Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 2

Solución:

Sabemos que la suma de los tres números es \(36\), es decir, \begin{equation*} a+b+c=36 \end{equation*} y su producto es \begin{equation*} P=abc. \end{equation*} Despejamos \(c\) de la primera ecuación \begin{equation} c=36-a-b, \label{c2}\tag{2.1} \end{equation} sustituimos este valor en la fórmula del producto \(P\) y definimos la función \begin{eqnarray*} f\left( a,b\right) &=&ab\left( 36-a-b\right) \\ &=&36ab-a^{2}b-ab^{2} \label{2.2}\tag{2.2} \end{eqnarray*} en el conjunto abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,a,b>0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden de \(f\left( a,b\right)\): \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial a}\left( a,b\right) =36b-2ab-b^{2}=b\left( 36-2a-b\right) \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial b}\left( a,b\right) =36a-a^{2}-2ab=a\left( 36-a-2b\right) . \end{equation*} Igualamos las derivadas parciales de primer orden a cero y formamos el sistema de dos ecuaciones \begin{eqnarray*} b\left( 36-2a-b\right) &=&0 \\ a\left( 36-a-2b\right) &=&0. \end{eqnarray*} Como \(a\) y \(b\) son ambos distintos de cero, entonces el sistema queda como \begin{eqnarray*} 36-2a-b &=&0 \\ 36-a-2b &=&0. \end{eqnarray*} Restamos la segunda ecuación de la primera \begin{eqnarray*} -a+b &=&0 \\ b &=&a, \end{eqnarray*} sustituimos este valor en la primera ecuación del sistema, y tenemos \begin{eqnarray*} 36-2a-a &=&0 \\ 36-3a &=&0 \\ a &=&\dfrac{36}{3}=12. \end{eqnarray*} De donde, \begin{equation*} a=12=b. \end{equation*} Así, la función \(f\left( a,b\right)\) tiene un único punto estacionario en \(U\), el punto de coordenadas \(\left( 12,12\right)\) y \begin{equation*} f\left( 12,12\right) =\left( 12\right) \left( 12\right) \left( 36-12-12\right) =1728 \end{equation*} Para determinar si el punto \(\left( 12,12\right)\) es un máximo o un mínimo relativo estricto, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que \(\dfrac{\partial f}{\partial a}\left( a,b\right) =36b-2ab-b^{2},\) entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a^{2}}\left( a,b\right) =-2b. \end{equation*} La primera derivada parcial con respecto a \(b\) es \(\dfrac{\partial f}{ \partial b}\left( a,b\right) =36a-a^{2}-2ab,\) entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( a,b\right) =-2a \end{equation*} y las mixtas son \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b\partial a}\left( a,b\right) =36-2a-2b= \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a\partial b}\left( a,b\right) . \end{equation*} De donde, \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a^{2}}\left( 12,12\right) &=&-24 \\ && \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( 12,12\right) &=&-24 \\ && \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b\partial a}\left( 12,12\right) &=&-12. \end{eqnarray*} Así,

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a^{2}}\left( 12,12\right) =-24<0.\)
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( 12,12\right)\) \begin{equation*} H=\left\vert \begin{array}{ccc} -24 & & -12 \\ & & \\ -12 & & -24 \end{array} \right\vert =432>0. \end{equation*}