Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Problemas Resueltos de Máximos y Mínimos de Funciones de Dos Variables

Ejemplo 1 Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left(x,y\right) =\dfrac{xy}{\left( 1+x\right) \left( x+y\right) \left( y+8\right)}\] y determinar si son máximos, mínimos relativos o puntos silla.

Ejemplo 2 Encuentra tres números \(a,\) \(b,\) \(c\) positivos tales que su suma sea \(36\) y la función \[f\left( a,b,c\right) =abc\] tenga un máximo relativo.

Ejemplo 3 Encuentra tres números \(a,\) \(b\) y \(c\) positivos cuyo producto sea \(64\) y la función media armónica \[f\left( a,b,c\right) = \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\] tenga un máximo relativo.

Ejemplo 4 Encuentra tres números \(a,\) \(b\) y \(c\) cuyo producto sea \(216\) y la función media aritmética \[f\left( a,b,c\right) =\dfrac{a+b+c}{3}\] tenga un mínimo relativo.

Ejemplo 5 Encuentra tres números \(x,\) \(y\) y \(z\) cuya suma sea \(24\) y la función media geométrica \[f\left( x,y,z\right) =\sqrt[3]{xyz}\] tenga un máximo relativo.

Ejemplo 6 Considera todos los prismas rectangulares de área total igual a \(100\) cm\(^{2}\). Encuentra las dimensiones del prisma rectangular que tenga volumen máximo.

Ejemplo 7 Descomponer el número \(50\) en tres sumandos positivos \(a,b\) y \(c\) de manera que la función suma de inversos \[f\left( a,b,c\right) =\dfrac{1 }{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\] tenga un mínimo relativo.

Ejemplo 8 ¿Cuál es la distancia mínima del punto \(\left( 1,1,0\right)\) a la gráfica de la función \[g\left(x,y\right) =\dfrac{1}{\left( x-1\right) \left( y-1\right) }?\]

Ejemplo 9 Considera todos los prismas rectangulares tales que la suma de las longitudes de sus aristas sea \(156.\) Encuentra las dimensiones del prisma que tenga un volumen máximo.

Ejercicios

  1. Encontrar los puntos estacionarios de la función \[f\left(x,y\right) =xy+\dfrac{8}{x}+\dfrac{27}{y}\] y determinar si son máximos, mínimos relativos o puntos silla.
  2. Encuentra tres números \(a,\) \(b,\) \(c\) positivos tales que su producto sea \(27\) y la función suma \(f\left( a,b,c\right) =a+b+c\) tenga un mínimo relativo.
  3. Escribe el número \(75\) como la suma de tres números positivos \(x,y,z\), tales que la función suma de sus cuadrados \[f\left( x,y,z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}\] tenga un mínimo relativo.
  4. Considera todos los prismas rectangulares de volumen igual a \(512\) cm\(^{3}\). Encuentra las dimensiones del prisma rectangular que tenga área total mínima.
  5. ¿Cuál es la distancia mínima del punto \(\left( -1,5,2\right)\) al plano \(3x+5y-5z+3=0\)?
  6. Considera todos los prismas rectangulares de volumen igual a \(720\) cm\(^{3}\). Encuentra las dimensiones del prisma rectangular cuya suma de las longitudes de sus aristas sea mínima.