Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
Ejemplo 7
Hallar los puntos máximos y mínimos de la función
\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}
\end{equation*}
sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)
(Geogebra La2r-7)
Solución:
La función es
\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}.
\end{equation*}
Definimos
\begin{eqnarray*}
g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\
g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8.
\end{eqnarray*}
Tenemos que resolver el sistema
\begin{equation*}
\nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2},
\end{equation*}
es decir,
\begin{eqnarray}
0 & = & 2x\lambda +6\mu \notag \\
0 & = & 2y\lambda \notag \\
\dfrac{z}{\left( 1-z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} & = & x\lambda +2\mu
\label{ecu7} \\
x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\
6x+2z & = & 8. \notag
\end{eqnarray}
De la segunda ecuación de (\ref{ecu7}), es decir,
\begin{equation*}
0=2y\lambda
\end{equation*}
tenemos
\begin{equation*}
y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =0.
\end{equation*}
(a) Si \(\lambda =0,\) sustituyendo este valor en la primera ecuación
de (\ref{ecu7}), obtenemos
\begin{eqnarray*}
0 & = & 2x\lambda +6\mu \\
0 & = & \mu ,
\end{eqnarray*}
de donde la tercera ecuación es
\begin{eqnarray*}
\dfrac{z}{\left( 1-z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} & = & x\lambda +2\mu \\
\dfrac{z}{\left( 1-z^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} & = & 0 \\
z & = & 0.
\end{eqnarray*}
Ahora este valor de \(z\) lo sustituimos en la quinta ecuación de (\ref
{ecu7})
\begin{eqnarray*}
6x+2z & = & 8 \\
x & = & \dfrac{4}{3}.
\end{eqnarray*}
Y sustituyendo el valor de \(x=\dfrac{4}{3}\) y \(z=0\) en la cuarta ecuación
de (\ref{ecu7})
\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \\
\dfrac{16}{9}+y^{2} & = & 2 \\
y^{2} & = & 2-\dfrac{16}{9} \\
y^{2} & = & \dfrac{2}{9},
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3} \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=\dfrac{
\sqrt{2}}{3}.
\end{equation*}
Así, unas soluciones del sistema son
\begin{equation*}
\begin{array}{lllll}
x=\dfrac{4}{3} & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3} & z=0 & \lambda =0 & \mu =0 \\
& & & & \\
x=\dfrac{4}{3} & y=\dfrac{\sqrt{2}}{3} & z=0 & \lambda =0 & \mu =0.
\end{array}
\end{equation*}
[(b)] Si \(y=0,\) consideramos las dos últimas ecuaciones
\begin{eqnarray}
x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\
6x+2z & = & 8 \notag
\end{eqnarray}
y sustituimos \(y=0\) en la primera:
\begin{equation}
x^{2}+zx=2 \notag
\end{equation}
Despejamos \(z\) de la segunda
\begin{equation*}
z=4-3x
\end{equation*}
y sustituimos en la primera, obteniendo
\begin{eqnarray*}
x^{2}+\left( 4-3x\right) x & = & 2 \\
4x-2x^{2} & = & 2 \\
x^{2}-2x+1 & = & 0 \\
\left( x-1\right) ^{2} & = & 0 \\
x & = & 1,
\end{eqnarray*}
de donde \(z=1,\) pero en este caso, la tercera ecuación de (\ref{ecu7})
no tiene sentido, pues el denominador es 0, por consiguiente el caso (b) no
aporta soluciones del sistema.
