Máximos y Mínimos de Funciones de Varias VariablesAngel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza
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Solución:
La función es polinomial, por lo que las derivadas parciales existen en todo el plano, entonces los valores extremos se pueden alcanzar en
La región es
Observamos que de todos estos puntos sólo
Calculamos las derivadas parciales de segundo orden de la función
de donde
así en
Entonces en
Despejamos
(i) Los extremos del intervalo
(ii) Los puntos del interior de
Calculamos la segunda derivada de
Si
de donde,
(i) Los extremos del intervalo
(ii ) Los puntos del interior de
Calculamos la segunda derivada
de donde,
Los valores de la función obtenidos en los puntos que son candidatos a
ser máximo o mínimo absolutos son:
Consideramos la función
Calculamos los gradientes de
Si
Si
Calculamos la función
Para los puntos
Para saber qué sucede en el punto
Por otra parte,considerando
entonces concluimos que
Para el punto de coordenadas
Para los puntos
entonces en estos puntos hay un máximo relativo.
Para los puntos
entonces en estos puntos hay un mínimo relativo.