Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 5

Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{3}-4y-z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del paraboloide \(z=x^{2}+y^{2}\) con \( x^{2}+2y=z.\)

Solución:

La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{3}-4y-z^{2}. \end{equation*}

Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}-z \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+2y-z \end{eqnarray*} las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}-z=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+2y-z=0. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 3x^{2} & = & 2x\lambda +2x\mu \notag \\ -4 & = & 2y\lambda +2\mu \notag \\ -2z & = & -\lambda -\mu \label{ec5} \tag{1} \\ x^{2}+y^{2} & = & z \notag \\ x^{2}+2y & = & z. \notag \end{eqnarray} Consideramos las dos últimas ecuaciones \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & z \\ x^{2}+2y & = & z \end{eqnarray*} y restamos la segunda de la primera \begin{equation*} y^{2}-2y=0, \end{equation*} de donde \begin{equation*} y\left( y-2\right) =0 \end{equation*} así \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y-2=0. \end{equation*}

(a) Si \(y=0,\) entonces sustituyendo este valor en la segunda ecuación de (\ref{ec5}) \begin{eqnarray*} -4 & = & 2\left( 0\right) \lambda +2\mu \\ -2 & = & \mu . \end{eqnarray*} Ahora sustituimos este valor de \(\mu \) en la primera ecuación de (\ref {ec5}) \begin{eqnarray*} 3x^{2} & = & 2x\lambda +2x\left( -2\right) \\ 3x^{2}-2x\lambda +4x & = & 0 \\ x\left( 3x-2\lambda +4\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} x=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad 3x-2\lambda +4=0. \end{equation*}
- Si \(x=0,\) entonces como \(y=0,\) tenemos que \(z=0,\) pues \(x^{2}+y^{2}=z.\)
  Sustituyendo \(z=0\) y \(\mu =-2\) en la tercera ecuación de (\ref{ec5}), tenemos \begin{eqnarray*} 0 & = & -\lambda +2 \\ \lambda & = & 2. \end{eqnarray*} Así, tenemos \(x=0,\) \(y=0,\) \(z=0,\) \(\lambda =2\) y \(\mu =-2.\)
- Si \(3x-2\lambda +4=0,\) entonces \begin{equation*} x=\dfrac{2\lambda -4}{3}. \end{equation*} Al sustituir \(y=0\) y \(x=\dfrac{2\lambda -4}{3}\) en la cuarta ecuación de (\ref{ec5}), tenemos \begin{equation} \left( \dfrac{2\lambda -4}{3}\right) ^{2}=z. \label{5z} \end{equation} Despejando \(z\) de la tercera ecuación de (\ref{ec5}) \begin{equation*} z=\dfrac{\lambda +\mu }{2} \end{equation*} y sustituyendo \(\mu =-2\) tenemos \begin{equation*} z=\dfrac{\lambda -2}{2}, \end{equation*} Por (\ref{5z}) tenemos \begin{eqnarray*} \left( \dfrac{2\lambda -4}{3}\right) ^{2} & = & \dfrac{\lambda -2}{2} \\ 2\left( 4\lambda ^{2}-16\lambda +16\right) & = & 9\lambda -18 \\ 8\lambda ^{2}-32\lambda +32-9\lambda +18 & = & 0 \\ 8\lambda ^{2}-41\lambda +50 & = & 0 \\ \lambda & = & \dfrac{41\pm \sqrt{41^{2}-4\left( 8\right) \left( 50\right) }}{16} \\ & = & \dfrac{41\pm \sqrt{81}}{16} \\ & = & \dfrac{41\pm 9}{16}, \end{eqnarray*} así \begin{equation*} \lambda =\dfrac{41-9}{16}=2 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =\dfrac{41+9}{16}=\dfrac{25}{8}. \end{equation*}
- Si \(\lambda =2,\) entonces \begin{equation*} x=\dfrac{2\left( 2\right) -4}{3}=0 \end{equation*} de donde tenemos \(x=0,\) \(y=0,\) \(z=0,\) \(\lambda =2\) y \(\mu =-2. \)
- Si \(\lambda = \dfrac{5}{8},\) entonces \begin{equation*} x=\dfrac{2\left( \dfrac{25}{8}\right) -4}{3}=\dfrac{3}{4} \end{equation*} y \begin{equation*} z=\left( \dfrac{3}{4}\right) ^{2}=\dfrac{9}{16}, \end{equation*} de donde, \(x=\dfrac{3}{4},\) \(y=0,\) \(z=\dfrac{9}{16},\) \(\lambda =\dfrac{25}{8} ,\) y \(\mu =-2.\)
(b) Si \(y=2,\) entonces la última ecuación de (\ref{ec5}) es \begin{equation*} x^{2}+4=z, \end{equation*} de donde \begin{equation*} x^{2}=z-4 \end{equation*} y sustituyendo en la primera tenemos \begin{eqnarray*} 3x^{2} & = & 2x\lambda +2x\mu \\ 3\left( z-4\right) & = & 2\sqrt{z-4}\left( \lambda +\mu \right) \end{eqnarray*} ahora consideramos la tercera ecuación de (\ref{ec5}) tenemos \begin{equation*} -2z=-\lambda -\mu \end{equation*} y sustituyendo \begin{equation*} \lambda +\mu =2z \end{equation*} tenemos \begin{equation*} 3\left( z-4\right) =2\sqrt{z-4}\left( 2z\right) . \end{equation*} Elevando al cuadrado \begin{equation*} 9\left( z-4\right) ^{2}=16z^{2}\left( z-4\right) . \end{equation*}
- Si \(z\neq 4,\) entonces \begin{equation*} 9\left( z-4\right) =16z^{2}, \end{equation*} de donde \begin{eqnarray*} 16z^{2}-9z+36 & = & 0 \\ z & = & \dfrac{9\pm \sqrt{81-4\left( 16\right) \left( 36\right) }}{32} \end{eqnarray*}
  en cuyo caso no hay solución ya que el discriminante es \(-2223 < 0\) y este caso no aporta soluciones al sistema (\ref{ec5}).
- Si \(z=4,\) entonces \(x=0\) y sabíamos que \(y=2\) \begin{eqnarray*} -4 & = & 2\left( 2\right) \lambda +2\mu \\ -2\left( 4\right) & = & -\lambda -\mu , \end{eqnarray*} es decir, \begin{eqnarray*} -2 & = & 2\lambda +\mu \\ 8 & = & \lambda +\mu , \end{eqnarray*} de donde \(\lambda =-10,\) \(\mu =18.\) Entonces tenemos \(x=0,\) \(y=2,\) \(z=4,\) \(\lambda =-10,\) \(\mu =18.\)

En resumen, las soluciones del sistema (\ref{ec5}) son: \begin{equation*} \begin{array}{lllll} x=0 & y=0 & z=0 & \lambda =2 & \mu =-2 \\ & & & & \\ x=\dfrac{3}{4} & y=0 & z=\dfrac{9}{16} & \lambda =\dfrac{25}{8} & \mu =-2 \\ & & & & \\ x=0 & y=2 & z=4 & \lambda =-10 & \mu =18. \end{array} \end{equation*}

Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & -1 \\ 2x & 2 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

tiene rango \(2\), donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las tres soluciones antes encontradas.

Si \(\overline{v}_{0}=\left( 0,0,0\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,0,0\right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right\vert =2\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,0,0\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( \dfrac{3}{4},0,\dfrac{9}{16}\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{4},0,\dfrac{9}{16}\right) =\left( \begin{array}{ccc} \dfrac{3}{2} & 0 & -1 \\ & & \\ \dfrac{3}{2} & 2 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} \dfrac{3}{2} & 0 \\ & \\ \dfrac{3}{2} & 2 \end{array} \right\vert =3\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \dfrac{3}{4},0,\dfrac{9}{16} \right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( 0,2,4\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,2,4\right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 4 & -1 \\ 2 & -1 \end{array} \right\vert =-2\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,2,4\right) \) tiene rango dos.

Consideramos ahora la función \begin{equation*} \varphi =x^{3}-4y-z^{2}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}-z\right) -\mu \left( x^{2}+2y-z\right) . \end{equation*} Las derivadas de primer orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} & = & 3x^{2}-2\lambda x-2\mu x \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y} & = & -4-2\lambda y-2\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z} & = & -2z+\lambda +\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}} & = & 6x-2\lambda -2\mu \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}} & = & -2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}} & = & -2 \end{eqnarray*} y todas las mixtas son cero.

Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2x & 2y & -1 \\ 0 & 0 & 2x & 2 & -1 \\ 2x & 2x & 6x-2\lambda -2\mu & 0 & 0 \\ 2y & 2 & 0 & -2\lambda & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right\vert \end{equation*}

Evaluamos el determinante hessiano limitado en cada solución \(x,\) \(y,\) \( z,\) \(\lambda ,\) \(\mu .\)

En \(x=0,\) \(y=0,\) \(z=0,\) \(\lambda =2,\) \(\mu =-2\) \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( 0,0,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -4 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right\vert =0 \end{equation*} entonces el criterio no da información.
Para ver qué tipo de punto es el origen con relación a la función \(f\) consideramos cualquier bola con centro en el origen y radio \( \varepsilon ,\) es decir, \(B_{\varepsilon }\left( 0,0,0\right) .\)
La función evaluada en el origen es \begin{equation*} f\left( 0,0,0\right) =0 \end{equation*}
y consideramos cualquier punto de la forma \(\left( x,0,x^{2}\right) \) y observamos que satisface las dos restricciones: \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & z \\ x^{2}+2y & = & z. \end{eqnarray*} Elegimos \(x\) de tal manera que \(\left( x,0,x^{2}\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,0,0\right) ,\) de donde \begin{equation*} f\left( x,0,x^{2}\right) =x^{3}-x^{4}. \end{equation*}
Si elegimos \(0 < x < 1\) entonces
\begin{equation*} f\left( x,0,x^{2}\right) =x^{3}-x^{4}>0. \end{equation*}
Tomando \(x < 0\) se tiene que \(x^{3}<0\) y \(x^{4} > 0,\) de donde \(x^{3} < x^{4}\) y entonces
\begin{equation*} f\left( x,0,x^{2}\right) =x^{3}-x^{4} < 0. \end{equation*}
Así, la función sujeta a las condiciones determinadas por \(g_{1}\) y \(g_{2}\) tiene un punto silla en el origen.
En \(x=\dfrac{3}{4},\) \(y=0,\) \(z=\dfrac{9}{16},\) \(\lambda =\dfrac{25}{8} , \) \(\mu =-2\) \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( \dfrac{3}{4},0,\dfrac{9}{16}\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2\left( \dfrac{3}{4}\right) & 0 & -1 \\ & & & & \\ 0 & 0 & 2\left( \dfrac{3}{4}\right) & 2 & -1 \\ & & & & \\ 2\left( \dfrac{3}{4}\right) & 2\left( \dfrac{3}{4}\right) & 6\left( \dfrac{3 }{4}\right) -2\left( \dfrac{25}{8}\right) +4 & 0 & 0 \\ & & & & \\ 0 & 2 & 0 & -2\left( \dfrac{25}{8}\right) & 0 \\ & & & & \\ -1 & -1 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right\vert = -9 < 0 \end{equation*}
así \(f\) tiene un máximo relativo estricto en \(\left( \dfrac{3}{4},0, \dfrac{9}{16}\right) .\)
En \(x=0, \ y=2, \ z=4, \ \lambda =-10, \ \mu =18\) \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( 0,2,4\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0+20-36 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & 20 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right\vert =-64 < 0 \end{equation*}
así \(f\) tiene un máximo relativo estricto en \(\left( 0,2,4\right) .\)

La siguiente imágen muestran las dos restricciones, el paraboloide y el cilindro parabólico, cuya intersección es dos parábolas y los tres puntos de interés \( \left( 0,0,0 \right) \), \( \left( \frac{3}{4},0,\frac{9}{16} \right) \), \( \left( 0,2,4 \right) \)