Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 6

Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{4}+z^{2} \end{equation*} sobre la curva de intersección del hiperboloide de una hoja \( x^{2}+y^{2}-16=z^{2}\) con el paraboloide \(16-x^{2}-y^{2}=z.\)

Solución:

La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{4}+z^{2}. \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}-z^{2}-16=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 16-x^{2}-y^{2}-z=0. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} 4x^{3} & = & 2x\lambda -2x\mu \notag \\ 0 & = & 2y\lambda -2y\mu \notag \\ 2z & = & -2z\lambda -\mu \label{ecu6} \tag{1} \\ x^{2}+y^{2}-z^{2}-16 & = & 0 \notag \\ 16-x^{2}-y^{2} & = & z. \notag \end{eqnarray} Sustituyendo en la cuarta ecuación de (\ref{ecu6}), el valor de \(z\) de la quinta ecuación tenemos \begin{eqnarray*} -z^{2}-z & = & 0 \\ -z\left( z+1\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation} z=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad z=-1. \label{5z=0,1} \end{equation} Cuando \(z=0,\) la intersección de las dos cuádricas es el círculo en el plano \(XY,\) \(x^{2}+y^{2}=16,\) con centro en el origen y radio \( 4. \)

Cuando \(z=-1,\) la intersección de las dos cuádricas es el círculo en el plano paralelo al plano \(XY\) a la altura \(-1,\) \(x^{2}+y^{2}=17\) con centro en el origen y radio \(\sqrt{17}.\)

[(a)] Si \(z=0,\) entonces sustituyendo este valor en la tercera ecuación \begin{equation*} \mu =0. \end{equation*} Sustituyendo en la segunda ecuación de (\ref{ecu6}) este valor de \(\mu ,\) tenemos \begin{eqnarray*} 0 & = & 2y\lambda -2y\mu \\ 0 & = & 2y\lambda , \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =0. \end{equation*}
- Si \(y=0,\) entonces sustituyendo este valor de \(y\) y \(z=0\) en la última ecuación de (\ref{ecu6}) \begin{equation*} 16-x^{2}=0, \end{equation*} de donde \begin{equation*} x=-4 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x=4 \end{equation*} y sustituyendo en la primera \(x=-4\) ecuación de (\ref{ecu6}) tenemos, \begin{eqnarray*} 4\left( -4\right) ^{3} & = & 2\left( -4\right) \lambda \\ 32 & = & \lambda \end{eqnarray*} o bien, si sustituimos \(x=4,\) obtenemos \begin{eqnarray*} 4\left( 4\right) ^{3} & = & 2\left( 4\right) \lambda \\ 32 & = & \lambda . \end{eqnarray*} Así tenemos los puntos \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=4 & & y=0 & & z=0 & & \lambda =32 & & \mu =0 \\ x=-4 & & y=0 & & z=0 & & \lambda =32 & & \mu =0. \end{array} \end{equation*}
- Si \(\lambda =0,\) entonces sustituyendo este valor de \(\lambda \) y \(\mu =0\) en la primera ecuación de (\ref{ecu6}) \begin{eqnarray*} 4x^{3} & = & 2x\lambda -2x\mu \\ x & = & 0, \end{eqnarray*} de donde sustituyendo en la última ecuación de (\ref{ecu6}) este valor de \(x\) y \(z=0,\) tenemos \begin{eqnarray*} 16-x^{2}-y^{2} & = & z \\ 16-y^{2} & = & 0 \end{eqnarray*} así \begin{equation*} y=-4 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=4. \end{equation*} Unas soluciones del sistema (\ref{ecu6}) son \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=0 & & y=-4 & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0 \\ x=0 & & y=4 & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0. \end{array} \end{equation*}
[(b)] Si \(z=-1,\) considerando la tercera ecuación de (\ref{ecu6}) \begin{eqnarray*} 2z & = & -2z\lambda -\mu \\ 2\left( -1\right) & = & -2\left( -1\right) \lambda -\mu \\ -2 & = & 2\lambda -\mu \\ \mu & = & 2\lambda +2. \end{eqnarray*} Sustituyendo este valor de \(\mu \) en la segunda ecuación de (\ref{ecu6}) \begin{eqnarray*} 0 & = & 2y\lambda -2y\mu \\ 0 & = & 2y\lambda -2y\left( 2\lambda +2\right) \\ 0 & = & -4y-2y\lambda \\ 0 & = & -2y\left( \lambda +2\right) , \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =-2. \end{equation*}
- Si \(y=0,\) entonces sustituyendo este valor de \(y\) y \(z=-1,\) en la última ecuación de (\ref{ecu6}) tenemos \begin{eqnarray*} 16-x^{2}-y^{2} & = & z \\ 16-x^{2} & = & -1 \\ 17-x^{2} & = & 0, \end{eqnarray*} así, \begin{equation*} x=-\sqrt{17} \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x=\sqrt{17}. \end{equation*}
  - Si \(x=-\sqrt{17},\) \(\mu =2\lambda +2,\) entonces en la primera ecuación de (\ref{ecu6}) tenemos \begin{eqnarray*} 4x^{3} & = & 2x\lambda -2x\mu \\ 4\left( -\sqrt{17}\right) ^{3} & = & 2\left( -\sqrt{17}\right) \lambda -2\left( -\sqrt{17}\right) \left( 2\lambda +2\right) \\ -68\sqrt{17} & = & 2\sqrt{17}\lambda +4\sqrt{17} \\ -68 & = & 2\lambda +4 \\ -36 & = & \lambda , \end{eqnarray*} de donde, \begin{eqnarray*} \mu & = & 2\lambda +2 \\ & = & 2\left( -36\right) +2 \\ & = & -70. \end{eqnarray*} Así, otra solución del sistema (\ref{ecu6}) es \begin{equation*} x=-\sqrt{17}, \quad y=0, \quad z=-1, \quad \lambda =-36, \quad \mu =-70. \end{equation*}
  - Si \(x=\sqrt{17},\) \(\mu =2\lambda +2,\) entonces en la primera ecuación de (\ref{ecu6}) tenemos \begin{eqnarray*} 4x^{3} & = & 2x\lambda -2x\mu \\ 4\left( \sqrt{17}\right) ^{3} & = & 2\left( \sqrt{17}\right) \lambda -2\left( \sqrt{17}\right) \left( 2\lambda +2\right) \\ 68\sqrt{17} & = & -2\sqrt{17}\lambda -4\sqrt{17} \\ 68 & = & -2\lambda -4 \\ -36 & = & \lambda , \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray*} \mu & = & 2\lambda +2 \\ & = & 2\left( -36\right) +2 \\ & = & -70. \end{eqnarray*} Por tanto, otra solución del sistema (\ref{ecu6}) es \begin{equation*} x=\sqrt{17}, \quad y=0, \quad z=-1, \quad \lambda =-36, \quad \mu =-70. \end{equation*}
- Si \(\lambda =-2,\) como \(z=-1,\) entonces sustituyendo en la tercera de ( \ref{ecu6}) \begin{eqnarray*} 2z & = & -2z\lambda -\mu \\ 2\left( -1\right) & = & -2\left( -1\right) \left( -2\right) -\mu \\ -2 & = & -4-\mu \\ \mu & = & -2. \end{eqnarray*} Sustituyendo en la primera ecuación de (\ref{ecu6}) estos valores, \begin{eqnarray*} 4x^{3} & = & 2x\left( -2\right) -2x\left( -2\right) \\ 4x^{3} & = & 0 \\ x & = & 0. \end{eqnarray*} Sustituyendo estos valores en la última ecuación de (\ref{ecu6}) \begin{eqnarray*} 16-x^{2}-y^{2} & = & z \\ 16-y^{2} & = & -1, \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} y=-\sqrt{17} \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=\sqrt{17}. \end{equation*} Las siguientes, son también soluciones del sistema (\ref{ecu6}) \begin{eqnarray*} x & = & 0, \quad y=\sqrt{17}, \quad z=-1,\quad \lambda =-2, \quad \mu =-2 \\ x & = & 0, \quad y=-\sqrt{17}, \quad z=-1,\quad \lambda =-2, \quad \mu =-2. \end{eqnarray*}

En resumen, todas las soluciones del sistema (\ref{ecu6}) son \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=4 & & y=0 & & z=0 & & \lambda =32 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=-4 & & y=0 & & z=0 & & \lambda =32 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=-4 & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=4 & & z=0 & & \lambda =0 & & \mu =0 \\ & & & & & & & & \\ x=-\sqrt{17} & & y=0 & & z=-1 & & \lambda =-36 & & \mu =-70 \\ & & & & & & & & \\ x=\sqrt{17} & & y=0 & & z=-1 & & \lambda =-36 & & \mu =-70 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=\sqrt{17} & & z=-1 & & \lambda =-2 & & \mu =-2 \\ & & & & & & & & \\ x=0 & & y=-\sqrt{17} & & z=-1 & & \lambda =-2 & & \mu =-2. \end{array} \end{equation*} Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & 2y & -2z \\ -2x & -2y & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray*} tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las ocho soluciones antes encontradas.

Si \(\overline{v}_{0}=\left( 4,0,0\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 4,0,0\right) =\left( \begin{array}{ccc} 8 & 0 & 0 \\ -8 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 8 & 0 \\ -8 & -1 \end{array} \right\vert =-8\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 4,0,0\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( -4,0,0\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -4,0,0\right) =\left( \begin{array}{ccc} -8 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} -8 & 0 \\ 8 & -1 \end{array} \right\vert =8\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -4,0,0\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}\left( 0,-4,0\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,-4,0\right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & -8 & 0 \\ 0 & 8 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} -8 & 0 \\ 8 & -1 \end{array} \right\vert =8\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,-4,0\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}\left( 0,4,0\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,4,0\right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 8 & 0 \\ 0 & -8 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 8 & 0 \\ -8 & -1 \end{array} \right\vert =-8\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,4,0\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( -\sqrt{17},0,-1\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -\sqrt{17},0,-1\right) =\left( \begin{array}{ccc} -2\sqrt{17} & 0 & 2 \\ 2\sqrt{17} & 0 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} -2\sqrt{17} & 2 \\ 2\sqrt{17} & -1 \end{array} \right\vert =-2\sqrt{17}\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -\sqrt{17},0,-1\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( \sqrt{17},0,-1\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \sqrt{17},0,-1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 2\sqrt{17} & 0 & 2 \\ -2\sqrt{17} & 0 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 2\sqrt{17} & 2 \\ -2\sqrt{17} & -1 \end{array} \right\vert =2\sqrt{17}\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \sqrt{17},0,-1\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( 0,\sqrt{17},-1\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,\sqrt{17},-1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2\sqrt{17} & 2 \\ 0 & -2\sqrt{17} & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 2\sqrt{17} & 2 \\ -2\sqrt{17} & -1 \end{array} \right\vert =2\sqrt{17}\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,\sqrt{17},-1\right) \) tiene rango dos.
Si \(\overline{v}_{0}=\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,-\sqrt{17},-1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 0 & -2\sqrt{17} & 2 \\ 0 & 2\sqrt{17} & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} -2\sqrt{17} & 2 \\ 2\sqrt{17} & -1 \end{array} \right\vert =-2\sqrt{17}\neq 0, \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \) tiene rango dos.

Consideramos ahora la función \begin{equation*} \varphi =x^{4}+z^{2}-\lambda \left( x^{2}+y^{2}-z^{2}-16\right) -\mu \left( 16-x^{2}-y^{2}-z\right) . \end{equation*} Las derivadas de primer orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} & = & 4x^{3}-2x\lambda +2x\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y} & = & -2y\lambda +2y\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z} & = & 2z+2z\lambda +\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden son: \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}} & = & 12x^{2}-2\lambda +2\mu \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}} & = & -2\lambda +2\mu \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}} & = & 2+2\lambda . \end{eqnarray*} Las derivadas mixtas son todas cero.

Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2x & & 2y & & -2z \\ 0 & & 0 & & -2x & & -2y & & -1 \\ 2x & & -2x & & 12x^{2}-2\lambda +2\mu & & 0 & & 0 \\ 2y & & -2y & & 0 & & -2\lambda +2\mu & & 0 \\ -2z & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\lambda \end{array} \right\vert \end{equation*} Evaluamos el determinante hessiano limitado en cada solución \(x,\) \(y,\) \( z,\) \(\lambda ,\) \(\mu .\)

En \(x=-\sqrt{17},\) \(y=0,\) \(z=-1,\) \(\lambda =-36,\) \(\mu =-70\) \( \begin{array}{l} \left\vert \overline{L}\left( -\sqrt{17},0,-1\right) \right\vert = \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & 0 & & 2 \\ 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & 0 & & -1 \\ -2\sqrt{17} & & 2\sqrt{17} & & 12\left( -\sqrt{17}\right) ^{2}-2\left( -36\right) +2\left( -70\right) & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -2\left( -36\right) +2\left( -70\right) & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\left( -36\right) \end{array} \right\vert \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & 0 & & 2 \\ 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & 0 & & -1 \\ -2\sqrt{17} & & 2\sqrt{17} & & 136 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -68 & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & -70 \end{array} \right\vert \\ \\ =-4624 < 0 \end{array} \)
La función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un máximo local en dicho punto.
En \(x=\sqrt{17},\) \(y=0,\) \(z=-1,\) \(\lambda =-36,\) \(\mu =-70\) \( \begin{array}{l} \left\vert \overline{L}\left( \sqrt{17},0,-1\right) \right\vert = \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & 0 & & 2 \\ 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & 0 & & -1 \\ 2\sqrt{17} & & -2\sqrt{17} & & 12\left( \sqrt{17}\right) ^{2}-2\left( -36\right) +2\left( -70\right) & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -2\left( -36\right) +2\left( -70\right) & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\left( -36\right) \end{array} \right\vert \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & 0 & & 2 \\ 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & 0 & & -1 \\ 2\sqrt{17} & & -2\sqrt{17} & & 136 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -68 & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & -70 \end{array} \right\vert \\ \\ = -4624 < 0 \end{array} \)
La función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un máximo relativo estricto en dicho punto.
En \(x=0,\) \(y=-4,\) \(z=0,\) \(\lambda =0,\) \(\mu =0\) \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( 0,-4,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -8 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right\vert =0 \end{equation*} entonces el criterio no da información. Para ver qué tipo de punto es \(\left( 0,-4,0\right) \) con relación a la función \(f\) consideramos cualquier bola con centro en el punto \( \left( 0,-4,0\right) \) y radio \(\varepsilon ,\) es decir, \(B_{\varepsilon }\left( 0,-4,0\right) .\) Podemos suponer que \(\varepsilon < 1.\) Si \(\left( x,y,z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,-4,0\right) ,\) entonces \( \left\vert z\right\vert < 1.\) Por tanto, si \(\left( x,y,z\right) \) satisface las restricciones, entonces de acuerdo con la ecuación (\ref{5z=0,1}), \( z=0\) o \(z=-1.\) Entonces, \(z=0\) y \(x^{2}+y^{2}=16.\) Como \(\left\vert y+4\right\vert <1,\) tenemos \(y<0\) y \(y=-\sqrt{16-x^{2}}.\)
La función evaluada en \(\left( 0,-4,0\right) \) es \begin{equation*} f\left( 0,-4,0\right) =0. \end{equation*} Los puntos \(\left( x,-\sqrt{16-x^{2}},0\right) \) son los únicos en la bola \(B_{\varepsilon }\left( 0,-4,0\right) \) que satisfacen las restricciones. Si consideramos cualquiera de ellos, tenemos \begin{equation*} f\left( x,-\sqrt{16-x^{2}},0\right) =x^{4}+z^{2}=x^{4}\geq 0, \end{equation*} y sólo es 0 si \(\left( x,-\sqrt{16-x^{2}},0\right) =\left( 0,-4,0\right) \), de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo relativo estricto en \(\left( 0,-4,0\right) .\)
En \(x=0,\) \(y=4,\) \(z=0,\) \(\lambda =0,\) \(\mu =0\) \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( 0,4,0\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & -8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right\vert =0 \end{equation*}
entonces el criterio no da información.
Para ver qué tipo de punto es \(\left( 0,4,0\right) \) con relación a la función \(f\) consideramos cualquier bola con centro en el punto \( \left( 0,4,0\right) \) y radio \(\varepsilon ,\) es decir, \(B_{\varepsilon }\left( 0,4,0\right) .\) Podemos suponer que \(\varepsilon < 1.\) Si \(\left( x,y,z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,4,0\right) ,\) entonces \(\left\vert z\right\vert <1\) por tanto, si \(\left( x,y,z\right) \) satisface las restricciones, entonces de acuerdo con la ecuación (\ref{5z=0,1}), \(z=0\) o \(z=-1.\) Entonces, \(z=0\) y \(x^{2}+y^{2}=16.\) Como \(\left\vert y-4\right\vert < 1,\) entonces \(y>0\) y \(y=\sqrt{16-x^{2}}\)
La función evaluada en \(\left( 0,4,0\right) \) es \begin{equation*} f\left( 0,4,0\right) =0. \end{equation*}
Los puntos \(\left( x,\sqrt{16-x^{2}},0\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,4,0\right) \) son los únicos que satisfacen las restricciones. Si consideramos cualquiera de ellos, tenemos \begin{equation*} f\left( x,\sqrt{16-x^{2}},0\right) =x^{4}+z^{2}=x^{4}\geq 0, \end{equation*}
y sólo es 0 si \(\left( x,\sqrt{16-x^{2}},0\right) =\left( 0,4,0\right) \\( , de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo relativo estricto en \(\left( 0,4,0\right) .\)
En \(x=4,\) \(y=0,\) \(z=0,\) \(\lambda =32,\) \(\mu =0\) \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( 4,0,0\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 8 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & -8 & & 0 & & -1 \\ 8 & & -8 & & 12\left( 4\right) ^{2}-2\left( 32\right) & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -2\left( 32\right) & & 0 \\ 0 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\left( 32\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 8 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & -8 & & 0 & & -1 \\ 8 & & -8 & & 128 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -64 & & 0 \\ 0 & & -1 & & 0 & & 0 & & 66 \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & -4096 < 0. \end{eqnarray*}
La función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un máximo relativo estricto en dicho punto.
En \(x=-4,\) \(y=0,\) \(z=0,\) \(\lambda =32,\) \(\mu =0\) \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( -4,0,0\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & -8 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 8 & & 0 & & -1 \\ -8 & & 8 & & 12\left( 4\right) ^{2}-2\left( 32\right) & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -2\left( 32\right) & & 0 \\ 0 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\left( 32\right) \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & -8 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 8 & & 0 & & -1 \\ -8 & & 8 & & 128 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -64 & & 0 \\ 0 & & -1 & & 0 & & 0 & & 66 \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & -4096 < 0. \end{eqnarray*}
La función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un máximo relativo estricto en dicho punto.
En \(x=0,\) \(y=\sqrt{17},\) \(z=-1,\) \(\lambda =-2,\) \(\mu =-2\) \( \begin{array}{l} \left\vert \overline{L}\left( 0,\sqrt{17},-1\right) \right\vert = \\ \\ \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & 2 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & -1 \\ 0 & & 0 & & -2\left( -2\right) +2\left( -2\right) & & 0 & & 0 \\ 2\sqrt{17} & & -2\sqrt{17} & & 0 & & -2\left( -2\right) +2\left( -2\right) & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\left( -2\right) \end{array} \right\vert \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & 2 \\ 0 & & 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & -1 \\ 0 & & 0 & & 0 & & 0 & & 0 \\ 2\sqrt{17} & & -2\sqrt{17} & & 0 & & 0 & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & -2 \end{array} \right\vert \\ \\ =0 \end{array} \) entonces el criterio no da información. Para ver qué tipo de punto es \(\left( 0,\sqrt{17},-1\right) \) con relación a la función \(f\) consideramos cualquier bola con centro en el punto \(\left( 0,\sqrt{17},-1\right) \) y radio \(\varepsilon ,\) es decir, \( B_{\varepsilon }\left( 0,\sqrt{17},-1\right) .\) Podemos suponer que \( \varepsilon < 1.\) Si \(\left( x,y,z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,\sqrt{ 17},-1\right) ,\) entonces \(\left\vert x\right\vert < 1\) por tanto, si \(\left( x,y,z\right) \) satisface las restricciones, entonces de acuerdo con la ecuación (\ref{5z=0,1}), \(z=0\) o \(z=-1.\) Entonces, \(z=-1\) y \(x^{2}+y^{2}=17.\) Como \(\left\vert y-\sqrt{17}\right\vert <1,\) entonces \( y > 0 \) y \(y=\sqrt{ 17-x^{2}}.\) La función en el punto \(\left( 0,\sqrt{17},-1\right) \) es \begin{equation*} f\left( 0,\sqrt{17},-1\right) =\left( -1\right) ^{2}=1. \end{equation*} Los puntos \(\left( x,\sqrt{17-x^{2}},-1\right) \) son los únicos en \( B_{\varepsilon }\left( 0,\sqrt{17},-1\right) \) que satisfacen las dos restricciones: \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & z^{2}+16 \\ 16-x^{2}-y^{2} & = & z. \end{eqnarray*} Si consideramos cualquiera de ellos, tenemos \begin{equation*} f\left( x,\sqrt{17-x^{2}},-1\right) =x^{4}+1\geq 1, \end{equation*} y sólo es \(1\) si \(\left( x,\sqrt{17-x^{2}},-1\right) =\left( 0,\sqrt{17} ,-1\right) \), de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo relativo estricto en \(\left( 0,\sqrt{17},-1\right) .\)
En \(x=0,\) \(y=-\sqrt{17},\) \(z=-1,\) \(\lambda =-2,\) \(\mu =-2\) \( \begin{array}{l} \left\vert \overline{L}\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \right\vert = \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & 2 \\ 0 & & 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & -1 \\ 0 & & 0 & & -2\left( -2\right) +2\left( -2\right) & & 0 & & 0 \\ -2\sqrt{17} & & 2\sqrt{17} & & 0 & & -2\left( -2\right) +2\left( -2\right) & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2+2\left( -2\right) \end{array} \right\vert \\ \\ =\left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 0 & & -2\sqrt{17} & & 2 \\ 0 & & 0 & & 0 & & 2\sqrt{17} & & -1 \\ 0 & & 0 & & 0 & & 0 & & 0 \\ -2\sqrt{17} & & 2\sqrt{17} & & 0 & & 0 & & 0 \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & -2 \end{array} \right\vert \\ \\ =0 \end{array} \)
entonces el criterio no da información.
Para ver qué tipo de punto es \(\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \) con relación a la función \(f\) consideramos cualquier bola con centro en el punto \(\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \) y radio \(\varepsilon ,\) es decir, \( B_{\varepsilon }\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) .\) Podemos suponer que \( \varepsilon < 1.\) Si \(\left( x,y,z\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,-\sqrt{ 17},-1\right) ,\) entonces \(\left\vert x\right\vert <1\) por tanto, si \(\left( x,y,z\right) \) satisface las restricciones, entonces de acuerdo con la ecuación (\ref{5z=0,1}), \(z=0\) o \(z=-1.\) Entonces, \(z=-1\) y \(x^{2}+y^{2}=17. \) Como \(\left\vert y+\sqrt{17}\right\vert <1,\) entonces \(y<0\) y \(y=-\sqrt{ 17-x^{2}}.\)
La función en el punto \(\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \) es \begin{equation*} f\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) =\left( -1\right) ^{2}=1. \end{equation*}
Los puntos \(\left( x,-\sqrt{17-x^{2}},-1\right) \in B_{\varepsilon }\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) \) son los únicos que satisfacen las dos restricciones:
\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} & = & z^{2}+16 \\ 16-x^{2}-y^{2} & = & z. \end{eqnarray*}
Si consideramos cualquiera de ellos, tenemos \begin{equation*} f\left( x,-\sqrt{17-x^{2}},-1\right) =x^{4}+1\geq 1, \end{equation*}
y sólo es \(1\) si \(\left( x,-\sqrt{17-x^{2}},-1\right) =\left( 0,-\sqrt{ 17},-1\right) ,\) de donde la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo relativo estricto en \(\left( 0,-\sqrt{17},-1\right) .\)

La siguiente imágen muestran las dos restricciones, el paraboloide y el hiperboloide, cuya intersección es dos círculos horizontales, uno de radio 4 a la altura de z=0 y otro de radio \( \sqrt{17} \) y los cuatro puntos de interés \( \left( 4,0,0 \right) \), \( \left( -4,0,0 \right) \), \( \left( \sqrt{17},0,-1 \right) \), \( \left( -\sqrt{17},0,-1 \right) \),