Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 5

Encuentra tres números \(x,\) \(y\) y \(z\) cuya suma sea \(24\) y la función media geométrica \(f\left( x,y,z\right) =\sqrt[3]{xyz}\) tenga un máximo relativo.

Solución:

Sabemos que \begin{equation*} x+y+z=24, \end{equation*} de donde, \begin{equation} z=24-x-y. \label{z5}\tag{5.1} \end{equation} Sustituimos este valor en la media geométrica \begin{equation*} \sqrt[3]{xyz}=\sqrt[3]{xy\left( 24-x-y\right) } \end{equation*} y definimos la función \begin{equation*} F\left( x,y\right) =\sqrt[3]{xy\left( 24-x-y\right) }=\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{1}{3}}. \label{5.2}\tag{5.2} \end{equation*} en el dominio abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,24xy-x^{2}y-xy^{2}\neq 0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden de \(F\) \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{24y-2xy-y^{2}}{ 3\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{2}{3}}} \end{equation*} y \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial y}\left( x,y\right) =\dfrac{24x-x^{2}-2xy}{ 3\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{2}{3}}}. \end{equation*} Igualamos estas derivadas a cero \begin{eqnarray*} \dfrac{24y-2xy-y^{2}}{3\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{2}{3}}} &=&0 \\ \dfrac{24x-x^{2}-2xy}{3\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{2}{3}}} &=&0, \end{eqnarray*} es decir, \begin{eqnarray*} 24y-2xy-y^{2} &=&0 \\ 24x-x^{2}-2xy &=&0, \end{eqnarray*} de donde \begin{eqnarray*} y\left( 24-2x-y\right) &=&0 \\ x\left( 24-x-2y\right) &=&0. \end{eqnarray*} Observamos que si \(x=0\) o \(y=0\), entonces \((x,y)\notin U,\) así que \(x,y\neq 0\) y el sistema anterior se reduce a \begin{eqnarray*} 24-2x-y &=&0 \\ 24-x-2y &=&0. \end{eqnarray*} Despejamos \(y\) de la primera \begin{equation*} y=24-2x \end{equation*} y la sustituimos en la segunda del sistema de ecuaciones \begin{eqnarray*} 24-x-2\left( 24-2x\right) &=&0 \\ 3x-24 &=&0 \\ x &=&8 \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} y=24-2\left( 8\right) =8. \end{equation*} Las derivadas de primer orden están definidas en \(\left( 8,8\right)\) ya que \begin{equation*} 24\times 8^{2}-8^{2}\times 8-8\times 8^{2}=512\neq 0 \end{equation*} y valen \(0.\) Así, el punto de coordenadas \(\left( 8,8\right)\) es el único punto estacionario. El valor de la función \(F\) \(\left( 8,8\right)\) es \begin{equation*} F\left( 8,8\right) =\left( 24\left( 8\right) \left( 8\right) -\left( 8\right) ^{2}\left( 8\right) -\left( 8\right) \left( 8\right) ^{2}\right) ^{ \frac{1}{3}}=8 \end{equation*} Para determinar si el punto \(\left( 8,8\right)\) es un máximo o un mínimo de \(F\left( x,y\right)\), calculamos las derivadas parciales de segundo orden. Recordemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{24y-2xy-y^{2}}{ 3\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{2}{3}}}, \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) =\dfrac{ -2y^{2}\left( x^{2}+y^{2}+xy-24x-48y+576\right) }{9\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{5}{3}}}. \end{equation*} En tanto que, como \begin{equation*} \dfrac{\partial F}{\partial y}\left( x,y\right) =\dfrac{24x-x^{2}-2xy}{ 3\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{2}{3}}} \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =\dfrac{ -2x^{2}\left( x^{2}+y^{2}+xy-48x-24y+576\right) }{9\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{5}{3}}}. \end{equation*} Y las derivadas mixtas son \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{ \partial ^{2}F}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\dfrac{2xy\left( x^{2}+y^{2}+xy-36x-36y+288\right) }{9\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{ \frac{5}{3}}}. \end{equation*} Ahora evaluamos las derivadas de segundo orden en el punto \(\left( 8,8\right) .\) Recordemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}\left( x,y\right) =\dfrac{ -2y^{2}\left( x^{2}+y^{2}+xy-24x-48y+576\right) }{9\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{5}{3}}}, \end{equation*} de donde, \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}\left( 8,8\right) =-\dfrac{1}{12}. \end{equation*} Y sabemos que \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}\left( x,y\right) =\dfrac{ -2x^{2}\left( x^{2}+y^{2}+xy-48x-24y+576\right) }{9\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{5}{3}}}, \end{equation*} de donde \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}\left( 8,8\right) =-\dfrac{1}{12}. \end{equation*} Finalmente, como \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}\left( x,y\right) =\dfrac{ 2xy\left( x^{2}+y^{2}+xy-36x-36y+288\right) }{9\left( 24xy-x^{2}y-xy^{2}\right) ^{\frac{4}{3}}} \end{equation*} entonces \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}\left( 8,8\right) =-\dfrac{1}{24} . \end{equation*} Así,

• \(\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}\left( 8,8\right) =-\dfrac{1}{12 }<0.\)
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( 8,8\right)\) \begin{equation*} \left\vert H\left( F,\left( 8,8\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} -\dfrac{1}{12} & & -\dfrac{1}{24} \\ & & \\ -\dfrac{1}{24} & & -\dfrac{1}{12} \end{array} \right\vert =\dfrac{1}{192}>0. \end{equation*}