Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 4

Encuentra los puntos que están en la intersección del paraboloide \(x^{2}+y^{2}+z=9\) y el plano \(x+y=3\) tales que el cuadrado de su distancia al origen sea mínima o máxima.

Solución:

Consideramos el cuadrado de la distancia de un punto \(\left( x,y,z\right) \) al origen, o sea, la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{equation*} y las dos restricciones \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+z-9=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x+y-3=0. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 2x & = & 2x\lambda +\mu \notag \\ 2y & = & 2y\lambda +\mu \notag \\ 2z & = & \lambda \label{Lagrange2r2}\tag{1} \\ x^{2}+y^{2}+z & = & 9 \notag \\ x+y & = & 3. \notag \end{eqnarray} Despejamos \(\mu \) de las dos primeras ecuaciones \begin{eqnarray*} \mu & = & 2x\left( 1-\lambda \right) \\ \mu & = & 2y\left( 1-\lambda \right) , \end{eqnarray*} así \begin{eqnarray*} 2x\left( 1-\lambda \right) & = & 2y\left( 1-\lambda \right) \\ 2\left( x-y\right) \left( 1-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=y \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =1. \end{equation*}

(a) Si \(x=y\) entonces sustituyendo en la quinta ecuación de (\ref {Lagrange2r2}) tenemos \begin{eqnarray*} 2x & = & 3 \\ x & = & \dfrac{3}{2} \end{eqnarray*} así \begin{equation*} x=\dfrac{3}{2}=y \end{equation*} y sustituyendo estos valores en la cuarta ecuación de (\ref{Lagrange2r2}) \begin{eqnarray*} \left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}+z & = & 9 \\ z & = & \dfrac{9}{2}. \end{eqnarray*} Como \(\lambda =2z,\) entonces \begin{equation*} \lambda =2\left( \dfrac{9}{2}\right) =9 \end{equation*} y \(\mu =2x\left( 1-\lambda \right) \) \begin{equation*} \mu =2\left( \dfrac{3}{2}\right) \left( 1-9\right) =-24. \end{equation*}
(b) Si \(\lambda =1,\) entonces como \(2z=\lambda \) \begin{equation*} z=\dfrac{1}{2}. \end{equation*} Sustituyendo este valor en la cuarta ecuación de (\ref{Lagrange2r2}) \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & 9-\dfrac{1}{2} \\ x^{2}+y^{2} & = & \dfrac{17}{2}. \end{eqnarray*} Con esta ecuación y la quinta de (\ref{Lagrange2r2}) tenemos el sistema \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & \dfrac{17}{2} \\ x+y & = & 3. \end{eqnarray*} Despejamos \(y\) de la segunda ecuación \begin{equation*} y=3-x \end{equation*} y lo sustituimos en la primera \begin{equation*} x^{2}+\left( 3-x\right) ^{2}=\dfrac{17}{2}, \end{equation*} de donde \begin{eqnarray*} x^{2}+9-6x+x^{2} & = & \dfrac{17}{2} \\ 2x^{2}-6x+9-\dfrac{17}{2} & = & 0 \\ 2x^{2}-6x+\dfrac{1}{2} & = & 0 \\ x^{2}-3x+\dfrac{1}{4} & = & 0 \\ x & = & \dfrac{3\pm \sqrt{9-4\left( \dfrac{1}{4}\right) }}{2} \\ & = & \dfrac{3\pm \sqrt{8}}{2} \\ & = & \dfrac{3}{2}\pm \sqrt{2}. \end{eqnarray*}
- Si \(x=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\) entonces \begin{equation*} y=3-\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\right) =\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} \end{equation*} y \begin{equation*} \mu =2\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\right) \left( 1-1\right) =0. \end{equation*}
- Si \(x=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\) entonces \begin{equation*} y=3-\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right) =\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} \end{equation*} y \begin{equation*} \mu =2\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right) \left( 1-1\right) =0. \end{equation*}

En resumen, las soluciones del sistema (\ref{Lagrange2r2}) son \begin{equation*} \begin{array}{lllll} x=\dfrac{3}{2} & y=\dfrac{3}{2} & z=\dfrac{9}{2} & \lambda =9 & \mu =-24 \\ & & & & \\ x=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} & y=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} & z=\dfrac{1}{2} & \lambda =1 & \mu =0 \\ & & & & \\ x=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} & y=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2}, & z=\dfrac{1}{2} & \lambda =1 & \mu =0 \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las tres soluciones antes encontradas.

En \(\overline{v}_{0}=\left( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2} \right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right\vert =-1\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{ 9}{2}\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} ,\dfrac{1}{2}\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} ,\dfrac{1}{2}\right) =\left( \begin{array}{ccc} 3+2\sqrt{2} & 3-2\sqrt{2} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 3+2\sqrt{2} & 3-2\sqrt{2} \\ 1 & 1 \end{array} \right\vert =4\sqrt{2}\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{3}{2 }-\sqrt{2},\dfrac{1}{2}\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} ,\dfrac{1}{2}\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} ,\dfrac{1}{2}\right) =\left( \begin{array}{ccc} 3-2\sqrt{2} & 3+2\sqrt{2} & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 3-2\sqrt{2} & 3+2\sqrt{2} \\ 1 & 1 \end{array} \right\vert =-4\sqrt{2}\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{3}{2 }+\sqrt{2},\dfrac{1}{2}\right) \) tiene rango dos.

Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi \left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g_{1}\left( x,y,z\right) -\mu g_{2}\left( x,y,z\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}+z-9\right) -\mu \left( x+y-3\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 2x-2\lambda x-\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y-2\lambda y-\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 2z-\lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2 \end{eqnarray*} y las derivadas de segundo orden mixtas, todas son iguales a cero.

Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2x & 2y & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 2x & 1 & 2-2\lambda & 0 & 0 \\ 2y & 1 & 0 & 2-2\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right\vert =8x^{2}-16xy+8y^{2}-4\lambda +4 \end{equation*} y lo evaluamos en las soluciones del sistema

Si \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} x=\dfrac{3}{2} & y=\dfrac{3}{2} & z=\dfrac{9}{2} & \lambda =9 & \mu =-24 \end{array} \end{equation*} tenemos \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2}\right) \right\vert =8\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-16\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}+8\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-4\left( 9\right) +4=-32 < 0. \end{equation*}
Por tanto, hay un máximo relativo estricto en \(\left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2}\right) .\)
En el punto \(\left( \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2}\right) ,\) el cuadrado de la distancia al origen es \begin{equation*} \left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{9}{2}\right) ^{2}=\dfrac{99}{4}=24.75. \end{equation*}
Si \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} x=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} & y=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} & z=\dfrac{1}{2} & \lambda =1 & \mu =0 \end{array} \end{equation*}
tenemos
\( \begin{array}{l} \left\vert \overline{L}\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{3}{2}-\sqrt{2}, \dfrac{1}{2}\right) \right\vert = \\ \\ =8\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\right) ^{2}-16\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2} \right) \left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right) +8\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2} \right) ^{2}-4\left( 1\right) +4 \\ \\ =64>0. \end{array} \)
Por tanto, hay un mínimo relativo estricto en \(\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{ 2},\dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{1}{2}\right) .\)
En el punto \(\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{1}{2} \right) \) el cuadrado de la distancia al origen es \begin{equation*} \left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{2}=\dfrac{35}{4}=8.75. \end{equation*}
Si \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} x=\dfrac{3}{2}-\sqrt{2} & y=\dfrac{3}{2}+\sqrt{2} & z=\dfrac{1}{2} & \lambda =1 & \mu =0 \end{array} \end{equation*} tenemos \( \begin{array}{l} \left\vert \overline{L}\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{3}{2}+\sqrt{2}, \dfrac{1}{2}\right) \right\vert = \\ \\ =8\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right) ^{2}-16\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2} \right) \left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\right) +8\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2} \right) ^{2}-4\left( 1\right) +4 \\ \\ = 64 > 0. \end{array} \)
Por tanto, hay un mínimo relativo estricto en \(\left( \dfrac{3}{2}- \sqrt{2},\dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{1}{2}\right) .\)
En el punto \(\left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2},\dfrac{3}{2}+\sqrt{2},\dfrac{1}{2} \right) \) el cuadrado de la distancia al origen es \begin{equation*} \left( \dfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{3}{2}+\sqrt{2}\right) ^{2}+\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{2}=\dfrac{35}{4}=8.75. \end{equation*}

La siguiente imágen muestran las dos restricciones, el paraboloide y el plano, cuya intersección es una parábola y los tres puntos de interés \( \left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{9}{2} \right) \), \( \left( \frac{3}{2}+\sqrt{2},\frac{3}{2}-\sqrt{2},\frac{1}{2} \right) \), \( \left( \frac{3}{2}-\sqrt{2},\frac{3}{2}+\sqrt{2},\frac{1}{2} \right) \)