Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 6

Considera todos los prismas rectangulares de área total igual a \(100\) cm\(^{2}\). Encuentra las dimensiones del prisma rectangular que tenga volumen máximo.

Solución:

Sabemos que el área lateral de un prisma es \begin{equation*} A=2\left( ab+ac+bc\right) =100, \end{equation*} de donde \begin{eqnarray} ab+ac+bc &=&50 \notag \\ a\left( b+c\right) &=&50-bc \notag \\ a &=&\dfrac{50-bc}{b+c}, \label{a6}\tag{6.1} \end{eqnarray} ya que \(b+c>0\) por ser \(b\) y \(c\) lados de un prisma. Sustituimos este valor en la fórmula del volumen \begin{equation*} V=abc=\left( \dfrac{50-bc}{b+c}\right) bc, \end{equation*} y definimos la función \begin{eqnarray*} f\left( b,c\right) &=&\left( \dfrac{50-bc}{b+c}\right) bc \\ &=&\dfrac{50bc-b^{2}c^{2}}{b+c}, \label{6.2}\tag{6.2} \end{eqnarray*} en el dominio abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( b,c\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,b+c\neq 0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden de \(f\) \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial b}\left( b,c\right) =\dfrac{c^{2}\left( 50-b^{2}-2bc\right) }{\left( b+c\right) ^{2}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial c}\left( b,c\right) =\dfrac{b^{2}\left( 50-2bc-c^{2}\right) }{\left( b+c\right) ^{2}}. \end{equation*} Estas derivadas están definidas en \(\mathbb{R}^{2}\) excepto para los puntos \((b,c)\) con \(c=-b.\)

Igualamos estas derivadas a cero \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial b}\left( b,c\right) &=&\dfrac{c^{2}\left( 50-b^{2}-2bc\right) }{\left( b+c\right) ^{2}}=0 \\ \dfrac{\partial f}{\partial c}\left( b,c\right) &=&\dfrac{b^{2}\left( 50-2bc-c^{2}\right) }{\left( b+c\right) ^{2}}=0, \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray*} 50-b^{2}-2bc &=&0 \\ 50-2bc-c^{2} &=&0. \end{eqnarray*} Y resolvemos este sistema, restando la segunda ecuación de la primera, \begin{eqnarray*} c^{2}-b^{2} &=&0 \\ \left( c-b\right) \left( c+b\right) &=&0, \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} c-b=0 \quad \quad \quad \text{o}\quad \quad \quad c+b=0, \end{equation*} El caso \(c+b=0\), lo eliminamos, pues en ese caso \((b,c)\notin U\). De donde, \begin{equation*} c=b. \end{equation*} Sustituimos en la primera ecuación \(c=b\) \begin{eqnarray*} 50-b^{2}-2bc &=&0 \\ 50-b^{2}-2b^{2} &=&0 \\ \left\vert b\right\vert &=&\sqrt{\dfrac{50}{3}}, \end{eqnarray*} como \(b\) es la longitud de una de las aristas del prisma, sólo consideramos \(b=\sqrt{\dfrac{50}{3}}\approx 4.08\)

De donde \(b=c=\sqrt{\dfrac{50}{3}}.\)

Así, el punto de coordenadas \(\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{\dfrac{ 50}{3}}\right)\) es el único punto estacionario y el valor de \(f\) en ese punto es \begin{equation*} f\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) =\dfrac{50\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) \left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) -\left( \sqrt{ \dfrac{50}{3}}\right) ^{2}\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) ^{2}}{\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) +\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) }=\frac{250}{ 9}\sqrt{2}\sqrt{3}\approx 68. \end{equation*} Para determinar si el punto \(\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{\dfrac{50}{3}} \right)\) es un máximo o un mínimo de \(f\left( x,y\right)\), calculamos las derivadas parciales de segundo orden. Como \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial b}\left( b,c\right) =\dfrac{c^{2}\left( 50-b^{2}-2bc\right) }{\left( b+c\right) ^{2}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( b,c\right) =\dfrac{ -2c^{2}\left( c^{2}+50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}}. \end{equation*} Ahora, como \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial c}\left( b,c\right) =\dfrac{b^{2}\left( 50-2bc-c^{2}\right) }{\left( b+c\right) ^{2}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}\left( b,c\right) =\dfrac{ -2b^{2}\left( b^{2}+50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}}. \end{equation*} Finalmente \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial c\partial b}\left( b,c\right) =\dfrac{ -2bc\left( b^{2}+3bc+c^{2}-50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b\partial c}\left( b,c\right) =\dfrac{ -2bc\left( b^{2}+3bc+c^{2}-50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}}. \end{equation*} Observamos que las derivadas mixtas son iguales. Ahora evaluamos las derivadas de segundo orden en el punto \(\left( \sqrt{ \dfrac{50}{3}},\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right)\): Recordemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( b,c\right) =\dfrac{ -2c^{2}\left( c^{2}+50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{ \dfrac{50}{3}}\right) =-\sqrt{\dfrac{50}{3}}. \end{equation*} En tanto que como \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}\left( b,c\right) =\dfrac{ -2b^{2}\left( b^{2}+50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}} \end{equation*} tenemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial c^{2}}\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{ \dfrac{50}{3}}\right) =-\sqrt{\dfrac{50}{3}}, \end{equation*} finalmente para las derivadas mixtas tenemos \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f\left( b,c\right) }{\partial b\partial c} &=&\dfrac{ -2bc\left( b^{2}+3bc+c^{2}-50\right) }{\left( b+c\right) ^{3}} \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b\partial c}\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}, \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) &=&-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{50}{3}}. \end{eqnarray*} Así,

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}}, \sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) =-\sqrt{\dfrac{50}{3}}<0.\)
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right)\) \begin{equation*} \left\vert H\left( f,\left( \sqrt{\dfrac{50}{3}},\sqrt{\dfrac{50}{3}}\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} -\sqrt{\dfrac{50}{3}} & & -\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{50}{3}} \\ & & \\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{50}{3}} & & -\sqrt{\dfrac{50}{3}} \end{array} \right\vert =\dfrac{25}{2}>0. \end{equation*}