Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 4

Encuentra tres números \(a, \) \(b \) y \(c \) cuyo producto sea \(216 \) y la función media aritmética \[f\left( a,b,c\right) = \dfrac{a+b+c}{3}\] tenga un mínimo relativo.

Solución:

De la ecuación \begin{equation*} abc=216 \end{equation*} se sigue que \(a,b,c\neq 0 \) y al despejar \(c \) obtenemos \begin{equation} c=\dfrac{216}{ab}. \label{c4}\tag{4.1} \end{equation} Sustituimos este valor en la media aritmética \begin{equation*} \dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{1}{3}\left( a+b+\dfrac{216}{ab}\right) \end{equation*} y definimos la función \begin{equation*} F\left( a,b\right) =\dfrac{1}{3}\left( a+b+\dfrac{216}{ab}\right) =\dfrac{1}{ 3}\left( \dfrac{a^{2}b+ab^{2}+216}{ab}\right) . \label{4.2}\tag{4.2} \end{equation*} en el dominio abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,ab\neq 0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden de \(F \) \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial a}\left( a,b\right) =\dfrac{a^{2}b-216}{3a^{2}b} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial b}\left( a,b\right) =\dfrac{ab^{2}-216}{3ab^{2}}. \end{equation*} Igualamos estas derivadas a cero \begin{eqnarray*} \dfrac{a^{2}b-216}{3a^{2}b} &=&0 \\ \dfrac{ab^{2}-216}{3ab^{2}} &=&0, \end{eqnarray*} es decir, \begin{eqnarray*} a^{2}b-216 &=&0 \\ ab^{2}-216 &=&0. \end{eqnarray*} Despejamos \(b \) de la primera ecuación \begin{equation*} b=\dfrac{216}{a^{2}} \end{equation*} y la sustituimos en la segunda \begin{eqnarray*} a\left( \dfrac{216}{a^{2}}\right) ^{2}-216 &=&0 \\ a &=&6 \end{eqnarray*} así, \begin{equation*} b=\dfrac{216}{36}=6. \end{equation*} Entonces, el punto de coordenadas \(\left( 6,6\right) \) es el único punto estacionario de \(F\left( a,b\right) \) y \begin{equation*} F\left( 6,6\right) =\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{\left( 6\right) ^{2}\left( 6\right) +\left( 6\right) \left( 6\right) ^{2}+216}{\left( 6\right) \left( 6\right) }\right) =6. \end{equation*} Para determinar si el punto \(\left( 6,6\right) \) es un máximo o un mínimo de \(F\left( a,b\right) \), calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial a}\left( a,b\right) =\dfrac{a^{2}b-216}{3a^{2}b} \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( a,b\right) =\dfrac{144}{a^{3}b}. \end{equation*} En tanto que como \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial b}\left( a,b\right) =\dfrac{ab^{2}-216}{3ab^{2}} \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b^{2}}\left( a,b\right) =\dfrac{144}{ab^{3}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b\partial a}\left( a,b\right) =\dfrac{72}{ a^{2}b^{2}}=\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a\partial b}\left( a,b\right) . \end{equation*} Evaluamos las derivadas de segundo orden en \(\left( 6,6\right) \) \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( 6,6\right) &=&\dfrac{144}{ 6^{3}\left( 6\right) }=\dfrac{1}{9} \\ \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b^{2}}\left( 6,6\right) &=&\dfrac{144}{ \left( 6\right) 6^{3}}=\dfrac{1}{9} \\ \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial b\partial a}\left( 6,6\right) &=&\dfrac{72}{ 6^{2}6^{2}}=\dfrac{1}{18}. \end{eqnarray*} De donde.

• \(\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( 6,6\right) =\dfrac{1}{9} >0. \)
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( 6,6\right) \) \begin{equation*} \left\vert H\left( F,\left( 6,6\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{1}{9} & & \dfrac{1}{18} \\ & & \\ \dfrac{1}{18} & & \dfrac{1}{9} \end{array} \right\vert =\dfrac{1}{108}>0. \end{equation*}