Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 2

Solución:

La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}. \end{equation*}

Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x-y-z+1 \end{eqnarray*}

las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & x-y-z+1=0. \end{eqnarray*}

Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*}

es decir, \begin{eqnarray} 2x & = & 2\left( x+2\right) \lambda +\mu \label{Ejem2ec} \tag{1}\ \\ 2y & = & 2\left( y-2\right) \lambda -\mu \notag \\ 2z & = & 2\lambda -\mu \notag \\ \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z & = & 0 \notag \\ x-y-z & = & -1. \notag \end{eqnarray}

Sumando las dos primeras ecuaciones tenemos \begin{eqnarray*} 2x+2y & = & 2\left( x+2\right) \lambda +2\left( y-2\right) \lambda \\ 2\left( x+y\right) & = & 2\lambda \left( x+y\right) \\ \left( x+y\right) \left( 1-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*}

de donde, \begin{equation*} \left( x+y\right) = 0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( 1-\lambda \right) = 0 \end{equation*}

• (a) Si \(x+y\neq 0,\) entonces \(\lambda =1\) Sustituyendo este valor en la primera ecuación de (\ref{Ejem2ec}) \begin{eqnarray*} 2x & = & 2\left( x+2\right) +\mu \\ 2x & = & 2x+4+\mu \\ -4 & = & \mu . \end{eqnarray*}

  Considerando \(\lambda =1\) y \(\mu =-4\) en la tercera ecuación de (\ref {Ejem2ec}) \begin{eqnarray*} 2z & = & 2\lambda -\mu \\ 2z & = & 2+4 \\ z & = & 3. \end{eqnarray*} Sustituimos \(z=3\) en las dos últimas ecuaciones de de (\ref{Ejem2ec}) \begin{eqnarray*} \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+6 & = & 0 \\ x-y-3 & = & -1, \end{eqnarray*} despejamos \(y\) de la última \begin{equation*} y = x-2 \end{equation*} y sustituimos en la primera \begin{eqnarray*} \left( x+2\right) ^{2}+\left( x-2-2\right) ^{2}+6 & = & 0 \\ x^{2}+4x+4+x^{2}-8x+16+6 & = & 0 \\ 2x^{2}-4x+26 & = & 0 \\ x^{2}-2x+13 & = & 0. \end{eqnarray*} Como el discriminante es \begin{equation*} 4-4\left( 13\right) = -48 < 0 \end{equation*}

  la ecuación no tiene raíces reales.

  Así, el caso (a) no aporta soluciones.

• [(b)] Si \(x+y=0,\) entonces \(y=-x\) y sustituyendo en la última ecuación de (\ref{Ejem2ec}) \begin{eqnarray*} x-y-z & = & -1 \\ x+x-z & = & -1 \\ 2x+1 & = & z \end{eqnarray*} y al hacerlo en la penúltima obtenemos \begin{eqnarray*} \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z & = & 0 \\ \left( x+2\right) ^{2}+\left( -x-2\right) ^{2}+2\left( 2x+1\right) & = & 0 \\ x^{2}+4x+4+x^{2}+4x+4+4x+2 & = & 0 \\ 2x^{2}+12x+10 & = & 0 \\ x^{2}+6x+5 & = & 0 \\ \left( x+5\right) \left( x+1\right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=-5 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x=-1. \end{equation*} Si \(x=-5,\) entonces \(y=-x=5,\) \(z=2x+1=-9\). Sustituyendo el valor de \(z\) en la tercera ecuación de (\ref{Ejem2ec}) \begin{eqnarray*} 2z & = & 2\lambda -\mu \\ 2\left( -9\right) & = & 2\lambda -\mu \\ \mu & = & 2\lambda +18. \end{eqnarray*} Sustituimos este valor de \(\mu \) y \(x=-5\) en la primera \begin{eqnarray*} 2\left( -5\right) & = & 2\left( -5+2\right) \lambda +2\lambda +18 \\ -10 & = & 18-4\lambda \\ \lambda & = & 7, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} \mu =2\left( 7\right) +18=32. \end{equation*} Si \(x=-1\) entonces \(y=1,\) \(z=-1\). Sustituyendo el valor de \(z\) en la tercera ecuación de (\ref{Ejem2ec}) \begin{eqnarray*} 2z & = & 2\lambda -\mu \\ 2\left( -1\right) & = & 2\lambda -\mu \\ \mu & = & 2\lambda +2. \end{eqnarray*} Sustituimos este valor de \(\mu \) y \(x=-1\) en la primera \begin{eqnarray*} 2\left( -1\right) & = & 2\left( -1+2\right) \lambda +2\lambda +2 \\ -2 & = & 4\lambda +2 \\ \lambda & = & -1, \end{eqnarray*}

  de donde \begin{equation*} \mu =2\left( -1\right) +2=0. \end{equation*}

En resumen, hay dos soluciones del sistema: \begin{equation*} \begin{array}{lllllllll} x=-5 & & y=5 & & z=-9 & & \lambda =7 & & \mu =32 \\ x=-1 & & y=1 & & z=-1 & & \lambda =-1 & & \mu =0. \end{array} \end{equation*}

Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2\left( x+2\right) & 2\left( y-2\right) & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguno de los dos candidatos antes encontrados.

• En \(\overline{v}_{0}=\left( -5,5,-9\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -5,5,-9\right) =\left( \begin{array}{ccc} -6 & 6 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 6 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right\vert =-8\neq 0 \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -5,5,-9\right) \) tiene rango dos.
• En \(\overline{v}_{0}=\left( -1,1,-1\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -1,1,-1\right) =\left( \begin{array}{ccc} -6 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right) \end{equation*} como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} -6 & -2 \\ 1 & -1 \end{array} \right\vert =8\neq 0 \end{equation*} entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -1,1,-1\right) \) tiene rango dos.

Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi \left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g_{1}\left( x,y,z\right) -\mu g_{2}\left( x,y,z\right) \\ & = & x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda \left( \left( x+2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}+2z\right) -\mu \left( x-y-z+1\right) . \end{eqnarray*} Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 2x-2\lambda \left( x+2\right) -\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y-2\lambda \left( y-2\right) +\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 2z+2\lambda +\mu. \end{eqnarray*}

Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2-2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2 \end{eqnarray*}

y las derivadas de segundo orden mixtas, todas son iguales a cero.

Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones.

Recordemos que \begin{equation*} \begin{array}{lll} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}=2\left( x+2\right) , & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial y}=2\left( y-2\right) , & \dfrac{\partial g}{\partial z}=2 \\ & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}=1, & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial y} =-1, & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial z}=-1, \end{array} \end{equation*}

entonces \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert & = & \left\vert \begin{array}{ccccccccc} 0 & & 0 & & 2\left( x+2\right) & & 2\left( y-2\right) & & 2 \\ & & & & & & & & \\ 0 & & 0 & & 1 & & -1 & & -1 \\ & & & & & & & & \\ 2\left( x+2\right) & & 1 & & 2-2\lambda & & 0 & & 0 \\ & & & & & & & & \\ 2\left( y-2\right) & & -1 & & 0 & & 2-2\lambda & & 0 \\ & & & & & & & & \\ 2 & & -1 & & 0 & & 0 & & 2 \end{array} \right\vert \\ & & \\ & = & 48x-48y-144\lambda -48x\lambda +48y\lambda -8x^{2}\lambda -8y^{2}\lambda +16xy+16x^{2}+16y^{2}+144. \end{eqnarray*}

• Para \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} x=-5 & y=5 & z=-9 & \lambda =7 & \mu =32 \end{array} \end{equation*} tenemos \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( -5,5,-9\right) \right\vert & = & 48\left( -5\right) -48\left( 5\right) -144\left( 7\right) -48\left( -5\right) \left( 7\right) +48\left( 5\right) \left( 7\right) -8\left( -5\right) ^{2}\left( 7\right) + \\ & &-8\left( 5\right) ^{2}\left( 7\right) +16\left( -5\right) \left( 5\right) +16\left( -5\right) ^{2}+16\left( 5\right) ^{2}+144 \\ & = & -384 < 0, \end{eqnarray*}

  entonces hay un máximo relativo estricto en \(\left( -5,5,-9\right) \). El valor de la función ahí es \begin{equation*} f\left( -5,5,-9\right) =\left( -5\right) ^{2}+\left( 5\right) ^{2}+\left( -9\right) ^{2}=131. \end{equation*}

• Para \begin{equation*} \begin{array}{ccccc} x=-1 & y=1 & z=-1 & \lambda =-1 & \mu =0 \end{array} \end{equation*}

  tenemos \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( -1,1,-1\right) \right\vert & = & 48\left( -1\right) -48\left( 1\right) -144\left( -1\right) -48\left( -1\right) \left( -1\right) +48\left( 1\right) \left( -1\right) + \\ & &-8\left( -1\right) ^{2}\left( -1\right) -8\left( 1\right) ^{2}\left( -1\right) +16\left( -1\right) \left( 1\right) +16\left( -1\right) ^{2}+16\left( 1\right) ^{2}+144 \\ & = & 128>0, \end{eqnarray*}

  entonces hay un mínimo relativo estricto en \(\left( -1,1,-1\right) \). El valor de la función ahí es \begin{equation*} f\left( -1,1,-1\right) =\left( -1\right) ^{2}+\left( 1\right) ^{2}+\left( -1\right) ^{2}=3. \end{equation*}