Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 1

Solución:

El dominio de la función \(f\left( x,y\right)\) es \(\mathbb{R} ^{2}\setminus \left\{ \left. \left( x,y\right) \right\vert \,x=-1,y=-x,y=-8\right\}.\) Calculamos las derivadas parciales de primer orden \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) &=&\dfrac{y\left( 1+x\right) \left( x+y\right) \left( y+8\right) -\left( \left( x+y\right) \left( y+8\right) +\left( 1+x\right) \left( y+8\right) \right) xy}{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}} \\ &=&\dfrac{\left( y+8\right) y\left( \left( 1+x\right) \left( x+y\right) -\left( 1+2x+y\right) x\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}} \\ &=&\dfrac{y\left( y-x^{2}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) \left( x+y\right) ^{2}}. \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) &=&\dfrac{x\left( 1+x\right) \left( x+y\right) \left( y+8\right) -xy\left( \left( 1+x\right) \left( y+8\right) +\left( 1+x\right) \left( x+y\right) \right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}} \\ &=&\dfrac{x\left( 1+x\right) \left( \left( x+y\right) \left( y+8\right) -y\left( y+8+x+y\right) \right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}} \\ &=&\dfrac{x\left( 8x+8y+xy+y^{2}-8y-xy-2y^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}} \\ &=&\dfrac{x\left( 8x-y^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}}. \end{eqnarray*} Igualamos las derivadas parciales de primer orden a cero y formamos el sistema de dos ecuaciones \begin{eqnarray} y\left( y-x^{2}\right) &=&0 \label{sis1.1}\tag{1.1} \\ x\left( 8x-y^{2}\right) &=&0. \notag \end{eqnarray} De la primera ecuación tenemos que \begin{equation*} y=0 \quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad y=x^{2}. \end{equation*}

• Si \(y=0,\) entonces de la segunda ecuación tenemos \begin{equation*} x\left( 8x\right) =0, \end{equation*} de donde \(x=0\); pero este caso no es aceptable, ya que habría un factor igual a cero en el denominador de \(f\left( x,y\right)\) y la función no está definida.
• Si \(y\neq 0\) y \(y=x^{2},\) entonces \(x\neq 0\) y el sistema (\ref{sis1.1} ) se reduce a \begin{eqnarray*} y-x^{2} &=&0 \\ 8x-y^{2} &=&0, \end{eqnarray*} ya que tanto \(x\) como \(y\) son distintos de cero.

  Sustituimos \(y=x^{2}\) en la segunda ecuación \begin{eqnarray*} 8x-x^{4} &=&0 \\ x\left( 8-x^{3}\right) &=&0, \end{eqnarray*} como \(x\neq 0,\) entonces \begin{equation*} 8-x^{3}=0, \end{equation*} de donde \(x=2\) y \(y=4.\)

Para determinar si el punto \(\left( 2,4\right)\) es un máximo o un mínimo relativo, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que las derivadas de primer orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) &=&\dfrac{y\left( y-x^{2}\right) }{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) \left( x+y\right) ^{2}} \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) &=&\dfrac{x\left( 8x-y^{2}\right) }{\left( x+1\right) \left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{2}}. \end{eqnarray*} Entonces las derivadas de segundo orden son \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} &=&\dfrac{-2y\left( -x^{3}+3xy+y^{2}+y\right) }{\left( x+1\right) ^{3}\left( y+8\right) \left( x+y\right) ^{3}} \\ && \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} &=&\dfrac{-2x\left( 8x^{2}+24xy+64x-y^{3}\right) }{\left( x+1\right) \left( y+8\right) ^{3}\left( x+y\right) ^{3}} \end{eqnarray*} y \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} &=&\dfrac{ -8x^{3}+2x^{2}y^{2}+8x^{2}y+xy^{2}+16xy-y^{3}}{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{3}} \\ && \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y} &=&\dfrac{ -8x^{3}+2x^{2}y^{2}+8x^{2}y+xy^{2}+16xy-y^{3}}{\left( x+1\right) ^{2}\left( y+8\right) ^{2}\left( x+y\right) ^{3}}. \end{eqnarray*} Evaluamos estas derivadas en \(\left( 2,4\right)\) \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 2,4\right) &=&\dfrac{-2\left( 4\right) \left( -\left( 2\right) ^{3}+3\left( 2\right) 4+4^{2}+4\right) }{ \left( 2+1\right) ^{3}\left( 4+8\right) \left( 2+4\right) ^{3}} \\ &=&\dfrac{-2\left( 4\right) \left( -\left( 2\right) ^{3}+3\left( 2^{3}\right) +2^{4}+2^{2}\right) }{3^{3}\left( 2^{2}3\right) 2^{3}3^{3}} \\ &=&\dfrac{-2\left( 2^{2}\right) 2^{2}\left( -2+3\left( 2\right) +2^{2}+1\right) }{2^{5}3^{7}} \\ &=&\dfrac{-3^{2}}{3^{7}} \\ &=&\dfrac{-1}{3^{5}}. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 2,4\right) &=&\dfrac{-2\left( 2\right) \left( 8\left( 2\right) ^{2}+24\left( 2\right) 4+64\left( 2\right) -4^{3}\right) }{\left( 2+1\right) \left( 4+8\right) ^{3}\left( 2+4\right) ^{3}} \\ &=&\dfrac{-2^{2}\left( 2^{5}+2^{6}3+2^{7}-2^{6}\right) }{3\left( 2^{6}3^{3}\right) \left( 2^{3}3^{3}\right) } \\ &=&\dfrac{-2^{2}2^{5}\left( 1+2\left( 3\right) +2^{2}-2\right) }{2^{9}3^{7}} \\ &=&\dfrac{-9}{2^{2}3^{7}} \\ &=&\dfrac{-1}{2^{2}3^{5}}. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 2,4\right) &=&\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( 2,4\right) =\dfrac{-8\left( 2\right) ^{3}+2\left( 2\right) ^{2}\left( 4\right) ^{2}+8\left( 2\right) ^{2}4+2\left( 4\right) ^{2}+16\left( 2\right) 4-\left( 4\right) ^{3}}{\left( 2+1\right) ^{2}\left( 4+8\right) ^{2}\left( 2+4\right) ^{3}} \\ &=&\dfrac{-2^{6}+2^{7}+2^{7}+2^{5}+2^{7}-2^{6}}{3^{2}2^{4}3^{2}2^{3}3^{3}} \\ &=&\dfrac{2^{5}\left( -2+2^{2}+2^{2}+1+2^{2}-2\right) }{2^{7}3^{7}} \\ &=&\dfrac{9}{2^{2}3^{7}} \\ &=&\dfrac{1}{2^{2}3^{5}}. \end{eqnarray*} Tenemos que

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 2,4\right) =-\dfrac{1}{ 3^{5}}<0.\)
• Calculamos el determinante de matriz hessiana en \(\left( 2,4\right)\) \begin{eqnarray*} \left\vert H\left( f,\left( 2,4\right) \right) \right\vert &=&\left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 2,4\right) & & \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 2,4\right) \\ & & \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( 2,4\right) & & \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 2,4\right) \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&\left\vert \begin{array}{ccc} -\dfrac{1}{3^{5}} & & \dfrac{1}{2^{2}3^{5}} \\ & & \\ \dfrac{1}{2^{2}3^{5}} & & -\dfrac{1}{2^{2}3^{5}} \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&\dfrac{1}{3^{5}}\left\vert \begin{array}{ccc} -1 & & \dfrac{1}{2^{2}} \\ & & \\ \dfrac{1}{2^{2}3^{5}} & & -\dfrac{1}{2^{2}3^{5}} \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&\dfrac{1}{3^{5}}\left( \dfrac{1}{2^{2}3^{5}}\right) \left\vert \begin{array}{ccc} -1 & & \dfrac{1}{2^{2}} \\ & & \\ 1 & & -1 \end{array} \right\vert \\ && \\ &=&\dfrac{1}{2^{2}3^{10}}\left( 1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) >0. \end{eqnarray*} Por el Teorema 28, en \(\left( 2,4\right)\) se alcanza un máximo relativo estricto y el valor de la función ahí es \begin{equation*} f\left( 2,4\right) =\dfrac{2\left( 4\right) }{\left( 1+2\right) \left( 2+4\right) \left( 4+8\right) }=\dfrac{8}{3\left( 6\right) \left( 12\right) }= \dfrac{1}{27}. \end{equation*} Gráfica de Mathematica
  En la siguiente gráfica de la función está marcado un punto en rojo que es el punto \((2,4)\) que encontramos y no se puede apreciar bien que ese punto sea un máximo relativo.

  Gráfica completa de la función

  En la siguiente gráfica, estamos dibujando únicamente el primer cuadrante, para poder observar que efectivamente el punto \((2,4)\) es un máximo relativo.

  Gráfica de la función sólo en el primer cuadrante