Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 9

Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Solución:

La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) . \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 3\left( x-1\right) ^{2}+9 & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \notag \\ 0 & = & 2y\lambda \notag \\ 3 & = & x\lambda +2\mu \label{ecu9} \\ x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} De la segunda ecuación de (\ref{ecu9}), es decir, \begin{equation*} 0=2y\lambda \end{equation*} tenemos \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =0. \end{equation*}

(a) Si \(\lambda =0,\) sustituyendo este valor en la tercera ecuación de (\ref{ecu9}) \begin{eqnarray*} 3 & = & 2\mu \\ \mu & = & \dfrac{3}{2} \end{eqnarray*} y sustituyendo \(\lambda \) y \(\mu \) en la primera ecuación de (\ref{ecu9}) \begin{eqnarray*} 3\left( x-1\right) ^{2}+9 & = & 6\left( \dfrac{3}{2}\right) \\ 3\left( x-1\right) ^{2} & = & 0 \\ x & = & 1. \end{eqnarray*} Sustituimos \(x=1\) en la última ecuación de (\ref{ecu9}) \begin{eqnarray*} 6+2z & = & 8 \\ z & = & 1. \end{eqnarray*} Sustituyendo los valores \(x=1\) y \(z=1\) en la cuarta ecuación de (\ref {ecu9}) \begin{eqnarray*} 1+y^{2}+1 & = & 2 \\ y & = & 0. \end{eqnarray*} Así, una solución del sistema (\ref{ecu9}) es \begin{equation*} x=1, \quad \quad y=0, \quad \quad z=1, \quad \quad \lambda = 0, \quad \quad \mu = \dfrac{3}{2}. \end{equation*}
(b) Si \(y=0,\) consideramos las dos últimas ecuaciones \begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8 \notag \end{eqnarray} y sustituimos \(y=0\) en la primera: \begin{eqnarray} x^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} Despejamos \(z\) de la segunda \begin{equation*} z=4-3x \end{equation*} y sustituimos en la primera, obteniendo \begin{eqnarray*} x^{2}+\left( 4-3x\right) x & = & 2 \\ 4x-2x^{2} & = & 2 \\ x^{2}-2x+1 & = & 0 \\ \left( x-1\right) ^{2} & = & 0 \\ x & = & 1, \end{eqnarray*} de donde \(z=1\). Sustituyendo \(x=1\) y \(z=1\) en la primera y tercera ecuaciones de (\ref{ecu9}), tenemos \begin{eqnarray*} 9 & = & 2\lambda +\lambda +6\mu \\ 3 & = & \lambda +2\mu . \end{eqnarray*} Dividiendo entre \(3\) la primera tenemos \begin{equation*} 3=\lambda +2\mu , \end{equation*} de donde \begin{equation*} \lambda =3-2\mu . \end{equation*} Así, la siguiente también es una solución del sistema (\ref {ecu9}) \begin{equation*} x=1, \quad y=0, \quad z=1, \quad \lambda = 3-2\mu . \end{equation*}

En resumen, las soluciones del sistema (\ref{ecu9}) son: \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=1 & & y=0 & & z=1 & & \lambda =3-2\mu & & \\ x=1 & & y=0 & & z=1 & & \lambda =0 & & \mu =\dfrac{3}{2}. \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x+z & 2y & x \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las soluciones antes encontradas.

En cualquier caso \(x=1, \ y=0, \ z=1\) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{equation*} como el segundo renglón es múltiplo del primero, entonces son linealmente dependientes y \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) \) no tiene rango dos, por lo que el criterio del hessiano limitado no puede aplicarse.

Vamos a analizar si hay algún valor extremo de la función en \(\left( 1,0,1\right) .\) Consideramos las restricciones: \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8=0 \end{eqnarray*} Resolvemos el sistema \begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \label{ecu9b} \\ 6x+2z-8 & = & 0. \notag \end{eqnarray} despejamos \(z\) de ambas ecuaciones suponiendo que \(x\neq 0\) e igualamos los valores obtenidos \begin{eqnarray*} \dfrac{2-x^{2}-y^{2}}{x} & = & 4-3x \\ 2-x^{2}-y^{2}-\left( 4x-3x^{2}\right) & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2}+2 & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2} & = & -2 \\ 2\left( x^{2}-2x+1\right) -y^{2} & = & -2+2 \\ 2\left( x-1\right) ^{2} & = & y^{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=\sqrt{2}\left( x-1\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=- \sqrt{2}\left( x-1\right) . \end{equation*} Los puntos que satisfacen ambas restricciones son de la forma \begin{equation*} \left( x,\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( x,-\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) . \end{equation*} Para \(x=0\):

Sustituyendo en la primera ecuación de (\ref{ecu9b}) \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \\ y^{2}-2 & = & 0 \\ y & = & \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*} y sustituyendo en la segunda \begin{eqnarray*} 6x+2z-8 & = & 0 \\ z & = & 4, \end{eqnarray*} las soluciones son: \((0,\pm \sqrt{2},4),\) que podemos incluir en las anteriores tomando \(x=0.\)

Consideramos cualquier bola con centro en el punto \(\left( 1,0,1\right) \) y radio \(\varepsilon ,\) es decir, \(B_{\varepsilon }\left( 1,0,1\right) .\) Podemos suponer que \(\varepsilon < 1.\) Si \(\left( x,y,z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 1,0,1\right) ,\) y satisface las restricciones, entonces \(\left( x,y,z\right) \) es de la forma \(\left( x,\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \) o \(\left( x,-\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) .\)

Evaluamos la función \(f\left( x,y,z\right) =\left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( z-1\right) \) en \(\left( 1,0,1\right) \) \begin{equation*} f\left( 1,0,1\right) =0 \end{equation*} observamos que \begin{eqnarray*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & = & \left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( 4-3x-1\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) +3\left( 3-3x\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{3}+9\left( x-1\right) -9\left( x-1\right) \\ & = & \left( x-1\right) ^{3}. \end{eqnarray*} Como \(\left\vert x-1\right\vert < 1,\) entonces \(x\in \left( 0,2\right) .\) Si

\begin{eqnarray*} x &<&1 \\ x-1 &<&0 \\ \left( x-1\right) ^{3} & < &0 \\ f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) &<&f\left( 1,0,1\right) \end{eqnarray*}

si \begin{eqnarray*} x & > & 1 \\ x-1 & > & 0 \\ \left( x-1\right) ^{3} & > & 0 \\ f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & > & f\left( 1,0,1\right) \end{eqnarray*} de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un punto silla en \( \left( 1,0,1\right) .\)