Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 7

Descomponer el número \(50\) en tres sumandos positivos \(a,b\) y \(c\) de manera que la función suma de inversos \(f\left( a,b,c\right) =\dfrac{1 }{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) tenga un mínimo relativo.

Solución:

Sabemos que \begin{equation*} a+b+c=50 \end{equation*} Despejamos \(c\) \begin{equation} c=50-a-b, \label{c7}\tag{7.1} \end{equation} la sustituimos en la suma de los inversos \begin{equation*} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ 50-a-b} \end{equation*} y consideramos la función \begin{equation*} F\left( a,b\right) =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{50-a-b} \label{7.2}\tag{7.2} \end{equation*} en el dominio abierto \begin{equation*} U=\left\{ \left. \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\vert \,a,b>0,50-\left( a+b\right) >0\right\} . \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de primer orden \begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial a}\left( a,b\right) =-\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{ \left( 50-a-b\right) ^{2}} \end{equation*} y \begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial b}\left( a,b\right) =-\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{ \left( 50-a-b\right) ^{2}}. \end{equation*} Igualamos las derivadas obtenidas a cero \begin{eqnarray*} -\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{\left( 50-a-b\right) ^{2}} &=&0 \\ -\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{\left( 50-a-b\right) ^{2}} &=&0 \end{eqnarray*} y resolvemos este sistema. Consideramos la primera ecuación \begin{eqnarray*} -\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{\left( 50-a-b\right) ^{2}} &=&0 \\ \dfrac{1}{\left( 50-a-b\right) ^{2}} &=&\dfrac{1}{a^{2}} \\ a^{2} &=&\left( 50-a-b\right) ^{2}. \end{eqnarray*} Como \(a>0\) y \(50-(a+b)>0\) se tiene \begin{eqnarray*} a &=&50-a-b \\ 2a &=&50-b \\ a &=&\dfrac{50-b}{2}. \end{eqnarray*} Sustituimos este valor en la segunda ecuación del sistema \begin{eqnarray*} -\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{\left( 50-a-b\right) ^{2}} &=&0 \\ b^{2} &=&\left( 25-\dfrac{b}{2}\right) ^{2}. \end{eqnarray*} Como \(a,b > 0,a+b < 50\), entonces \(0 < b < 50.\) Por tanto, de que \(b^{2}=\left( 25- \dfrac{b}{2}\right) ^{2}\) se sigue que \begin{eqnarray*} b &=&25-\dfrac{b}{2} \\ b &=&\dfrac{50}{3}, \end{eqnarray*} de donde, \begin{equation*} a=\dfrac{50-b}{2}=\dfrac{50-\dfrac{50}{3}}{2}=\dfrac{50}{3}. \end{equation*} Entonces \(a=b=\dfrac{50}{3}.\)

Las derivadas parciales están definidas en \(\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{ 50}{3}\right)\), ya que \(50-\dfrac{50}{3}-\dfrac{50}{3}=16.667\neq 0.\)

Así, el punto de coordenadas \(\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right) \) es el único punto estacionario, el valor de \(F\) en ese punto es \begin{equation*} F\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right) =\frac{1}{\dfrac{50}{3}}+\frac{1}{ \dfrac{50}{3}}+\frac{1}{50-\dfrac{50}{3}-\dfrac{50}{3}}=\frac{9}{50}\approx 0.18 \end{equation*} \begin{eqnarray*} F\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right) &=&0.18 \\ F\left( 10,10,30\right) &=&0.233\,33 \\ F\left( 20,20,10\right) &=&0.2 \end{eqnarray*} Para determinar si el punto \(\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right)\) es un máximo o un mínimo de \(F\left( a,b\right)\), calculamos las derivadas parciales de segundo orden.

Recordemos que las derivadas de primer orden son \begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial a}\left( a,b\right) =-\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{ \left( 50-a-b\right) ^{2}}\quad \quad \quad\text{ y }\quad \quad \quad \frac{ \partial F}{\partial b}\left( a,b\right) =-\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{\left( 50-a-b\right) ^{2}}, \end{equation*} de donde \begin{eqnarray*} \frac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( a,b\right) &=&\dfrac{2}{a^{3}}+ \dfrac{2}{\left( 50-a-b\right) ^{3}} \\ \frac{\partial ^{2}F}{\partial b^{2}}\left( a,b\right) &=&\dfrac{2}{b^{3}}+ \dfrac{2}{\left( 50-a-b\right) ^{3}} \\ \frac{\partial ^{2}F}{\partial b\partial a}\left( a,b\right) &=&\dfrac{2}{ \left( 50-a-b\right) ^{3}}. \end{eqnarray*} Las evaluamos en el punto \(\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right)\) \begin{eqnarray*} \frac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3} \right) &=&\dfrac{4\left( 3^{3}\right) }{50^{3}} \\ \frac{\partial ^{2}F}{\partial b^{2}}\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3} \right) &=&\dfrac{4\left( 3^{3}\right) }{50^{3}} \\ \frac{\partial ^{2}F}{\partial b\partial a}\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3} \right) &=&\dfrac{2\left( 3^{3}\right) }{50^{3}}. \end{eqnarray*} De donde,

• \(\dfrac{\partial ^{2}F}{\partial a^{2}}\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{ 3}\right) =\dfrac{4\left( 3^{3}\right) }{50^{3}}>0.\)
• Calculamos el determinante de la matriz hessiana en el punto \(\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right)\) \begin{equation*} \left\vert H\left( F,\left( \dfrac{50}{3},\dfrac{50}{3}\right) \right) \right\vert =\left\vert \begin{array}{ccc} \dfrac{4\left( 3^{3}\right) }{50^{3}} & & \dfrac{2\left( 3^{3}\right) }{ 50^{3}} \\ & & \\ \dfrac{2\left( 3^{3}\right) }{50^{3}} & & \dfrac{4\left( 3^{3}\right) }{ 50^{3}} \end{array} \right\vert =\dfrac{4\left( 3^{6}\right) }{50^{6}}>0. \end{equation*}