Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 8

¿Cuál es la distancia mínima del punto \(\left( 1,1,0\right)\) a la gráfica de la función \begin{equation*} g\left( x,y\right) =\dfrac{1}{\left( x-1\right) \left( y-1\right) } ? \label{8.1}\tag{8.1} \end{equation*}

Solución:

La distancia de la gráfica de la función al punto \(\left( 1,1,0\right)\) es \begin{equation*} d\left( \left( x,y,\dfrac{1}{\left( x-1\right) \left( y-1\right) }\right) ,\left( 1,1,0\right) \right) =\sqrt{\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}+\dfrac{1}{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{2}}}. \end{equation*} Llamamos \begin{equation*} f\left( x,y\right) =d^{2}\left( \left( x,y,\dfrac{1}{\left( x-1\right) \left( y-1\right) }\right) ,\left( 1,1,0\right) \right) , \end{equation*} es decir \begin{equation*} f\left( x,y\right) =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}+\dfrac{1}{ \left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{2}}. \label{8.2}\tag{8.2} \end{equation*} que está definida en el abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,x,y\neq 1\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =2\left( x-1\right) -\dfrac{2 }{\left( x-1\right) ^{3}\left( y-1\right) ^{2}} \quad \quad \text{y} \quad \quad \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =2\left( y-1\right) - \dfrac{2}{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{3}}. \end{equation*} Las igualamos a cero, formando el sistema \begin{eqnarray*} 2\left( x-1\right) -\dfrac{2}{\left( x-1\right) ^{3}\left( y-1\right) ^{2}} &=&0 \\ 2\left( y-1\right) -\dfrac{2}{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{3}} &=&0. \end{eqnarray*} De la primera ecuación tenemos \begin{eqnarray*} 2\left( x-1\right) &=&\dfrac{2}{\left( x-1\right) ^{3}\left( y-1\right) ^{2}} \\ \left( x-1\right) ^{4}\left( y-1\right) ^{2} &=&1 \end{eqnarray*} y de la segunda \begin{eqnarray*} 2\left( y-1\right) &=&\dfrac{2}{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{3}} \\ \left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{4} &=&1 \end{eqnarray*} entonces \begin{eqnarray*} \left( x-1\right) ^{4}\left( y-1\right) ^{2} &=&\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{4} \\ \left( x-1\right) ^{2} &=&\left( y-1\right) ^{2} \\ \left\vert x-1\right\vert &=&\left\vert y-1\right\vert , \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x-1=y-1 \quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad x-1=-\left( y-1\right) \end{equation*} así, \begin{equation} x=y \quad \quad \quad\text{o} \quad \quad \quad x=-y+2. \label{Problema9}\tag{8.3} \end{equation} Sustituimos el valor de \(\left( x-1\right) ^{2}\) por \(\left( y-1\right) ^{2}\) en la segunda ecuación del sistema \begin{eqnarray*} 2\left( y-1\right) -\dfrac{2}{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{3}} &=&0 \\ 2\left( y-1\right) -\dfrac{2}{\left( y-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{3}} &=&0 \\ 2\left( y-1\right) &=&\dfrac{2}{\left( y-1\right) ^{5}} \\ \left( y-1\right) ^{6} &=&1 \\ \left\vert y-1\right\vert &=&1, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y-1=1 \quad \quad \quad\text{ o }\quad \quad \quad y-1=-1, \end{equation*} es decir, \begin{equation*} y=2\ \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=0. \end{equation*} Sustituimos estos valores de \(y\) en (\ref{Problema9}):

Si \(y=2,\) entonces \begin{equation*} x=y=2 \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad x=-y+2=-2+2=0. \end{equation*} Si \(y=0,\) entonces \begin{equation*} x=y=0 \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad x=-y+2=-0+2=2. \end{equation*} Así, los puntos estacionarios son: \begin{equation*} \left( 0,0\right) ,\quad \quad \quad \left( 0,2\right) ,\quad \quad \quad \left( 2,0\right) \text{, } \quad \quad \quad \left( 2,2\right) . \end{equation*} Para determinar si en los puntos estacionarios la función \(f\left( x,y\right)\) tiene un máximo o un mínimo, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Como \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right) =2\left( x-1\right) -\dfrac{2 }{\left( x-1\right) ^{3}\left( y-1\right) ^{2}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) =2+\dfrac{6}{\left( x-1\right) ^{4}\left( y-1\right) ^{2}}. \end{equation*} Recordemos que \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right) =2\left( y-1\right) -\dfrac{2 }{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{3}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =2+\dfrac{6}{\left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{4}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\dfrac{4}{\left( x-1\right) ^{3}\left( y-1\right) ^{3}}. \end{equation*} Sea \(\left( a,b\right)\) cualquiera de los puntos críticos, entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( a,b\right) =8=\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( a,b\right) \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( a,b\right) =\pm 4. \end{equation*} Así,

La siguiente imágen muestra la función \(g(x,y)\) definida en (\ref{8.1}), Gráfica de la función \(g\) \begin{equation*} g\left( x,y\right) =\dfrac{1}{\left( x-1\right) \left( y-1\right) } \end{equation*} El punto rojo es \((1,1,0)\) y los puntos verdes son \(\left( 0,0,1\right) , \left( 0,2,-1\right) , \left( 2,0,-1\right) , \left(2,2,1\right)\).

La siguiente imágen se muestra la función definida en (\ref{8.2}) Gráfica de la función \(f\) \begin{equation*} f\left( x,y\right) =\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}+\dfrac{1}{ \left( x-1\right) ^{2}\left( y-1\right) ^{2}}. \end{equation*}