Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza${}^2$, Carlos Hernández Garciadiego${}^1$, Emma Lam Osnaya${}^2$ ${}^1$ Instituto de Matemáticas, UNAM; ${}^2$ Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 3

Encuentra tres números $a,$ $b$ y $c$ positivos cuyo producto sea $64$ y la función media armónica $$f(a,b,c)={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}$$ tenga un máximo relativo.

Solución:

Sabemos que el producto de los tres números es 64, es decir, $$abc=64$$ y la media armónica es $${\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}.$$ Despejamos $c$, de la primera ecuación $$\begin{array}{}\text{(3.1)}& c={\displaystyle \frac{64}{ab}},\end{array}$$ la sustituimos en la fórmula de la media armónica $${\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ab}{64}}}={\displaystyle \frac{192ab}{64b+64a+a^2{b}^2}}.$$ y definimos la función $$\begin{array}{}\text{(3.2)}& F(a,b)={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{ab}{64}}}={\displaystyle \frac{192ab}{64b+64a+a^2{b}^2}}\end{array}$$ en el dominio abierto $$U=\{(a,b)\in {\mathbb{R}}^2|a>0,b>0\}.$$ Calculamos las derivadas parciales de primer orden de $F$ $${\displaystyle \frac{\partial }{\partial a}}F(a,b)={\displaystyle \frac{192b^2(64-a^{2}b)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}}$$ y $${\displaystyle \frac{\partial }{\partial b}}F(a,b)={\displaystyle \frac{192a^2(64-a{b}^2)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}}.$$ Igualamos las derivadas parciales a cero $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial a}}F(a,b)& =& {\displaystyle \frac{192b^2(64-a^{2}b)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}}=0\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial b}}F(a,b)& =& {\displaystyle \frac{192a^2(64-a{b}^2)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}}=0,\end{array}$$ de donde $$\begin{array}{rcl}192b^2(64-a^{2}b)& =& 0\\ 192a^2(64-a{b}^2)& =& 0.\end{array}$$ Como tanto $a$ como $b$ son distintos de cero, entonces $$\begin{array}{rcl}64-a^{2}b& =& 0\\ 64-a{b}^2& =& 0.\end{array}$$ Despejamos $b$ de la primera de las ecuaciones anteriores $$b={\displaystyle \frac{64}{a^2}},$$ sustituimos este valor en la segunda $$\begin{array}{rcl}64-a{\left({\displaystyle \frac{64}{a^2}}\right)}^2& =& 0\\ a& =& 4\end{array}$$ y $$b={\displaystyle \frac{64}{a^2}}={\displaystyle \frac{64}{16}}=4.$$ Así, el único punto estacionario de la función $F(a,b)$, tiene coordenadas $(4,4).$ Para determinar si el punto $(4,4)$ es un máximo o un mínimo de $F(a,b)$, calculamos las derivadas parciales de segundo orden. Recordemos que $${\displaystyle \frac{\partial }{\partial a}}F(a,b)={\displaystyle \frac{192b^2(64-a^{2}b)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}},$$ entonces $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial a^2}}(a,b)={\displaystyle \frac{192b^2(-2)(-a^3{b}^3+192a{b}^2+4096)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^3}}.$$ En tanto que como $${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b}}(a,b)={\displaystyle \frac{192a^2(64-a{b}^2)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}},$$ entonces $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial b^2}}(a,b)={\displaystyle \frac{192a^2(-2)(-a^3{b}^3+192a^{2}b+4096)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^3}}.$$ Ahora calculamos las derivadas mixtas para lo cual recordamos de nuevo que $${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a}}(a,b)={\displaystyle \frac{196(64b^2-a^2{b}^3)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}}y{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial b}}(a,b)={\displaystyle \frac{192(64a^2-a^3{b}^2)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^2}},$$ así, $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial b\partial a}}(a,b)={\displaystyle \frac{192ab(a^3{b}^3-192a^{2}b-192a{b}^2+8192)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^3}}$$ y $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial a\partial b}}(a,b)={\displaystyle \frac{192ab(a^3{b}^3-192a^{2}b-192a{b}^2+8192)}{{(64b+64a+a^2{b}^2)}^3}}.$$ Observamos que las derivadas mixtas son iguales. Ahora evaluamos las derivadas de segundo orden en el punto $(4,4)$: $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial a^2}}(4,4)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$$ $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial b^2}}(4,4)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$$ y $${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial b\partial a}}(4,4)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial a\partial b}}(4,4)=-{\displaystyle \frac{1}{12}}.$$ De donde,

• ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}F}{\partial a^2}}(4,4)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}<0.$
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto $(4,4)$ $$\left|H(F,(4,4))\right|=\left|\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{1}{6}}& & -{\displaystyle \frac{1}{12}}\\ & & \\ -{\displaystyle \frac{1}{12}}& & -{\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\right|={\displaystyle \frac{1}{48}}>0.$$ Por el Teorema 28, en el punto $(4,4)$ hay un máximo relativo estricto de la función $F(a,b)$ cuyo valor es $${\displaystyle \frac{192\times 4\times 4}{64\times 4+64\times 4+4^2\times 4^2}}=1728.$$