Máximos y Mínimos de Funciones de Varias Variables Angel Carrillo Hoyo, Elena de Oteyza de Oteyza\(^2\), Carlos Hernández Garciadiego\(^1\), Emma Lam Osnaya\(^2\) \(^1\) Instituto de Matemáticas, UNAM; \(^2\) Facultad de Ciencias, UNAM

Ejemplo 8

Solución:

La función es polinomial, por lo que las derivadas parciales existen en todo el plano y entonces los valores extremos se pueden alcanzar en

• el interior de la región, en los puntos estacionarios o
• los puntos frontera de la región.

• Puntos estacionarios:

  La función es \begin{equation*} f\left( x,y\right) =x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}-\dfrac{1}{2}y^{2}+2x^{2}y-2y \end{equation*} Calculamos las derivadas parciales de \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x} & = & 3x^{2}+xy^{2}+4xy=x\left( 3x+y^{2}+4y\right) \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} & = & x^{2}y-y+2x^{2}-2=\left( x^{2}-1\right) \left( y+2\right) \end{eqnarray*} las igualamos a cero \begin{eqnarray*} x\left( y^{2}+4y+3x\right) & = & 0 \\ \left( x^{2}-1\right) \left( y+2\right) & = & 0 \end{eqnarray*}

  • De la segunda ecuación tenemos \begin{equation*} x^{2}-1=0 \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y+2=0 \end{equation*} de donde \begin{equation*} x=-1, \quad \quad \quad x=1 \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-2 \end{equation*}
  • Si $x=-1,$ entonces sustituyendo este valor en la primera ecuación tenemos \begin{eqnarray*} -1\left( y^{2}+4y-3\right) & = & 0 \\ y^{2}+4y-3 & = & 0 \\ y & = & -2\pm \sqrt{7} \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=-2+\sqrt{7} \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-2-\sqrt{7} \end{equation*} es decir, obtenemos los puntos $\left( -1,\sqrt{7}-2\right) ,$ $\left( -1,- \sqrt{7}-2\right) .\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert =3$

    Observamos que el punto $\left( -1,-\sqrt{7}-2\right) $ no está en la región.

  • Si $x=1,$ entonces sustituyendo este valor en la primera ecuación tenemos \begin{eqnarray*} y^{2}+4y+3 & = & 0 \\ \left( y+3\right) \left( y+1\right) & = & 0 \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} y=-3, \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad y=-1 \end{equation*} es decir, obtenemos los puntos $\left( 1,-3\right) ,$ $\left( 1,-1\right) .$

    Observamos nuevamente que el punto $\left(1,-3\right)$ no está en la región.

  • Si $y=-2,$ entonces \begin{eqnarray*} x\left( \left( -2\right) ^{2}+4\left( -2\right) +3x\right) & = & 0 \\ x\left( 3x-4\right) & = & 0 \end{eqnarray*} de donde \begin{equation*} x=0, \quad \quad \quad \text{ o } \quad \quad \quad x=\dfrac{4}{3} \end{equation*} es decir, obtenemos los puntos $\left( 0,-2\right) ,$ $\left( \dfrac{4}{3} ,-2\right) .$

    El punto $\left( \dfrac{4}{3} ,-2\right) .$ tampoco está en la región.

  Entonces, de los puntos encontrados, únicamente $\left( 0,-2\right) ,$ $\left( -1,\sqrt{7}-2\right) $ y $ \left( 1,-1\right) $ son puntos interiores de la región y por tanto son los puntos estacionarios.

  Calculamos las derivadas parciales de segundo orden. Recordemos que \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial f}{\partial x} & = & x\left( y^{2}+4y+3x\right) \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} & = & \left( x^{2}-1\right) \left( y+2\right) \end{eqnarray*} entonces \begin{eqnarray*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} & = & y^{2}+4y+6x \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} & = & x^{2}-1 \\ \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} & = & 2x\left( y+2\right) =\dfrac{ \partial ^{2}f}{\partial x\partial y} \end{eqnarray*} y el hessiano es \begin{equation*} \left\vert H\left( x,y\right) \right\vert =\left( y^{2}+4y+6x\right) \left( x^{2}-1\right) -\left( 2x\left( y+2\right) \right) ^{2} \end{equation*}

  • $\left( 0,-2\right) $ \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0,-2\right) =-4 < 0 \end{equation*}

    \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 0,-2\right) =-1 \quad \quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 0,-2\right) =0 \end{equation*} y el hessiano es \begin{equation*} H\left( 0,-2\right) =4>0. \end{equation*} Entonces en $\left( 0,-2\right) $ hay un máximo.

  • $\left( 1,-1\right) $ \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 1,-1\right) =3 > 0 \end{equation*}

    \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( 1,-1\right) =0 \quad \quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( 1,-1\right) =2 \end{equation*}

    \begin{equation*} \left\vert H\left( 1,-1\right) \right\vert =-4 < 0 \end{equation*}

    En $\left( 1,-1\right) $ hay un punto silla.

  • $\left( -1,\sqrt{7}-2\right) $ \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\left( -1,\sqrt{7}-2\right) =-3 < 0 \end{equation*}

    \begin{equation*} \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\left( -1,\sqrt{7}-2\right) =0 \quad \quad \quad \dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\left( -1,\sqrt{7} -2\right) =-2\sqrt{7} \end{equation*}

    \begin{equation*} \left\vert H\left( -1,\sqrt{7}-2\right) \right\vert =-28 < 0 \end{equation*}

    En $\left( -1,\sqrt{7}-2\right) $ hay un punto silla. \begin{equation*} \begin{array}{lcl} \text{Punto máximo} & & \left( 0,-2\right) \\ \text{Punto silla} & & \left( 1,-1\right) ,\left( -1,\sqrt{7}-2\right) \end{array} \end{equation*}

• Los puntos frontera están en los lados del cuadrado. Las ecuaciones de los lados son \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcc} y=-x+3 & & \text{con }0\leq x\leq 3 \\ y=x+3 & & \text{con }-3\leq x\leq 0 \\ y=-x-3 & & \text{con }-3\leq x\leq 0 \\ y=x-3 & & \text{con }0\leq x\leq 3 \end{array} \right. \end{equation*} \begin{eqnarray*} f\left( x,-x+3\right) & = & x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}\left( -x+3\right) ^{2}- \dfrac{1}{2}\left( -x+3\right) ^{2}+2x^{2}\left( -x+3\right) -2\left( -x+3\right) \\ & = & \dfrac{1}{2}x^{4}-4x^{3}+10x^{2}+5x-\dfrac{21}{2}. \end{eqnarray*}

  Dado que para analizar la frontera se requiere resolver ecuaciones cúbicas, que no es posible hacerlo a mano, presentamos un cuaderno de Mathematica con la solución completa del problema.

  Ejemplo 8 resuelto con Mathematica