Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 10

Hallar los puntos máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8}y^{2}+\dfrac{1}{6}z \end{equation*} sobre la curva de intersección de \(x^{2}+y^{2}+zx=2\) con \(6x+2z=8.\)

Solución:

La función es \begin{equation*} f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8}y^{2}+\dfrac{1}{6}z. \end{equation*} Definimos \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8. \end{eqnarray*} Tenemos que resolver el sistema \begin{equation*} \nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2}, \end{equation*} es decir, \begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}x & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \notag \\ \dfrac{1}{4}y & = & 2y\lambda \notag \\ \frac{1}{6} & = & x\lambda +2\mu \label{ecu10} \\ x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \notag \\ 6x+2z & = & 8. \notag \end{eqnarray} De la última ecuación tenemos \begin{equation*} z=4-3x \end{equation*} sustituyendo este valor en la cuarta \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \\ x^{2}+y^{2}+\left( 4-3x\right) x & = & 2 \\ -2x^{2}+4x+y^{2} & = & 2, \end{eqnarray*} sustituyendo \(z\) en la primera \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 2x\lambda +\lambda \left( 4-3x\right) +6\mu \\ \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda +6\mu -x\lambda . \end{eqnarray*} Despejamos \(\mu \) de la tercera ecuación del sistema \begin{eqnarray*} \frac{1}{6} & = & x\lambda +2\mu \\ \mu & = & \dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2}x\lambda \end{eqnarray*} y sustituimos este valor en la primera ecuación de (\ref{ecu10}) \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda +6\mu -x\lambda \\ \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda +6\left( \dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2}x\lambda \right) -x\lambda \\ \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda -4x\lambda +\dfrac{1}{2} \end{eqnarray*} despejamos \(x\) \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 4\lambda -4x\lambda +\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}x+4x\lambda & = & 4\lambda +\dfrac{1}{2} \\ x & = & \dfrac{4\lambda +\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+4\lambda } \qquad \text{si } \lambda \neq -\dfrac{1}{8} \\ x & = & 1 \qquad \text{si }\lambda \neq -\dfrac{1}{8}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} z=4-3\left( 1\right) =1. \end{equation*} De la segunda ecuación de (\ref{ecu10}) tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{4}y & = & 2\lambda y \\ \dfrac{1}{8}y & = & \lambda y \\ y\left( \dfrac{1}{8}-\lambda \right) & = & 0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \lambda =\dfrac{1}{8}. \end{equation*}

(a) Supongamos \(y=0\) De las ecuaciones primera y tercera del sistema (\ref{ecu10}) \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \\ \frac{1}{6} & = & x\lambda +2\mu \end{eqnarray*} tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2} & = & 2\lambda +\lambda +6\mu \\ \frac{1}{6} & = & \lambda +2\mu , \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray*} 1 & = & 6\lambda +12\mu \\ 1 & = & 6\lambda +12\mu \end{eqnarray*} así, \begin{equation*} \lambda =\dfrac{1}{6}-2\mu \end{equation*} de donde se obtiene como solución del sistema (\ref{ecu10}): \(x=1,\) \( y=0, \) \(z=1,\) \(\lambda =\dfrac{1}{6}-2\mu .\)
(b) Supongamos \(\lambda =\dfrac{1}{8},\) como \(x=1\) de la tercera ecuación del sistema, tenemos \begin{eqnarray*} \frac{1}{6} & = & x\lambda +2\mu \\ \frac{1}{6} & = & \dfrac{1}{8}+2\mu \\ \mu & = & \dfrac{\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{8}}{2} \\ \mu & = & \dfrac{1}{48}. \end{eqnarray*} Sustituyendo \(x=1, \ \lambda =\dfrac{1}{8}\) y \(\mu =\dfrac{1}{48}\) en la primera ecuación de (\ref{ecu10}): \begin{eqnarray*} \dfrac{1}{2}x & = & 2x\lambda +\lambda z+6\mu \\ \dfrac{1}{2} & = & 2\left( \dfrac{1}{8}\right) +\dfrac{1}{8}z+6\left( \dfrac{1}{ 48}\right) \\ \dfrac{1}{2} & = & \dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}z+\dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{8} & = & \dfrac{1}{8}z \\ 1 & = & z. \end{eqnarray*} Sustituyendo \(x=1=z\) en la cuarta ecuación de (\ref{ecu10}): \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx & = & 2 \\ 1+y^{2}+1 & = & 2 \\ y & = & 0, \end{eqnarray*} de donde una solución del sistema (\ref{ecu10}) es: \begin{equation*} x=1, \quad y=0, \quad z=1, \quad \lambda =\dfrac{1}{8}, \quad \mu =\dfrac{1}{48}. \end{equation*} En cualquier caso \(x=1, \ y=0, \ z=1.\) Entonces \begin{equation*} D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{equation*} Como el segundo renglón es múltiplo del primero, entonces son linealmente dependientes y \(D\left( g_{1},g_{2}\right) \left( 1,0,1\right) \) no tiene rango dos, por lo que el criterio del hessiano limitado no puede aplicarse.
Vamos a analizar si hay algún valor extremo de la función en \(\left( 1,0,1\right) .\) Consideramos las restricciones: \begin{eqnarray*} g_{1}\left( x,y,z\right) & = & x^{2}+y^{2}+zx-2=0 \\ g_{2}\left( x,y,z\right) & = & 6x+2z-8=0. \end{eqnarray*} Resolvemos el sistema \begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \label{ecu10a} \\ 6x+2z-8 & = & 0 \notag \end{eqnarray} despejamos \(z\) de ambas ecuaciones suponiendo que \(x\neq 0\) e igualamos los valores obtenidos \begin{eqnarray*} \dfrac{2-x^{2}-y^{2}}{x} & = & 4-3x \\ 2-x^{2}-y^{2}-\left( 4x-3x^{2}\right) & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2}+2 & = & 0 \\ 2x^{2}-4x-y^{2} & = & -2 \\ 2\left( x^{2}-2x+1\right) -y^{2} & = & -2+2 \\ 2\left( x-1\right) ^{2} & = & y^{2}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=\sqrt{2}\left( x-1\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad y=- \sqrt{2}\left( x-1\right) . \end{equation*} Los puntos que satisfacen ambas restricciones son de la forma \begin{equation*} \left( x,\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \quad \quad \quad \text{o} \quad \quad \quad \left( x,-\sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) . \end{equation*} Para \(x=0\):
Sustituyendo en la primera ecuación de (\ref{ecu10a}) \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+zx-2 & = & 0 \\ y^{2}-2 & = & 0 \\ y & = & \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*} y sustituyendo en la segunda \begin{eqnarray*} 6x+2z-8 & = & 0 \\ z & = & 4, \end{eqnarray*} las soluciones son: \((0,\pm \sqrt{2},4),\) que podemos incluir en las anteriores tomando \(x=0.\)

Evaluamos la función \(f\left( x,y,z\right) =\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{8 }y^{2}+\dfrac{1}{6}z\) en \(\left( 1,0,1\right) \) \begin{equation*} f\left( 1,0,1\right) =\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12} \end{equation*} observamos que \begin{eqnarray*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) & = & \dfrac{1}{4}x^{2}+ \dfrac{1}{8}\left( \pm \sqrt{2}\left( x-1\right) \right) ^{2}+\dfrac{1}{6} \left( 4-3x\right) \\ & = & \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{2}{8}\left( x-1\right) ^{2}+\dfrac{4}{6}-\dfrac{1 }{2}x \\ & = & \dfrac{1}{2}x^{2}-x+\dfrac{11}{12} \\ & = & \dfrac{1}{2}\left( x^{2}-2x\right) +\dfrac{11}{12} \\ & = & \dfrac{1}{2}\left( x^{2}-2x+1\right) +\dfrac{11}{12}-\dfrac{1}{2} \\ & = & \dfrac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+\dfrac{5}{12}, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} \dfrac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+\dfrac{5}{12}\geq \dfrac{5}{12}, \end{equation*} es decir \begin{equation*} f\left( x,\pm \sqrt{2}\left( x-1\right) ,4-3x\right) \geq f\left( 1,0,1\right) . \end{equation*} Por tanto, en cualquiera de los puntos encontrados, la función \(\left. f\right\vert _{S}\) tiene un mínimo absoluto estricto.