Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 3

Encuentra tres números \(a,\) \(b\) y \(c\) positivos cuyo producto sea \(64\) y la función media armónica \[f\left( a,b,c\right) =\dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\] tenga un máximo relativo.

Solución:

Sabemos que el producto de los tres números es 64, es decir, \begin{equation*} abc=64 \end{equation*} y la media armónica es \begin{equation*} \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}. \end{equation*} Despejamos \(c\), de la primera ecuación \begin{equation} c=\dfrac{64}{ab}, \label{c3}\tag{3.1} \end{equation} la sustituimos en la fórmula de la media armónica \begin{equation*} \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ab}{64}}=\dfrac{192ab}{ 64b+64a+a^{2}b^{2}}. \end{equation*} y definimos la función \begin{equation*} F\left( a,b\right) =\dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ab}{64}}=\dfrac{ 192ab}{64b+64a+a^{2}b^{2}} \label{3.2}\tag{3.2} \end{equation*} en el dominio abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,a>0,b>0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden de \(F\) \begin{equation*} \dfrac{\partial }{\partial a}F\left( a,b\right) =\dfrac{192b^{2}\left( 64-a^{2}b\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial }{\partial b}F\left( a,b\right) =\dfrac{192a^{2}\left( 64-ab^{2}\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}}. \end{equation*} Igualamos las derivadas parciales a cero \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial }{\partial a}F\left( a,b\right) &=&\dfrac{192b^{2}\left( 64-a^{2}b\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}}=0 \\ \dfrac{\partial }{\partial b}F\left( a,b\right) &=&\dfrac{192a^{2}\left( 64-ab^{2}\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}}=0, \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray*} 192b^{2}\left( 64-a^{2}b\right) &=&0 \\ 192a^{2}\left( 64-ab^{2}\right) &=&0. \end{eqnarray*} Como tanto \(a\) como \(b\) son distintos de cero, entonces \begin{eqnarray*} 64-a^{2}b &=&0 \\ 64-ab^{2} &=&0. \end{eqnarray*} Despejamos \(b\) de la primera de las ecuaciones anteriores \begin{equation*} b=\dfrac{64}{a^{2}}, \end{equation*} sustituimos este valor en la segunda \begin{eqnarray*} 64-a\left( \dfrac{64}{a^{2}}\right) ^{2} &=&0 \\ a &=&4 \end{eqnarray*} y \begin{equation*} b=\dfrac{64}{a^{2}}=\dfrac{64}{16}=4. \end{equation*} Así, el único punto estacionario de la función \(F\left( a,b\right)\), tiene coordenadas \(\left( 4,4\right) .\) Para determinar si el punto \(\left( 4,4\right)\) es un máximo o un mínimo de \(F\left( a,b\right)\), calculamos las derivadas parciales de segundo orden. Recordemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial }{\partial a}F\left( a,b\right) =\dfrac{192b^{2}\left( 64-a^{2}b\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( a,b\right) =\dfrac{ 192b^{2}\left( -2\right) \left( -a^{3}b^{3}+192ab^{2}+4096\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{3}}. \end{equation*} En tanto que como \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial b}\left( a,b\right) =\dfrac{192a^{2}\left( 64-ab^{2}\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b^{2}}\left( a,b\right) =\dfrac{ 192a^{2}\left( -2\right) \left( -a^{3}b^{3}+192a^{2}b+4096\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{3}}. \end{equation*} Ahora calculamos las derivadas mixtas para lo cual recordamos de nuevo que \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial a}\left( a,b\right) =\dfrac{196\left( 64b^{2}-a^{2}b^{3}\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}} \quad \quad \quad y\quad \quad \quad \text{ }\dfrac{\partial F}{\partial b}\left( a,b\right) =\dfrac{192\left( 64a^{2}-a^{3}b^{2}\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{2}}, \end{equation*} así, \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b\partial a}\left( a,b\right) =\dfrac{ 192ab\left( a^{3}b^{3}-192a^{2}b-192ab^{2}+8192\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{3}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a\partial b}\left( a,b\right) =\dfrac{ 192ab\left( a^{3}b^{3}-192a^{2}b-192ab^{2}+8192\right) }{\left( 64b+64a+a^{2}b^{2}\right) ^{3}}. \end{equation*} Observamos que las derivadas mixtas son iguales. Ahora evaluamos las derivadas de segundo orden en el punto \(\left( 4,4\right)\): \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( 4,4\right) =-\dfrac{1}{6} \end{equation*} \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b^{2}}\left( 4,4\right) =-\dfrac{1}{6} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b\partial a}\left( 4,4\right) =\dfrac{ \partial ^{2}F}{\partial a\partial b}\left( 4,4\right) =-\dfrac{1}{12}. \end{equation*} De donde,

\(\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( 4,4\right) =-\dfrac{1}{6} <0.\)
Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( 4,4\right)\) \begin{equation*} \left\vert H\left( F,\left( 4,4\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} -\dfrac{1}{6} & & -\dfrac{1}{12} \\ & & \\ -\dfrac{1}{12} & & -\dfrac{1}{6} \end{array} \right\vert =\dfrac{1}{48}>0. \end{equation*} Por el Teorema 28, en el punto \(\left( 4,4\right)\) hay un máximo relativo estricto de la función \(F\left( a,b\right)\) cuyo valor es \begin{equation*} \dfrac{192\times 4\times 4}{64\times 4+64\times 4+4^{2}\times 4^{2}}=1728. \end{equation*}

El valor de \(c\) correspondiente a \((a,b)=\left( 4,4\right)\) de acuerdo con ( \ref{c3}) es \begin{equation*} c=\dfrac{64}{ab}=\dfrac{64}{4\times 4}=4. \end{equation*} De acuerdo con el Teorema 30, entre los puntos \(\left( a,b,c\right)\) que satisfacen \begin{equation*} abc=64, \end{equation*} la media armónica alcanza un valor máximo relativo estricto en el punto \(\left( 4,4,4\right) .\) Dicho valor es \begin{equation*} \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{\dfrac{3}{4}}=4. \end{equation*} La siguiente imágen muestra la función \(f(a,b)\) definida en (\ref{3.2}), el punto azul es \((4,4,4)\).