Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables

Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\)

\(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Funciones definidas sobre conjuntos compactos

Los valores extremos de una función \(f\left( x,y\right) \) en una región \(R\) del plano se pueden alcanzar:
  1. En los puntos interiores de \(R\) donde las derivadas parciales de primer orden son cero, llamados puntos estacionarios, o en los puntos en los que alguna de las derivadas parciales no existe.
  2. En los puntos frontera de \(R.\)
Si las derivadas parciales de primer orden son cero en algún punto y la función es de clase \(C^{2}\) en el interior de \(R\), se puede usar el criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables.

Si \(R\) es un compacto en el plano, es decir si es un conjunto cerrado y acotado y \(f\) es continua en \(R\), entonces \(f\) alcanza sus valores má ximo y mínimo absolutos en \(R.\)

  1. Ejemplo 1 Encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}-8x-4y+1 \end{equation*} sobre la región triangular compacta que se encuentra en el primer cuadrante acotada por las rectas \(x=0,\) \(y=0\) y \(y=-\dfrac{4}{3}x+8.\)

  2. Ejemplo 2 Encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{3}+y^{3}+3x^{2}-3y^{2}+5 \end{equation*} sobre el cuadrado cerrado acotado por las rectas \(x=-3,\) \(x=1\), \(y=-1,\) \( y=3.\)

  3. Ejemplo 3 Encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{2}+xy+y^{2} \end{equation*} sobre la región circular cerrada limitada por el círculo \( x^{2}+y^{2}=1.\)

  4. Ejemplo 4 Encontrar los máximos y mínimos absolutos de la función \begin{equation*} .f\left( x,y\right) =x^{3}+3xy^{2}-30x-18y \end{equation*} restringida a la región compacta limitada por las rectas \(y=4,\) \(x=4\), \( y=-x+1.\)

  5. Ejemplo 5 Encontrar los máximos y mínimos absolutos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =xy\left( x^{2}+y^{2}-1\right) \end{equation*} restringida a la región elíptica cerrada limitada por \(x^{2}+\dfrac{ y^{2}}{4}=1.\)

  6. Ejemplo 6 Encontrar los máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =\text{sen}x+\text{sen}y+\text{sen}\left( x+y\right) \end{equation*} restringida a la región compacta limitada por \(-\dfrac{\pi }{2}\leq x\leq 0\) y \(-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq 0.\)

  7. Ejemplo 7 Encontrar los máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =\cos x+\cos y+\cos \left( x+y\right) \end{equation*} restringida a la región compacta limitada por \(0\leq x\leq \pi \) y \( 0\leq y\leq \pi .\)

  8. Ejemplo 8 Encontrar los máximos y mínimos de la función \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}-\dfrac{1}{2}y^{2}+2x^{2}y-2y \end{equation*} restringida a la región compacta limitada por \(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert =3.\) **Hay que utilizar Mathematica para resolver en la frontera.