Máximos y mínimos
Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables
Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos
Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)
\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM
Ejemplo 3
Un prisma rectangular tiene una superficie total de \(468\) cm\(^{2}\) y
la suma de las longitudes de sus aristas es \(108\) cm. Encuentra el prisma
con volumen máximo y el de volumen mínimo. (Geogebra La2r-3)
Solución:
Si \(a,\) \(b\) y \(c\) son las aristas de un prisma, entonces el volumen es
\begin{equation*}
V=abc.
\end{equation*}
Tenemos dos condiciones. La superficie total es
\begin{equation*}
2ab+2ac+2bc=468
\end{equation*}
y la suma de las longitudes de las aristas es
\begin{equation*}
4a+4b+4c=108.
\end{equation*}
Las condiciones las podemos escribir como
\begin{eqnarray*}
ab+ac+bc & = & 234 \\
a+b+c & = & 27.
\end{eqnarray*}
Definamos
\begin{eqnarray*}
f\left( a,b,c\right) & = & abc \\
g_{1}\left( a,b,c\right) & = & ab+ac+bc-234 \\
g_{2}\left( a,b,c\right) & = & a+b+c-27.
\end{eqnarray*}
Las restricciones son entonces
\begin{eqnarray*}
g_{1}\left( a,b,c\right) & = & 0 \\
g_{2}\left( a,b,c\right) & = & 0.
\end{eqnarray*}
Tenemos que resolver el sistema
\begin{equation*}
\nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2},
\end{equation*}
es decir,
\begin{eqnarray}
bc & = & \lambda \left( b+c\right) +\mu \notag \\
ac & = & \lambda \left( a+c\right) +\mu \notag \\
ab & = & \lambda \left( a+b\right) +\mu \label{Lagrange2r1}\tag{1} \\
ab+ac+bc & = & 234 \notag \\
a+b+c & = & 27. \notag
\end{eqnarray}
Al despejar \(\mu \) de las dos primeras ecuaciones de (\ref{Lagrange2r1}),
obtenemos
\begin{eqnarray*}
bc-\lambda \left( b+c\right) & = & ac-\lambda \left( a+c\right) \\
bc-b\lambda -c\lambda & = & ac-a\lambda -c\lambda \\
bc-b\lambda & = & ac-a\lambda \\
b\left( c-\lambda \right) & = & a\left( c-\lambda \right) \\
b\left( c-\lambda \right) -a\left( c-\lambda \right) & = & 0 \\
\left( a-b\right) \left( c-\lambda \right) & = & 0,
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
a=b \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad c = \lambda .
\end{equation*}
(a) Si \(a=b,\) sustituyendo en la quinta ecuación de (\ref
{Lagrange2r1})
\begin{eqnarray*}
2a+c & = & 27 \\
c & = & 27-2a.
\end{eqnarray*}
Sustituimos \(a=b\) y este valor de \(c\) en la cuarta ecuación de (\ref
{Lagrange2r1})
\begin{eqnarray*}
a^{2}+a\left( 27-2a\right) +a\left( 27-2a\right) & = & 234 \\
a^{2}+2a\left( 27-2a\right) & = & 234 \\
a^{2}+54a-4a^{2} & = & 234 \\
-3a^{2}+54a-234 & = & 0 \\
a^{2}-18a+78 & = & 0 \\
a & = & \dfrac{18\pm \sqrt{18^{2}-4\left( 78\right) }}{2} \\
& = & \dfrac{18\pm \sqrt{12}}{2} \\
& = & 9\pm \sqrt{3}
\end{eqnarray*}
así
\begin{equation*}
a=9+\sqrt{3} \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad a=9-\sqrt{3}.
\end{equation*}
Si \(a=9+\sqrt{3},\) entonces como \(b=a,\) tenemos
\begin{eqnarray*}
a & = & 9+\sqrt{3}=b \\
c & = & 27-2a=27-2\left( 9+\sqrt{3}\right) =9-2\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
de manera que, considerando la primera y tercera ecuaciones de (\ref
{Lagrange2r1})
\begin{eqnarray*}
bc & = & \lambda \left( b+c\right) +\mu \\
ab & = & \lambda \left( a+b\right) +\mu ,
\end{eqnarray*}
sustituyendo los valores de \(a,\) \(b\) y \(c\) tenemos
\begin{eqnarray*}
\left( 9+\sqrt{3}\right) \left( 9-2\sqrt{3}\right) & = & \lambda \left( 9+\sqrt{
3}+9-2\sqrt{3}\right) +\mu \\
\left( 9+\sqrt{3}\right) ^{2} & = & \lambda \left( 9+\sqrt{3}+9+\sqrt{3}\right)
+\mu ,
\end{eqnarray*}
es decir,
\begin{eqnarray*}
75-9\sqrt{3} & = & \lambda \left( 18-\sqrt{3}\right) +\mu \\
18\sqrt{3}+84 & = & \lambda \left( 2\sqrt{3}+18\right) +\mu .
\end{eqnarray*}
Despejamos \(\mu \) de la primera ecuación
\begin{equation*}
\mu =75-9\sqrt{3}-\lambda \left( 18-\sqrt{3}\right)
\end{equation*}
y la sustituimos en la segunda
\begin{eqnarray*}
18\sqrt{3}+84 & = & \lambda \left( 2\sqrt{3}+18\right) +75-9\sqrt{3}-\lambda
\left( 18-\sqrt{3}\right) \\
18\sqrt{3}+84-75+9\sqrt{3} & = & \lambda \left( 2\sqrt{3}+18-18+\sqrt{3}\right)
\\
\dfrac{27\sqrt{3}+9}{3\sqrt{3}} & = & \lambda \\
\sqrt{3}+9 & = & \lambda ,
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{eqnarray*}
\mu & = & 75-9\sqrt{3}-\left( \sqrt{3}+9\right) \left( 18-\sqrt{3}\right) \\
& = & -18\sqrt{3}-84.
\end{eqnarray*}
En este caso, \(a=9+\sqrt{3}=b=\lambda ,\) \(c=9-2\sqrt{3}\) y \(\mu =-18\sqrt{3}
-84.\)
Si \(a=9-\sqrt{3},\) entonces \(b=9-\sqrt{3},\) de donde
\begin{eqnarray*}
a & = & 9-\sqrt{3}=b \\
c & = & 27-2a=27-2\left( 9-\sqrt{3}\right) =9+2\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
de manera que, considerando la primera y tercera ecuaciones de (\ref
{Lagrange2r1})
\begin{eqnarray*}
bc & = & \lambda \left( b+c\right) +\mu \\
ab & = & \lambda \left( a+b\right) +\mu
\end{eqnarray*}
sustituyendo los valores de \(a,\) \(b\) y \(c\) tenemos
\begin{eqnarray*}
\left( 9-\sqrt{3}\right) \left( 9+2\sqrt{3}\right) & = & \lambda \left( 9-\sqrt{
3}+9+2\sqrt{3}\right) +\mu \\
\left( 9-\sqrt{3}\right) ^{2} & = & \lambda \left( 9-\sqrt{3}+9-\sqrt{3}\right)
+\mu ,
\end{eqnarray*}
es decir,
\begin{eqnarray*}
9\sqrt{3}+75 & = & \lambda \left( \sqrt{3}+18\right) +\mu \\
84-18\sqrt{3} & = & \lambda \left( 18-2\sqrt{3}\right) +\mu .
\end{eqnarray*}
Despejamos \(\mu \) de la primera
\begin{equation*}
\mu =9\sqrt{3}+75-\lambda \left( \sqrt{3}+18\right)
\end{equation*}
y la sustituimos en la segunda
\begin{eqnarray*}
84-18\sqrt{3} & = & \lambda \left( 18-2\sqrt{3}\right) +9\sqrt{3}+75-\lambda
\left( \sqrt{3}+18\right) \\
84-18\sqrt{3}-9\sqrt{3}-75 & = & \lambda \left( 18-2\sqrt{3}-\sqrt{3}-18\right)
\\
9-27\sqrt{3} & = & \lambda \left( -3\sqrt{3}\right) \\
\dfrac{9-27\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}} & = & \lambda \\
9-\sqrt{3} & = & \lambda ,
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{eqnarray*}
\mu & = & 9\sqrt{3}+75-\left( 9-\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{3}+18\right) \\
& = & 18\sqrt{3}-84.
\end{eqnarray*}
En este caso tenemos \(a=9-\sqrt{3}=b=\lambda ,\) \(c=9+2\sqrt{3}\) y \(\mu =18
\sqrt{3}-84.\)
(b) Si \(c=\lambda ,\) entonces de la segunda ecuación de (\ref
{Lagrange2r1})
\begin{equation*}
ac=\lambda \left( a+c\right) +\mu
\end{equation*}
tenemos
\begin{eqnarray*}
ac & = & c\left( a+c\right) +\mu \\
0 & = & c^{2}+\mu ,
\end{eqnarray*}
de donde,
\begin{equation*}
\mu =-c^{2}.
\end{equation*}
Sustituimos \(c=\lambda \) y este valor de \(\mu \) en la tercera ecuación
de (\ref{Lagrange2r1})
\begin{equation*}
ab=\lambda \left( a+b\right) +\mu ,
\end{equation*}
es decir,
\begin{eqnarray*}
ab & = & c\left( a+b\right) -c^{2} \\
c^{2}-c\left( a+b\right) +ab & = & 0
\end{eqnarray*}
así,
\begin{equation*}
c=\dfrac{\left( a+b\right) \pm \sqrt{\left( a+b\right) ^{2}-4ab}}{2}=\dfrac{
\left( a+b\right) \pm \left\vert a-b\right\vert }{2},
\end{equation*}
entonces tenemos cuatro valores
\begin{eqnarray*}
c & = & \dfrac{a+b+a-b}{2}=a \\
c & = & \dfrac{a+b-\left( a-b\right) }{2}=b \\
c & = & \dfrac{a+b+\left( -a+b\right) }{2}=b \\
c & = & \dfrac{a+b-\left( -a+b\right) }{2}=a
\end{eqnarray*}
así
\begin{equation*}
c=a=\lambda \quad \quad \quad \text{y}´\quad \quad \quad \mu =-c^{2}
\end{equation*}
o
\begin{equation*}
c=b=\lambda \quad \quad \quad \text{y} \quad \quad \quad \mu =-c^{2}.
\end{equation*}
Consideramos ahora el primer caso, es decir, \(c=a=\lambda \) y \(\mu =-c^{2}.\)
Sustituimos \(c=a\) en la quinta ecuación de (\ref{Lagrange2r1})
\begin{equation*}
a+b+c=27,
\end{equation*}
entonces
\begin{equation*}
b=27-2c
\end{equation*}
y sustituimos \(c=a\) y este valor en la cuarta ecuación de (\ref
{Lagrange2r1})
\begin{equation*}
ab+ac+bc=234,
\end{equation*}
es decir,
\begin{eqnarray*}
c\left( 27-2c\right) +c^{2}+\left( 27-2c\right) c & = & 234 \\
54c-3c^{2} & = & 234 \\
18c-c^{2} & = & 78 \\
c^{2}-18c+78 & = & 0 \\
c & = & \dfrac{18\pm \sqrt{18^{2}-4\left( 78\right) }}{2} \\
& = & \dfrac{18\pm 2\sqrt{3}}{2} \\
& = & 9\pm \sqrt{3},
\end{eqnarray*}
de donde
\begin{equation*}
c = 9+\sqrt{3} \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad c = 9-\sqrt{3}
\end{equation*}
así
\(c=a=\lambda =9+\sqrt{3}\),
\begin{equation*}
b=27-2\left( 9+\sqrt{3}\right) =9-2\sqrt{3} \quad \quad \text{y} \quad \quad
\mu =-\left( 9+\sqrt{3}\right) ^{2}=-84-18\sqrt{3}.
\end{equation*}
\(c=a=\lambda =9-\sqrt{3}\),
\begin{equation*}
b=27-2\left( 9-\sqrt{3}\right) =9+2\sqrt{3} \quad \quad \text{y} \quad \quad
\mu =-\left( 9-\sqrt{3}\right) ^{2}=-84+18\sqrt{3}.
\end{equation*}
Análogamente si \(c=b=\lambda \) y \(\mu =-c^{2},\) tenemos
\(c=b=\lambda =9+\sqrt{3}\),
\begin{equation*}
a=27-2\left( 9+\sqrt{3}\right) =9-2\sqrt{3} \quad \quad \text{y} \quad \quad
\mu =-\left( 9+\sqrt{3}\right) ^{2}=-84-18\sqrt{3}.
\end{equation*}
\(c=b=\lambda =9-\sqrt{3}\),
\begin{equation*}
a=27-2\left( 9-\sqrt{3}\right) =9+2\sqrt{3} \quad \quad \text{y} \quad \quad
\mu =-\left( 9-\sqrt{3}\right) ^{2}=-84+18\sqrt{3}.
\end{equation*}
En resumen, las soluciones del sistema son
\begin{equation*}
\begin{array}{lllll}
a=b=\lambda =9+\sqrt{3}, & & c=9-2\sqrt{3}, & & \mu =-84-18\sqrt{3}, \\
& & & & \\
a=b=\lambda =9-\sqrt{3}, & & c=9+2\sqrt{3}, & & \mu =-84+18\sqrt{3}, \\
& & & & \\
a=c=\lambda =9+\sqrt{3}, & & b=9-2\sqrt{3}, & & \mu =-84-18\sqrt{3}, \\
& & & & \\
a=c=\lambda =9-\sqrt{3}, & & b=9+2\sqrt{3}, & & \mu =-84+18\sqrt{3}, \\
& & & & \\
b=c=\lambda =9+\sqrt{3}, & & a=9-2\sqrt{3}, & & \mu =-84-18\sqrt{3}, \\
& & & & \\
b=c=\lambda =9-\sqrt{3}, & & a=9+2\sqrt{3}, & & \mu =-84+18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
Veamos si
\begin{eqnarray*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left(
\begin{array}{ccccc}
\dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{
\partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{
\partial g}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\
& & & & \\
\dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{
\partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{
\partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right)
\end{array}
\right) \\
& & \\
& = & \left(
\begin{array}{ccc}
b+c & a+c & a+b \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( a,b,c\right) \) es alguna de
las 6 soluciones antes encontradas.
En \(\overline{v}_{0}=\left( 9+\sqrt{3},9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3}\right) \)
\begin{equation*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9+\sqrt{3},9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3}\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
18-\sqrt{3} & 18-\sqrt{3} & 18+2\sqrt{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
como
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
18-\sqrt{3} & 18+2\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =-3\sqrt{3}\neq 0,
\end{equation*}
entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9+\sqrt{3},9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3}
\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( 9-\sqrt{3},9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3}\right) \)
\begin{equation*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9-\sqrt{3},9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3}\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
18+\sqrt{3} & 18+\sqrt{3} & 18-2\sqrt{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
como
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
18+\sqrt{3} & 18-2\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =3\sqrt{3}\neq 0,
\end{equation*}
entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9-\sqrt{3},9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3}
\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( 9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3}\right) \)
\begin{equation*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3}\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
18-\sqrt{3} & 18+2\sqrt{3} & 18-\sqrt{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
como
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
18-\sqrt{3} & 18+2\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =-3\sqrt{3}\neq 0,
\end{equation*}
entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3}
\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( 9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3}\right) \)
\begin{equation*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3}\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
18+\sqrt{3} & 18-2\sqrt{3} & 18+\sqrt{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
como
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
18+\sqrt{3} & 18-2\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =3\sqrt{3}\neq 0,
\end{equation*}
entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3}
\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( 9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3},9+\sqrt{3}\right) \)
\begin{equation*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3},9+\sqrt{3}\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
18+2\sqrt{3} & 18-\sqrt{3} & 18-\sqrt{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
como
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
18+2\sqrt{3} & 18-\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =3\sqrt{3}\neq 0,
\end{equation*}
entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3},9+\sqrt{3}
\right) \) tiene rango dos.
En \(\overline{v}_{0}=\left( 9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3},9-\sqrt{3}\right) \)
\begin{equation*}
D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3},9-\sqrt{3}\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
18-2\sqrt{3} & 18+\sqrt{3} & 18+\sqrt{3} \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation*}
como
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{cc}
18-2\sqrt{3} & 18+\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array}
\right\vert =-3\sqrt{3}\neq 0,
\end{equation*}
entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3},9-\sqrt{3}
\right) \)tiene rango dos.
Consideramos ahora la función
\begin{eqnarray*}
\varphi & = & f-\lambda g_{1}-\mu g_{2} \\
& = & abc-\lambda \left( ab+ac+bc-234\right) -\mu \left( a+b+c-27\right) .
\end{eqnarray*}
Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial \varphi }{\partial a} & = & bc-\lambda \left( b+c\right) -\mu \\
\dfrac{\partial \varphi }{\partial b} & = & ac-\lambda \left( a+c\right) -\mu \\
\dfrac{\partial \varphi }{\partial c} & = & ab-\lambda \left( a+b\right) -\mu .
\end{eqnarray*}
Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son
\begin{equation*}
\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{
\partial b^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}c}=0
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial b\partial a} & = & c-\lambda =\dfrac{
\partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial b} \\
\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial c\partial a} & = & b-\lambda =\dfrac{
\partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial c} \\
\dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial c\partial b} & = & a-\lambda =\dfrac{
\partial ^{2}\varphi }{\partial b\partial c}.
\end{eqnarray*}
Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones
\begin{equation*}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccccccccc}
0 & & 0 & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial a} & & \dfrac{\partial g_{1}}{
\partial b} & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial c} \\
& & & & & & & & \\
0 & & 0 & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial a} & & \dfrac{\partial g_{2}}{
\partial b} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial c} \\
& & & & & & & & \\
\dfrac{\partial g_{1}}{\partial a} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial a} &
& \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a^{2}} & & \dfrac{\partial
^{2}\varphi }{\partial b\partial a} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{
\partial c\partial a} \\
& & & & & & & & \\
\dfrac{\partial g_{1}}{\partial b} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial b} &
& \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial b} & & \dfrac{\partial
^{2}\varphi }{\partial b^{2}} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial
c\partial b} \\
& & & & & & & & \\
\dfrac{\partial g_{1}}{\partial c} & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial c} &
& \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial a\partial c} & & \dfrac{\partial
^{2}\varphi }{\partial b\partial c} & & \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{
\partial ^{2}c}
\end{array}
\right\vert
\end{equation*}
que en este caso es
\begin{equation*}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =\left\vert
\begin{array}{ccccccccc}
0 & & 0 & & b+c & & a+c & & a+b \\
0 & & 0 & & 1 & & 1 & & 1 \\
b+c & & 1 & & 0 & & c-\lambda & & b-\lambda \\
a+c & & 1 & & c-\lambda & & 0 & & a-\lambda \\
a+b & & 1 & & b-\lambda & & a-\lambda & & 0
\end{array}
\right\vert
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
& = & -2a^{3}+2a^{2}b+2a^{2}c+2\lambda a^{2}+2ab^{2}-6abc-2\lambda
ab+2ac^{2}-2\lambda ac-2b^{3}+2b^{2}c+2\lambda b^{2}+ \\
& & +2bc^{2}-2\lambda bc-2c^{3}+2\lambda c^{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
& = & -2\left( -ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}-a^{2}c-bc^{2}-b^{2}c-a^{2}\lambda
-b^{2}\lambda -c^{2}\lambda +a^{3}+b^{3}+c^{3}+ab\lambda +ac\lambda +\right.
\\
& & \left. +bc\lambda +3abc\right) .
\end{eqnarray*}
Evaluamos el determinante hessiano limitado en las soluciones del sistema
Si
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
a=b=\lambda =9+\sqrt{3} & c=9-2\sqrt{3} & \mu =-84-18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
tenemos
\(
\begin{array}{l}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert = \\
\\
=-2\left(
-a^{3}-a^{3}-ac^{2}-a^{2}c-ac^{2}-a^{2}c-a^{3}-a^{3}-c^{2}a+a^{3}+a^{3}+c^{3}+a^{3}+a^{2}c+a^{2}c+3a^{2}c\right)
\\
\\
=2\left( a-c\right) ^{3},
\end{array}
\)
de donde
\begin{equation*}
2\left( a-c\right) ^{3}=2\left( 9+\sqrt{3}-\left( 9-2\sqrt{3}\right) \right)
^{3}=2\left( 3\sqrt{3}\right) ^{3}>0
\end{equation*}
por lo que, hay un mínimo relativo estricto en \(\left( 9+\sqrt{3},9+
\sqrt{3},9-2\sqrt{3}\right) .\)
Si
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
a=b=\lambda =9-\sqrt{3} & c=9+2\sqrt{3} & \mu =-84+18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
tenemos
\begin{equation*}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =2\left( a-c\right)
^{3}=2\left( 9-\sqrt{3}-\left( 9+2\sqrt{3}\right) \right) ^{3}=2\left( -3
\sqrt{3}\right) ^{3} < 0
\end{equation*}
por lo que, hay un máximo relativo estricto en \(\left( 9-\sqrt{3},9-
\sqrt{3},9+2\sqrt{3}\right) .\)
Si
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
a=c=\lambda =9+\sqrt{3} & b=9-2\sqrt{3} & \mu =-84-18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
tenemos
\(
\begin{array}{l}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert = \\
\\
=-2\left(
-ab^{2}-a^{2}b-a^{3}-a^{3}-ba^{2}-b^{2}a-a^{3}-b^{2}a-a^{3}+a^{3}+b^{3}+a^{3}+a^{2}b+a^{3}+a^{2}b+3a^{2}b\right)
\\
\\
=2\left( a-b\right) ^{3}
\end{array}
\)
de donde,
\begin{equation*}
2\left( a-b\right) ^{3}=2\left( 9+\sqrt{3}-\left( 9-2\sqrt{3}\right) \right)
^{3}=2\left( 3\sqrt{3}\right) ^{3}>0
\end{equation*}
por lo que, hay un mínimo relativo estricto en \(\left( 9+\sqrt{3},9-2
\sqrt{3},9+\sqrt{3}\right) .\)
Si
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
a=c=\lambda =9-\sqrt{3} & b=9+2\sqrt{3} & \mu =-84+18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
tenemos
\begin{equation*}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =2\left( a-b\right)
^{3}=2\left( 9-\sqrt{3}-\left( 9+2\sqrt{3}\right) \right) ^{3}=2\left( -3
\sqrt{3}\right) ^{3} < 0
\end{equation*}
por lo que, hay un máximo relativo estricto en \(\left( 9-\sqrt{3},9+2
\sqrt{3},9-\sqrt{3}\right) .\)
Si
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
b=c=\lambda =9+\sqrt{3} & a=9-2\sqrt{3} & \mu =-84-18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
tenemos
\(
\begin{array}{l}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert = \\
=-2\left(
-ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-a^{2}b-b^{3}-b^{3}-a^{2}b-b^{3}-b^{3}+a^{3}+b^{3}+b^{3}+ab^{2}+ab^{2}+b^{3}+3ab^{2}\right)
\\
=2\left( b-a\right) ^{3}
\end{array}
\)
de donde,
\begin{equation*}
2\left( b-a\right) ^{3}=2\left( 9+\sqrt{3}-\left( 9-2\sqrt{3}\right) \right)
^{3}=2\left( 3\sqrt{3}\right) ^{3}>0
\end{equation*}
por lo que, hay un mínimo relativo estricto en \(\left( 9-2\sqrt{3},9+
\sqrt{3},9+\sqrt{3}\right) .\)
Si
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc}
b=c=\lambda =9-\sqrt{3} & a=9+2\sqrt{3} & \mu =-84+18\sqrt{3}
\end{array}
\end{equation*}
tenemos
\begin{equation*}
\left\vert \overline{L}\left( a,b,c\right) \right\vert =2\left( b-a\right)
^{3}=2\left( 9-\sqrt{3}-\left( 9+2\sqrt{3}\right) \right) ^{3}=2\left( -3
\sqrt{3}\right) ^{3} < 0
\end{equation*}
por lo que, hay un máximo relativo estricto en \(\left( 9+2\sqrt{3},9-
\sqrt{3},9-\sqrt{3}\right) .\)
Por lo tanto, hay un mínimo relativo estricto cuando dos de las aristas
miden \(9+\sqrt{3}\approx 10.73\) y la tercera \(9-2\sqrt{3}\approx 5.54;\) y un
máximo relativo estricto cuando dos de las aristas miden \(9-\sqrt{3}
\approx 7.27\) y la tercera \(9+2\sqrt{3}\approx 12.64.\)
El prisma con volumen mínimo tiene dos de sus aristas iguales a \(9+
\sqrt{3}\) y la tercera es \(9-2\sqrt{3},\) y el volumen es
\begin{equation*}
V=\left( 9+\sqrt{3}\right) \left( 9+\sqrt{3}\right) \left( 9-2\sqrt{3}
\right) =648-6\sqrt{3}\approx 637.61.
\end{equation*}
El prisma con volumen máximo tiene dos de sus aristas iguales a \(9-
\sqrt{3}\) y la tercera es \(9+2\sqrt{3},\) y el volumen es
\begin{equation*}
V=\left( 9-\sqrt{3}\right) \left( 9-\sqrt{3}\right) \left( 9+2\sqrt{3}
\right) =648+6\sqrt{3}\approx 658.39.
\end{equation*}
La siguiente imágen muestran las dos restricciones, una rama del hiperboloide y el plano, cuya intersección es una elipse y los dos puntos de interés
\( \left( 9+\sqrt{3},9+\sqrt{3},9-2\sqrt{3} \right) \),
\( \left( 9-\sqrt{3},9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3} \right) \),
\( \left( 9+\sqrt{3}, 9-2\sqrt{3},9+\sqrt{3} \right) \),
\( \left( 9-\sqrt{3},9+2\sqrt{3},9-\sqrt{3} \right) \),
\( \left(9-2\sqrt{3}, 9+\sqrt{3},9+\sqrt{3} \right) \),
\( \left(9+2\sqrt{3}, 9-\sqrt{3},9-\sqrt{3} \right) \)
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