-18\sqrt{3}\) \\ & & & & \\ \(a=c=\lambda =9-\sqrt{3}\) & & \(b=9+2\sqrt{3}\) & & \(\mu =-84+18\sqrt{3}\) \\ & & & & \\ \(b=c=\lambda =9+\sqrt{3}\) & & \(a=9-2\sqrt{3}\) & & \(\mu =-84-18\sqrt{3}\) \\ & & & & \\ \(b=c=\lambda =9-\sqrt{3}\) & & \(a=9+2\sqrt{3}\) & & \(\mu =-84+18\sqrt{3}\) \end{tabular} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} b+c & a+c & a+b \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( a,b,c\right) \) es alguna de las 6 soluciones antes encontradas. Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi & = & f-\lambda g_{1}-\mu g_{2} \\ & = & abc-\lambda \left( ab+ac+bc-234\right) -\mu \left( a+b+c-27\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial a} & = & bc-\lambda \left( b+c\right) -\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial b} & = & ac-\lambda \left( a+c\right) -\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial c} & = & ab-\lambda \left( a+b\right) -\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{ \partial b^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}c}=0 \end{equation*}

    \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial b\partial a} & = & c-\lambda =\dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial b} \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial c\partial a} & = & b-\lambda =\dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial c} \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial c\partial b} & = & a-\lambda =\dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial b\partial c}. \end{eqnarray*} Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial a} & & \dfrac{\partial g_{1}}{ \partial b} & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial c} \\ & & & & & & & & \\ 0 & & 0 & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial a} & & \dfrac{\partial g_{2}}{ \partial b} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial c} \\ & & & & & & & & \\ \dfrac{\partial g_{1}}{\partial a} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial a} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a^{2}} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial b\partial a} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{ \partial c\partial a} \\ & & & & & & & & \\ \dfrac{\partial g_{1}}{\partial b} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial b} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial b} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial b^{2}} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial c\partial b} \\ & & & & & & & & \\ \dfrac{\partial g_{1}}{\partial c} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial c} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial c} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial b\partial c} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{ \partial ^{2}c} \end{array} \right\vert \end{equation*} que en este caso es \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & b+c & & a+c & & a+b \\ 0 & & 0 & & 1 & & 1 & & 1 \\ b+c & & 1 & & 0 & & c-\lambda & & b-\lambda \\ a+c & & 1 & & c-\lambda & & 0 & & a-\lambda \\ a+b & & 1 & & b-\lambda & & a-\lambda & & 0 \end{array} \right\vert \end{equation*} \begin{eqnarray*} & = & -2a^{3}+2a^{2}b+2a^{2}c+2\lambda a^{2}+2ab^{2}-6abc-2\lambda ab+2ac^{2}-2\lambda ac-2b^{3}+2b^{2}c+2\lambda b^{2}+ \\ & & +2bc^{2}-2\lambda bc-2c^{3}+2\lambda c^{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} & = & -2\left( -ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}-a^{2}c-bc^{2}-b^{2}c-a^{2}\lambda -b^{2}\lambda -c^{2}\lambda +a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab\lambda +ac\lambda +\right. \\ & & \left. +bc\lambda +3abc\right) . \end{eqnarray*} Evaluamos el determinante hessiano limitado en las soluciones del sistema

    El prisma con volumen mínimo tiene dos de sus aristas iguales a \(9+ \sqrt{3}\) y la tercera es \(9-2\sqrt{3},\) y el volumen es \begin{equation*} V=\left( 9+\sqrt{3}\right) \left( 9+\sqrt{3}\right) \left( 9-2\sqrt{3} \right) =648-6\sqrt{3}\approx 637.61. \end{equation*}

    El prisma con volumen máximo tiene dos de sus aristas iguales a \(9- \sqrt{3}\) y la tercera es \(9+2\sqrt{3},\) y el volumen es \begin{equation*} V=\left( 9-\sqrt{3}\right) \left( 9-\sqrt{3}\right) \left( 9+2\sqrt{3} \right) =648+6\sqrt{3}\approx 658.39. \end{equation*}

  4. Encuentra los puntos que están en la intersección del paraboloide \(x^{2}+y^{2}+z=9\) y el plano \(x+y=3\) tales que el cuadrado de su distancia al origen sea mínima o máxima. (Geogebra La2r-4)

    Solución:

    Consideramos el cuadrado de la distancia de un punto \(\left( x,y,z\right) \) al origen, o sea, la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{equation*} y las dos restricciones \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+z-9=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x+y-3=0. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 2x & = & 2x\lambda +\mu \notag \\ 2y & = & 2y\lambda +\mu \notag \\ 2z & = & \lambda \label{Lagrange2r2} \\ x^{2}+y^{2}+z & = & 9 \notag \\ x+y & = & 3. \notag \end{eqnarray} Despejamos \(\mu \) de las dos primeras ecuaciones \begin{eqnarray*} \mu & = & 2x\left( 1-\lambda \right) \\ \mu & = & 2y\left( 1-\lambda \right) , \end{eqnarray*} así \begin{eqnarray*} 2x\left( 1-\lambda \right) & = & 2y\left( 1-\lambda \right) \\ 2\left( x-y\right) \left( 1-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=y \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =1. \end{equation*}

    En resumen, las soluciones del sistema (\ref{Lagrange2r2}) son \begin{equation*} \begin{array}{lllll} x=\dfrac{3}{2} & y=\dfrac{3}{2} & z=\dfrac{9}{2} & \lambda =9 & \mu =-24 \\ & & & & \\ x=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} & y=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} & z=\dfrac{1}{2} & \lambda =1 & \mu =0 \\ & & & & \\ x=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} & y=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2}, & z=\dfrac{1}{2} & \lambda =1 & \mu =0 \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las tres soluciones antes encontradas. Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi \left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g_{1}\left( x,y,z\right) -\mu g_{2}\left( x,y,z\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}+z-9\right) -\mu \left( x+y-3\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 2x-2\lambda x-\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y-2\lambda y-\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 2z-\lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2 \end{eqnarray*} y las derivadas de segundo orden mixtas, todas son iguales a cero.

    Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2x & 2y & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 2x & 1 & 2-2\lambda & 0 & 0 \\ 2y & 1 & 0 & 2-2\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right\vert =8x^{2}-16xy+8y^{2}-4\lambda +4 \end{equation*} y lo evaluamos en las soluciones del sistema

  5. \label{Prob5} Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{3}-4y-z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \(z=x^{2}+y^{2}\) con \( x^{2}+2y=z.\) (Geogebra La2r-5)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{3}-4y-z^{2}. \end{equation*}

    Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}-z \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+2y-z \end{eqnarray*} las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}-z=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+2y-z=0. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 3x^{2} & = & 2x\lambda +2x\mu \notag \\ -4 & = & 2y\lambda +2\mu \notag \\ -2z & = & -\lambda -\mu \label{ec5} \\ x^{2}+y^{2} & = & z \notag \\ x^{2}+2y & = & z. \notag \end{eqnarray} Consideramos las dos últimas ecuaciones \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & z \\ x^{2}+2y & = & z \end{eqnarray*} y restamos la segunda de la primera \begin{equation*} y^{2}-2y=0, \end{equation*} de donde \begin{equation*} y\left( y-2\right) =0 \end{equation*} así \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y-2=0. \end{equation*}

    En resumen, las soluciones del sistema (\ref{ec5}) son: \begin{equation*} \begin{array}{lllll} x=0 & y=0 & z=0 & \lambda =2 & \mu =-2 \\ & & & & \\ x=\dfrac{3}{4} & y=0 & z=\dfrac{9}{16} & \lambda =\dfrac{25}{8} & \mu =-2 \\ & & & & \\ x=0 & y=2 & z=4 & \lambda =-10 & \mu =18. \end{array} \end{equation*}

    Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & -1 \\ 2x & 2 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

    tiene rango \(2\), donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las tres soluciones antes encontradas.

    Consideramos ahora la función \begin{equation*} \varphi =x^{3}-4y-z^{2}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}-z\right) -\mu \left( x^{2}+2y-z\right) . \end{equation*} Las derivadas de primer orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} & = & 3x^{2}-2\lambda x-2\mu x \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y} & = & -4-2\lambda y-2\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z} & = & -2z+\lambda +\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}} & = & 6x-2\lambda -2\mu \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}} & = & -2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}} & = & -2 \end{eqnarray*} y todas las mixtas son cero.

    Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2x & 2y & -1 \\ 0 & 0 & 2x & 2 & -1 \\ 2x & 2x & 6x-2\lambda -2\mu & 0 & 0 \\ 2y & 2 & 0 & -2\lambda & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right\vert \end{equation*}

    Evaluamos el determinante hessiano limitado en cada solución \(x,\) \(y,\) \( z,\) \(\lambda ,\) \(\mu .\)

  6. \label{Prob6}Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{4}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del hiperboloide de una hoja \( x^{2}+y^{2}-16=z^{2}\) con el paraboloide \(16-x^{2}-y^{2}=z.\) (Geogebra La2r-6)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{4}+z^{2}. \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}-z^{2}-16=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 16-x^{2}-y^{2}-z=0. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 4x^{3} & = & 2x\lambda -2x\mu \notag \\ 0 & = & 2y\lambda -2y\mu \notag \\ 2z & = & -2z\lambda -\mu \label{ecu6} \\ x^{2}+y^{2}-z^{2}-16 & = & 0 \notag \\ 16-x^{2}-y^{2} & = & z. \notag \end{eqnarray} Sustituyendo en la cuarta ecuación de (\ref{ecu6}), el valor de \(z\) de la quinta ecuación tenemos \begin{eqnarray*} -z^{2}-z & = & 0 \\ -z\left( z+1\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation} z=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad z=-1. \label{5z=0,1} \end{equation} Cuando \(z=0,\) la intersección de las dos cuádricas es el círculo en el plano \(XY,\) \(x^{2}+y^{2}=16,\) con centro en el origen y radio \( 4. \)

    Cuando \(z=-1,\) la intersección de las dos cuádricas es el círculo en el plano paralelo al plano \(XY\) a la altura \(-1,\) \(x^{2}+y^{2}=17\) con centro en el origen y radio \(\sqrt{17}.\)

    En resumen, todas las soluciones del sistema (\ref{ecu6}) son \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=4 & & y=0 & & z=0 & & \lambda =32 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=-4 & & y=0 & & z=0 & & \lambda =32 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=-4 & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=4 & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=-\sqrt{17} & & y=0 & & z=-1 & & \lambda =-36 & & \mu =-70 \\ & & & & & & & & \\ x=\sqrt{17} & & y=0 & & z=-1 & & \lambda =-36 & & \mu =-70 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=\sqrt{17} & & z=-1 & & \lambda =-2 & & \mu =-2 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=-\sqrt{17} & & z=-1 & & \lambda =-2 & & \mu =-2. \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & -2z \\ -2x & -2y & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las ocho soluciones antes encontradas. Consideramos ahora la función \begin{equation*} \varphi =x^{4}+z^{2}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}-z^{2}-16\right) -\mu \left( 16-x^{2}-y^{2}-z\right) . \end{equation*} Las derivadas de primer orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} & = & 4x^{3}-2x\lambda +2x\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y} & = & -2y\lambda +2y\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z} & = & 2z+2z\lambda +\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}} & = & 12x^{2}-2\lambda +2\mu \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}} & = & -2\lambda +2\mu \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}} & = & 2+2\lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas mixtas son todas cero.

    Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2x & & 2y & & -2z \\ 0 & & 0 & & -2x & & -2y & & -1 \\ 2x & & -2x & & 12x^{2}-2\lambda +2\mu & & 0 & & 0 \\ 2y & & -2y & & 0 & & -2\lambda +2\mu & & 0 \\ -2z & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\lambda \end{array} \right\vert \end{equation*} Evaluamos el determinante hessiano limitado en cada solución \(x,\) \(y,\) \( z,\) \(\lambda ,\) \(\mu .\)

  7. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}} \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\) (Geogebra La2r-7)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}. \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 0 & = & 2x\lambda +6\mu \notag \\ 0 & = & 2y\lambda \notag \\ \dfrac{z}{\left( 1-z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} & = & x\lambda +2\mu \label{ecu7} \\ x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} De la segunda ecuación de (\ref{ecu7}), es decir, \begin{equation*} 0=2y\lambda \end{equation*} tenemos \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =0. \end{equation*}

    Las únicas soluciones son las de (a): \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=\dfrac{4}{3} & & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3} & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=\dfrac{4}{3} & & y=\dfrac{\sqrt{2}}{3} & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu = 0. \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & x \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

    tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las dos soluciones antes encontradas.

    Consideramos ahora la función \begin{equation*} \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}+zx-2\right) -\mu \left( 6x+2z-8\right) . \end{equation*} Las derivadas de primer orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} & = & -2x\lambda -\lambda z-6\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y} & = & -2y\lambda \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z} & = & \dfrac{z}{\left( 1-z^{2}\right) ^{ \frac{3}{2}}}-\lambda x-2\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}} & = & -2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}} & = & -2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}} & = & \dfrac{2z^{2}+1}{\left( 1-z^{2}\right) ^{\frac{5}{2}}}. \end{eqnarray*} Las derivadas mixtas \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial x} & = & 0=\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y} \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z\partial x} & = & -\lambda =\dfrac{ \partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z} \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z} & = & 0=\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z\partial y}. \end{eqnarray*} Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2x & & 2y & & x \\ 0 & & 0 & & 6 & & 0 & & 2 \\ 2x & & 6 & & -2\lambda & & 0 & & -\lambda \\ 2y & & 0 & & 0 & & -2\lambda & & 0 \\ x & & 2 & & 0 & & -\lambda & & \dfrac{2z^{2}+1}{\left( 1-z^{2}\right) ^{ \frac{5}{2}}} \end{array} \right\vert \end{equation*} Evaluamos el determinante hessiano limitado en cada solución \(x,\) \(y,\) \( z,\) \(\lambda ,\) \(\mu .\)
  8. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =6x^{2}+y^{2}+2z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =6x^{2}+y^{2}+2z^{2}. \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 12x & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \notag \\ 2y & = & 2y\lambda \notag \\ 4z & = & x\lambda +2\mu \label{ecu8} \\ x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} De la segunda ecuación de (\ref{ecu8}), es decir, \begin{eqnarray*} 2y & = & 2y\lambda \\ 2y\left( 1-\lambda \right) & = & 0 \end{eqnarray*} tenemos \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =1. \end{equation*}

    En resumen, las soluciones del sistema (\ref{ecu8}) son: \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=1 & & y=0 & & z=1 & & \lambda =4-2\mu & & \\ x=1 & & y=0 & & z=1 & & \lambda =1 & & \mu =\dfrac{3}{2}. \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x+z & 2y & x \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

    tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las soluciones antes encontradas.

    En cualquier caso \(x=1,\) \(y=0,\) \(z=1\) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{equation*} como el segundo renglón es múltiplo del primero, entonces son linealmente dependientes y \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) \) no tiene rango dos, por lo que el criterio del hessiano limitado no puede aplicarse.

    Vamos a analizar si hay algún valor extremo de la función en \(\left( 1,0,1\right) .\) Consideramos las restricciones: \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8=0. \end{eqnarray*} Resolvemos el sistema \begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \label{ecu8b} \\ 6x+2z-8 & = & 0 \notag \end{eqnarray} despejamos \(z\) de ambas ecuaciones suponiendo que \(x\neq 0\) e igualamos los valores obtenidos \begin{eqnarray*} \dfrac{2-x^{2}-y^{2}}{x} & = & 4-3x \\ 2-x^{2}-y^{2}-\left( 4x-3x^{2}\right) & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2}+2 & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2} & = & -2 \\ 2\left( x^{2}-2x+1\right) -y^{2} & = & -2+2 \\ 2\left( x-1\right) ^{2} & = & y^{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=\sqrt{2}\left( x-1\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=- \sqrt{2}\left( x-1\right) . \end{equation*} Los puntos que satisfacen ambas restricciones son de la forma \begin{equation*} \left( x,\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( x,-\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) . \end{equation*} Para \(x=0\):

    Sustituyendo en la primera ecuación de (\ref{ecu8b}) \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \\ y^{2}-2 & = & 0 \\ y & = & \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*} y sustituyendo en la segunda \begin{eqnarray*} 6x+2z-8 & = & 0 \\ z & = & 4, \end{eqnarray*} las soluciones son: \((0,\pm \sqrt{2},4),\) que podemos incluir en las anteriores tomando \(x=0.\)

    Evaluamos la función \(f\left( x,y,z\right) =6x^{2}+y^{2}+2z^{2}\) en \( \left( 1,0,1\right) \) \begin{equation*} f\left( 1,0,1\right) =6+2=8 \end{equation*} observamos que \begin{eqnarray*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & = & 6x^{2}+2\left( x-1\right) ^{2}+2\left( 4-3x\right) ^{2} \\ & = & 26x^{2}-52x+34 \\ & = & 2\left( 13x^{2}-26x+17\right) \\ & = & 2\left( 13\left( x^{2}-2x+1\right) +17-13\right) \\ & = & 2\left( 13\left( x-1\right) ^{2}+4\right) \\ & = & 26\left( x-1\right) ^{2}+8 \\ &\geq & 8 \end{eqnarray*} de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo absoluto estricto en \(\left( 1,0,1\right) .\)

    Observación: Si consideramos la función \(f\left( x,y,z\right) =-6x^{2}-y^{2}-2z^{2}\) sobre la curva de intersección de \( x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8,\) ésta tiene un máximo absoluto en \( \left( 1,0,1\right) .\)

  9. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) . \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 3\left( x-1\right) ^{2}+9 & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \notag \\ 0 & = & 2y\lambda \notag \\ 3 & = & x\lambda +2\mu \label{ecu9} \\ x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} De la segunda ecuación de (\ref{ecu9}), es decir, \begin{equation*} 0=2y\lambda \end{equation*} tenemos \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =0. \end{equation*}

    En resumen, las soluciones del sistema (\ref{ecu9}) son: \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=1 & & y=0 & & z=1 & & \lambda =3-2\mu & & \\ x=1 & & y=0 & & z=1 & & \lambda =0 & & \mu =\dfrac{3}{2}. \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x+z & 2y & x \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las soluciones antes encontradas.

    En cualquier caso \(x=1, \ y=0, \ z=1\) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{equation*} como el segundo renglón es múltiplo del primero, entonces son linealmente dependientes y \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) \) no tiene rango dos, por lo que el criterio del hessiano limitado no puede aplicarse.

    Vamos a analizar si hay algún valor extremo de la función en \(\left( 1,0,1\right) .\) Consideramos las restricciones: \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8=0 \end{eqnarray*} Resolvemos el sistema \begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \label{ecu9b} \\ 6x+2z-8 & = & 0. \notag \end{eqnarray} despejamos \(z\) de ambas ecuaciones suponiendo que \(x\neq 0\) e igualamos los valores obtenidos \begin{eqnarray*} \dfrac{2-x^{2}-y^{2}}{x} & = & 4-3x \\ 2-x^{2}-y^{2}-\left( 4x-3x^{2}\right) & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2}+2 & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2} & = & -2 \\ 2\left( x^{2}-2x+1\right) -y^{2} & = & -2+2 \\ 2\left( x-1\right) ^{2} & = & y^{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=\sqrt{2}\left( x-1\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=- \sqrt{2}\left( x-1\right) . \end{equation*} Los puntos que satisfacen ambas restricciones son de la forma \begin{equation*} \left( x,\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( x,-\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) . \end{equation*} Para \(x=0\):

    Sustituyendo en la primera ecuación de (\ref{ecu9b}) \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \\ y^{2}-2 & = & 0 \\ y & = & \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*} y sustituyendo en la segunda \begin{eqnarray*} 6x+2z-8 & = & 0 \\ z & = & 4, \end{eqnarray*} las soluciones son: \((0,\pm \sqrt{2},4),\) que podemos incluir en las anteriores tomando \(x=0.\)

    Consideramos cualquier bola con centro en el punto \(\left( 1,0,1\right) \) y radio \(\varepsilon ,\) es decir, \(B_{\varepsilon }\left( 1,0,1\right) .\) Podemos suponer que \(\varepsilon < 1.\) Si \(\left( x,y,z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 1,0,1\right) ,\) y satisface las restricciones, entonces \(\left( x,y,z\right) \) es de la forma \(\left( x,\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \) o \(\left( x,-\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) .\)

    Evaluamos la función \(f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) \) en \(\left( 1,0,1\right) \) \begin{equation*} f\left( 1,0,1\right) =0 \end{equation*} observamos que \begin{eqnarray*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & = & \left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( 4-3x-1\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( 3-3x\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) -9\left( x-1\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{3}. \end{eqnarray*} Como \(\left\vert x-1\right\vert < 1,\) entonces \(x\in \left( 0,2\right) .\) Si

    \begin{eqnarray*} x &<&1 \\ x-1 &<&0 \\ \left( x-1\right) ^{3} & < &0 \\ f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) &<&f\left( 1,0,1\right) \end{eqnarray*}

    si \begin{eqnarray*} x & > & 1 \\ x-1 & > & 0 \\ \left( x-1\right) ^{3} & > & 0 \\ f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & > & f\left( 1,0,1\right) \end{eqnarray*} de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un punto silla en \( \left( 1,0,1\right) .\)

  10. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8}y^{2}+\dfrac{1}{6}z \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8}y^{2}+\dfrac{1}{6}z. \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}x & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \notag \\ \dfrac{1}{4}y & = & 2y\lambda \notag \\ \frac{1}{6} & = & x\lambda +2\mu \label{ecu10} \\ x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} De la última ecuación tenemos \begin{equation*} z=4-3x \end{equation*} sustituyendo este valor en la cuarta \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \\ x^{2}+y^{2}+\left( 4-3x\right) x & = & 2 \\ -2x^{2}+4x+y^{2} & = & 2, \end{eqnarray*} sustituyendo \(z\) en la primera \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 2x\lambda +\lambda \left( 4-3x\right) +6\mu \\ \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda +6\mu -x\lambda . \end{eqnarray*} Despejamos \(\mu \) de la tercera ecuación del sistema \begin{eqnarray*} \frac{1}{6} & = & x\lambda +2\mu \\ \mu & = & \dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2}x\lambda \end{eqnarray*} y sustituimos este valor en la primera ecuación de (\ref{ecu10}) \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda +6\mu -x\lambda \\ \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda +6\left( \dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2}x\lambda \right) -x\lambda \\ \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda -4x\lambda +\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*} despejamos \(x\) \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda -4x\lambda +\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}x+4x\lambda & = & 4\lambda +\dfrac{1}{2} \\ x & = & \dfrac{4\lambda +\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+4\lambda } \qquad \text{si } \lambda \neq -\dfrac{1}{8} \\ x & = & 1 \qquad \text{si }\lambda \neq -\dfrac{1}{8}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} z=4-3\left( 1\right) =1. \end{equation*} De la segunda ecuación de (\ref{ecu10}) tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{4}y & = & 2\lambda y \\ \dfrac{1}{8}y & = & \lambda y \\ y\left( \dfrac{1}{8}-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{8}. \end{equation*}

    Evaluamos la función \(f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8 }y^{2}+\dfrac{1}{6}z\) en \(\left( 1,0,1\right) \) \begin{equation*} f\left( 1,0,1\right) =\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12} \end{equation*} observamos que \begin{eqnarray*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & = & \dfrac{1}{4}x^{2}+ \dfrac{1}{8}\left( \pm \sqrt{2}\left( x-1\right) \right) ^{2}+\dfrac{1}{6} \left( 4-3x\right) \\ & = & \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{2}{8}\left( x-1\right) ^{2}+\dfrac{4}{6}-\dfrac{1 }{2}x \\ & = & \dfrac{1}{2}x^{2}-x+\dfrac{11}{12} \\ & = & \dfrac{1}{2}\left( x^{2}-2x\right) +\dfrac{11}{12} \\ & = & \dfrac{1}{2}\left( x^{2}-2x+1\right) +\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{2} \\ & = & \dfrac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+\dfrac{5}{12}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} \dfrac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+\dfrac{5}{12}\geq \dfrac{5}{12}, \end{equation*} es decir \begin{equation*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \geq f\left( 1,0,1\right) . \end{equation*} Por tanto, en cualquiera de los puntos encontrados, la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo absoluto estricto.
  11. Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =z \end{equation*} sobre la intersección de \(z^{3}-x^{2}=0\) con \(z^{3}-y^{2}=0.\)

    Solución:

    La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =z. \end{equation*} Las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & z^{3}-x^{2}=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & z^{3}-y^{2}=0. \end{eqnarray*} La intersección de estas superficies es \begin{equation*} S=\left\{ \left. \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\,\right\vert \,z^{3}-x^{2}=0 \quad \text{y} \quad z^{3}-y^{2}=0\right\} . \end{equation*} Si \(\left( x,y,z\right) \in S\) entonces \begin{equation*} z^{3}-x^{2}=z^{3}-y^{2}, \end{equation*} de donde, \begin{equation*} x^{2}=y^{2} \end{equation*} así, \begin{equation*} y=x \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=-x. \end{equation*} Entonces los puntos \begin{equation*} \left( x,y,z\right) =\left( x,x,\sqrt[3]{x^{2}}\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( x,y,z\right) =\left( x,-x,\sqrt[3]{x^{2}} \right) . \end{equation*} están en la intersección.

    Recíprocamente, si \(\left( x,y,z\right) \) es de alguno de estos dos tipos entonces \(\left( x,y,z\right) \in S.\) Así, \begin{equation*} S=\left\{ \left. \left( x,x,\sqrt[3]{x^{2}}\right) \right\vert \,x\in \mathbb{R}\right\} \bigcup \left\{ \left. \left( x,-x,\sqrt[3]{x^{2}}\right) \right\vert \,x\in \mathbb{R}\right\} . \end{equation*} Entonces, \(\left( 0,0,0\right) \in S\) y \begin{eqnarray*} f\left( x,x,\sqrt[3]{x^{2}}\right) & = & \sqrt[3]{x^{2}}>0=f\left( 0,0,0\right) \text{ si }x\neq 0 \\ f\left( x,-x,\sqrt[3]{x^{2}}\right) & = & \sqrt[3]{x^{2}}>0=f\left( 0,0,0\right) \text{ si }x\neq 0. \end{eqnarray*} Por tanto, \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo absoluto estricto en \(\left( 0,0,0\right) .\) No hay ningún otro punto mínimo ni máximo.

    El punto \(\left( 0,0,0\right) \) no se obtiene como candidato para que \(\left. f\right\vert _{S}\) tenga en él un valor extremo a través del método de Lagrange, como ahora veremos.

    Tenemos que resolver el sistema \begin{eqnarray*} \nabla f & = & \lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \\ z^{3}-x^{2} & = & 0 \\ z^{3}-y^{2} & = & 0, \end{eqnarray*} es decir, \begin{eqnarray} 0 & = & -2x\lambda \notag \\ 0 & = & -2y\mu \notag \\ 1 & = & 3z^{2}\lambda +3z^{2}\mu =3\left( \lambda +\mu \right) z^{2} \label{ecu11m} \\ z^{3}-x^{2} & = & 0 \notag \\ z^{3}-y^{2} & = & 0. \notag \end{eqnarray} De la primera ecuación tenemos \begin{equation*} x\lambda =0, \end{equation*} de donde, \begin{equation*} x=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =0. \end{equation*}

    Por tanto, el sistema de Lagrange no tiene solución (\ref{ecu11m}). Observamos que no se cumple que los gradientes de \(g_{1}\left( x,y,z\right) \) y \(g_{2}\left( x,y,z\right) \) en \(\left( 0,0,0\right) \) sean linealmente independientes, ya que \begin{eqnarray*} \nabla g_{1}\left( x,y,z\right) & = & \left( -2x,0,3z^{2}\right) ; \quad \quad \quad \nabla g_{1}\left( 0,0,0\right) =\left( 0,0,0\right) \\ \nabla g_{2}\left( x,y,z\right) & = & \left( 0,-2y,3z^{2}\right) ; \quad \quad \quad \nabla g_{2}\left( 0,0,0\right) =\left( 0,0,0\right) . \end{eqnarray*} En los problemas 9 y 11 obtuvimos puntos que eran parte de las soluciones del sistema lagrangiano y en los que los gradientes de las restricciones no son linealmente independientes. En el primer problema, la función tiene un punto silla en el punto en cuestión y en el segundo la función tiene un mínimo absoluto. O sea, cuando los gradientes de las restricciones no son linealmente independientes en un punto que es parte de la solución del sistema lineal lagrangiano, entonces no podemos afirmar qué sucede en dicho punto. Esto prueba que la condición de la independencia lineal de los gradientes de las restricciones es una hipótesis esencial en el teorema del Hessiano limitado.

    En el último problema, hay un punto donde se alcanza un valor mínimo absoluto en el que los gradientes de las restricciones no son linealmente independientes y que no es solución del sistema lineal lagrangiano.

    Esto prueba que la condición de la independencia lineal de los gradientes de las restricciones es una hipótesis esencial en el teorema de Lagrange