Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 9

Considera todos los prismas rectangulares tales que la suma de las longitudes de sus aristas sea \(156. \) Encuentra las dimensiones del prisma que tenga un volumen máximo.

Solución:

Llamamos \(a, \) \(b \) y \(c \) a las longitudes de las aristas del prisma, entonces sabemos que la suma de las longitudes de sus aristas es \begin{equation*} 4a+4b+4c=156. \end{equation*} Queremos encontrar los valores de \(a, \) \(b, \) \(c>0 \) para que \begin{equation*} V=abc \end{equation*} sea máximo. Despejamos \(c \) de la primera ecuación \begin{equation} c=39-\left( a+b\right) , \label{c9}\tag{9.1} \end{equation} sustituimos este valor en la ecuación del volumen \begin{equation*} abc=ab\left( 39-\left( a+b\right) \right) =39ab-ab^{2}-a^{2}b. \end{equation*} y definimos la función \begin{equation*} f\left( a,b\right) =39ab-ab^{2}-a^{2}b \label{9.2}\tag{9.2} \end{equation*} en el dominio abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,a,b>0 \text{ y }39-\left( a+b\right) >0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial a}=39b-b^{2}-2ab \quad \quad \quad \text{y }\quad \quad \quad \dfrac{\partial f}{\partial b}=39a-2ab-a^{2}. \end{equation*} Resolvemos el sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} 39b-b^{2}-2ab &=&0 \\ 39a-2ab-a^{2} &=&0 \end{eqnarray*} restando la segunda ecuación de la primera \begin{eqnarray*} b\left( 39-b-2a\right) &=&0 \\ a\left( 39-2b-a\right) &=&0. \end{eqnarray*} Como \(a,b>0 \), entonces \begin{eqnarray*} 39-b-2a &=&0 \\ 39-2b-a &=&0. \end{eqnarray*} Despejamos \(b \) de la primera ecuación del sistema \begin{equation*} b=39-2a \end{equation*} y la sustituimos en la segunda \begin{eqnarray*} 39-2\left( 39-2a\right) -a &=&0 \\ a &=&13 \end{eqnarray*} y \begin{equation*} b=39-2\left( 13\right) =13. \end{equation*} Así, el punto de coordenadas \(\left( 13,13\right) \) es el único punto estacionario.

Para determinar si el punto \(\left( 13,13\right) \) es un máximo o un mínimo, calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que las derivada parciales de primer orden son \begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial a}=39b-b^{2}-2ab \quad \quad \quad \text{y } \quad \quad \quad \dfrac{\partial f}{\partial b}=39a-2ab-a^{2}. \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de segundo orden \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a^{2}}=-2b\quad \quad \quad \dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial b^{2}}=-2a\quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b\partial a}=39-2b-2a=\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a\partial b}, \end{equation*} de donde \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a^{2}}\left( 13,13\right) =-26,\quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b^{2}}\left( 13,13\right) =-26, \quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial b\partial a}\left( 12,12\right) =\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a\partial b}\left( 12,12\right) =-13. \end{equation*} Así

• \(\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial a^{2}}\left( 12,12\right) =-26 < 0. \)
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( 13,13\right) \) \begin{equation*} \left\vert H\left( f,\left( 13,13\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{cc} -26 & -13 \\ -13 & -26 \end{array} \right\vert =507>0. \end{equation*} Por el Teorema 28., en \(\left( 13,13\right) \) la función \(f\left( a,b\right) \) tiene un máximo y dicho valor es \begin{equation*} f\left( 13,13\right) =39\left( 13\right) \left( 13\right) -\left( 13\right) \left( 13\right) ^{2}-\left( 13\right) ^{2}\left( 13\right) =2197. \end{equation*}