Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 1

Solución:

La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =3x+y^{2}+z. \end{equation*}

Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}-y^{2}-z \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 2x-4y+z-12 \end{eqnarray*}

las restricciones son \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}-y^{2}-z=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 2x-4y+z-12=0. \end{eqnarray*}

Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*}

es decir, \begin{eqnarray} 3 & = & 2x\lambda +2\mu \notag \\ 2y & = & -2y\lambda -4\mu \notag \\ 1 & = & -\lambda +\mu \label{Lagrange2r3}\tag{1} \\ x^{2}-y^{2} & = & z \notag \\ 2x-4y+z & = & 12. \notag \end{eqnarray}

De la tercera ecuación tenemos \(\mu =1+\lambda .\) Al sustituir en la primera y segunda, tenemos \begin{eqnarray*} 3 & = & 2x\lambda +2\left( 1+\lambda \right) \\ 2y & = & -2y\lambda -4\left( 1+\lambda \right) , \end{eqnarray*}

es decir, \begin{eqnarray*} 1 & = & 2\lambda \left( x+1\right) \\ 2y\left( 1+\lambda \right) & = & -4\left( 1+\lambda \right) . \end{eqnarray*}

• (a) Si \(1+\lambda \neq 0,\) de la segunda ecuación tenemos que \begin{equation*} y=-2. \end{equation*} Sustituyendo este valor en las dos últimas ecuaciones de (\ref {Lagrange2r3}) tenemos \begin{eqnarray*} x^{2}-4 & = & z \\ 2x+8+z & = & 12 \end{eqnarray*}

  sustituyendo el valor de \(z\) de la primera ecuación en la segunda \begin{eqnarray*} 2x+z & = & 4 \\ 2x+x^{2}-4 & = & 4 \\ x^{2}+2x+1 & = & 8+1 \\ \left( x+1\right) ^{2} & = & 9 \\ \left\vert x+1\right\vert & = & 3, \end{eqnarray*}

  de donde \begin{equation*} x=2 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad x = -4. \end{equation*}

  • Si \(x=2,\) entonces \(z=x^{2}-4 = 0.\)
  • Si \(x=-4,\) entonces \(z=x^{2}-4 = 12.\)
  Como sabemos que \begin{equation*} 1=2\lambda \left( x+1\right) \end{equation*} entonces:
  • Para el punto \(x=2,\) \(y=-2\) y \(z=0,\) se tiene \begin{equation*} \lambda =\dfrac{1}{2\left( 2+1\right) }=\dfrac{1}{6} \end{equation*}

    y \begin{eqnarray*} \mu & = & 1+\lambda \\ \mu & = & 1+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{6}. \end{eqnarray*}

  • Para el punto \(x=-4, \ y=-2\) y \(z=12,\) \begin{equation*} \lambda =\dfrac{1}{2\left( -4+1\right) }=-\dfrac{1}{6} \end{equation*}

    y \begin{equation*} \mu =1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}. \end{equation*}

• (b) Si \(\mu = 1+\lambda = 0,\) entonces \(\lambda = -1,\) de donde, sustituyendo en las ecuaciones de (\ref{Lagrange2r3}), tenemos \begin{eqnarray*} 3 & = & -2x \\ 2y & = & 2y \\ 1 & = & 1 \\ x^{2}-y^{2} & = & z \\ 2x-4y+z & = & 12. \end{eqnarray*}

  De la primera ecuación tenemos que \(x=-\dfrac{3}{2}\) y sustituyendo este valor en las dos últimas ecuaciones del sistema anterior, tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{9}{4}-y^{2} & = & z \\ -4y+z & = & 15 \end{eqnarray*}

  sustituimos el valor de \(z\) en la última ecuación \begin{eqnarray*} -4y+\dfrac{9}{4}-y^{2} & = & 15 \\ y^{2}+4y+\dfrac{51}{4} & = & 0. \end{eqnarray*}

  Como el discriminante de esta ecuación es \begin{equation*} 16-4\left( \dfrac{51}{4}\right) =-35. \end{equation*}

  Al ser éste negativo, entonces la ecuación no tiene raíces reales.

  Así, el caso (b) no aporta soluciones.

En resumen, las soluciones del sistema son las encontradas en (a) \begin{equation*} \begin{array}{lllll} x=2 & y=-2 & z=0 & \lambda =\dfrac{1}{6} & \mu =\dfrac{7}{6} \\ & & & & \\ x=-4 & y=-2 & z=12 & \lambda =-\dfrac{1}{6} & \mu =\dfrac{5}{6}. \end{array} \end{equation*}

Veamos si \begin{eqnarray*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( \overline{v}_{0}\right) & = & \left( \begin{array}{ccccc} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial y}\left( \overline{v}_{0}\right) & & \dfrac{ \partial g_{1}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial y}\left( \overline{v_{0}}\right) & & \dfrac{ \partial g_{2}}{\partial z}\left( \overline{v}_{0}\right) \end{array} \right) \\ & & \\ & = & \left( \begin{array}{ccc} 2x & -2y & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}

tiene rango 2, donde \(\overline{v}_{0}=\left( x,y,z\right) \) es alguna de las dos soluciones antes encontradas.

• En \(\overline{v}_{0}=\left( 2,-2,0\right) \) tenemos \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 2,-2,0\right) =\left( \begin{array}{ccc} 4 & 4 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}

  como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 2 & -4 \end{array} \right\vert =-24\neq 0 \end{equation*}

  entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 2,-2,0\right) \) tiene rango dos.

• En \(\overline{v}_{0}=\left( -4,-2,12\right) \) \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -4,-2,12\right) =\left( \begin{array}{ccc} -8 & 4 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}

  como \begin{equation*} \left\vert \begin{array}{cc} -8 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right\vert =-6\neq 0 \end{equation*}

  entonces \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( -4,-2,12\right) \) tiene rango dos.

Consideramos ahora la función \begin{eqnarray*} \varphi \left( x,y,z\right) & = & f\left( x,y,z\right) -\lambda g_{1}\left( x,y,z\right) -\mu g_{2}\left( x,y,z\right) \\ & = & 3x+y^{2}+z-\lambda \left( x^{2}-y^{2}-z\right) -\mu \left( 2x-4y+z-12\right) . \end{eqnarray*}

Las derivadas de primer orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\left( x,y,z\right) & = & 3-2\lambda x-2\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}\left( x,y,z\right) & = & 2y+2\lambda y+4\mu \\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial z}\left( x,y,z\right) & = & 1+\lambda -\mu . \end{eqnarray*} Las derivadas de segundo orden de \(\varphi \) son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}\left( x,y,z\right) & = & -2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 2+2\lambda \\ \dfrac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}\left( x,y,z\right) & = & 0 \end{eqnarray*}

y las derivadas de segundo orden mixtas, todas son iguales a cero.

Ahora calculamos el determinante hessiano limitado para dos restricciones.

Recordemos que \begin{equation*} \begin{array}{lllll} \dfrac{\partial g_{1}}{\partial x}=2x, & & \dfrac{\partial g_{1}}{\partial y }=-2, & & \dfrac{\partial g}{\partial z}=-1 \\ & & & & \\ \dfrac{\partial g_{2}}{\partial x}=2, & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial y} =-4, & & \dfrac{\partial g_{2}}{\partial z}=1, \end{array} \end{equation*}

entonces \begin{equation*} \left\vert \overline{L}\left( x,y,z\right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2x & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 1 \\ 2x & 2 & -2\lambda & 0 & 0 \\ -2 & -4 & 0 & 2+2\lambda & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right\vert =16x-64\lambda +16x\lambda +8x^{2}\lambda +8x^{2}+8. \end{equation*}

• Para \(x=2,\) \(y=-2,\) \(z=0,\) \(\lambda =\dfrac{1}{6},\) \(\mu =\dfrac{7}{6}\) , tenemos \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( 2,-2,0\right) \right\vert & = & 12\left( 2\right) -64\left( \dfrac{1}{6}\right) +16\left( 2\right) \left( \dfrac{1}{6}\right) +8\left( 4\right) \left( \dfrac{1}{6}\right) +8\left( 4\right) +8 \\ & = & 64>0 \end{eqnarray*}

  entonces hay un mínimo relativo estricto en \(\left( 2,-2,0\right) \). El valor de la función ahí es \begin{equation*} f\left( 2,-2,0\right) =3\left( 2\right) +\left( -2\right) ^{2}+0=10. \end{equation*}

• Para \(x=-4,\) \(y=-2,\) \(z=12,\) \(\lambda =-\dfrac{1}{6},\) \(\mu =\dfrac{5}{ 6}\), tenemos \begin{eqnarray*} \left\vert \overline{L}\left( -4,-2,12\right) \right\vert & = & 12\left( -4\right) -64\left( -\dfrac{1}{6}\right) +16\left( -4\right) \left( -\dfrac{1 }{6}\right) +8\left( 16\right) \left( -\dfrac{1}{6}\right) +8\left( 16\right) +8 \\ & = & 88>0 \end{eqnarray*} entonces hay un mínimo relativo estricto en \(\left( -4,-2,12\right) \). El valor de la función ahí es \begin{equation*} f\left( -4,-2,12\right) =3\left( -4\right) +\left( -2\right) ^{2}+12=4. \end{equation*}